育才学校2022-2022学年度第一学期期中考试高二实验班文科数学试题满分：150分，考试时间：120分钟；命题人：第I卷选择题60分一、选择题（12小题，共60分）1.直线的斜率为，其中点，点在直线上，则（）A.B.C.D.2.设a，b是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，则下面四个命题中错误的是（）A.若a⊥b，a⊥α，，则B.若a⊥b，a⊥α，b⊥β，则α⊥βC.若a⊥β，α⊥β，则或D.若，，则3.如上右图是某几何体的三视图，则该几何体的内切球的表面积为（）A.B.C.D.4.已知是轴上的两点，点的横坐标为，且，若直线的方程为16\n，则直线的方程是（）A.B.C.D.5.在正方体中，为棱上一动点，为底面上一动点，是的中点，若点都运动时，点构成的点集是一个空间几何体，则这个几何体是（）A.棱柱B.棱台C.棱锥D.球的一部分6.若直线与互相垂直，则实数（）A.B.C.或D.7.如图所示，正四棱锥的底面面积为，体积为，为侧棱的中点，则与所成的角为（）A.B.C.D.8.已知正方体的棱长为1，在正方体的侧面上的点到点距离为的点的轨迹形成一条曲线，那么这条曲线的形状是（）16\nA.B.C.D.9.已知两点，，若直线上至少存在三个点，使得是直角三角形，则实数的取值范围是（）A.B.C.D.10.如图，有一个水平放置的透明无盖的正方体容器，容器高8cm，将一个球放在容器口，再向容器内注水，当球面恰好接触水面时测得水深为6cm，如果不计容器的厚度，则球的体积为( )A.cm3B.cm3C.cm3D.cm311.已知四棱锥的底面是边长为2的正方形，，则四棱锥的外接球的表面积为（）16\nA.B.C.D.12.鲁班锁是中国传统的智力玩具，起源于古代汉族建筑中首创的榫卯结构，这种三维的拼插器具内部的凹凸部分（即榫卯结构）啮合，十分巧妙，外观看是严丝合缝的十字立方体，其上下、左右、前后完全对称，从外表看，六根等长的正四棱分成三组，榫卯起来如图，若正四棱柱的高为，底面正方形的边长为现将该鲁班锁放进一个球形容器内，则该球形容器的表面积的最小值为（容器壁的厚度忽略不计）（）.A.B.C.D.第II卷非选择题90分二、填空题（每小题5分，共20分）13.如图，在边长为4的正方形纸片中，与相交于点，剪去，将剩余部分沿折叠，使重合，则折叠后以为顶点的四面体的体积为__________．14.如图，已知正方体的棱长为，点是面的中心，点是面的对角线上一点，且平面，则线段的长为__________．16\n15.在三棱台中，，点、分别是棱、的中点，则在三棱台的各棱所在的直线中，与平面平行的有__________．16.若圆被直线截得的弦长为，则__________．三、解答题（70分）17.（10分）已知的三个顶点，，，求：（1）边上的高所在直线的方程；（2）的垂直平分线所在直线的方程；（3）边的中线的方程.18.（12分）已知圆过两点，，且圆心在直线上．（Ⅰ）求圆的标准方程；（Ⅱ）直线过点且与圆有两个不同的交点，，若直线的斜率大于0，求的取值范围；（Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，是否存在直线使得弦的垂直平分线过点，若存在，求出直线的方程；若不存在，请说明理由．19.（12分）如图所示，空间四边形中，分别在上，且满足，，过的平面交于，连接.16\n（1）求；（2）求证：三线共点.20.（12分）如图，在正方体中，棱长为，E是棱的中点（1）求三棱锥的体积；（2）在棱上是否存在一点F，使平面？证明你的结论。21.（12分）正方体中，为中点，为中点.（1）求证：平面；（2），求三棱锥的体积.16\n22.（12分）如图，在直四棱柱中，底面四边形为菱形，，，是的中点.（1）图1中，点是的中点，求异面直线所成角的余弦值；（2）图2中，点分别是的中点，点在线段上，，求证：平面AEH∥平面.16\n高二实验班文科数学试题参考答案与解析1.B【解析】设点,，则，选B.2.D【解析】A：记a，b确定的平面为γ，，在平面γ内，∵，，∴，从而根据线面平行的判定可知A不符合题意；B：等价于两个平面的法向量垂直，根据面面垂直的判定可知B不符合题意；C：根据面面垂直的性质可知C符合题意；D：或，故D符合题意，故答案为：D．3.B【解析】由三视图可知该几何体为正方体中的内接正四面体，正四面体的棱长为，设内切球的半径为r，则易得：∴内切球的表面积为故答案为：B4.B【解析】点的横坐标为，又的斜率互为相反数，的斜率为则直线的方程是，即。故答案选5.A【解析】由题意知，当P在A′处，Q在AB上运动时，M的轨迹为过AA′的中点，在平面AA′B′B内平行于AB的线段（靠近AA′），当P在A′处，Q在AD上运动时，M的轨迹为过AA′的中点，在平面AA′D′D内平行于AD的线段（靠近AA′），当Q在B处，P在AA′上运动时，M的轨迹为过AB的中点，在平面AA′B′B内平行于AA′的线段（靠近AB），当Q在D处，P在AA′上运动时，M的轨迹为过AD的中点，在平面AA′B′B内平行于AA′的线段（靠近AD），16\n当P在A处，Q在BC上运动时，M的轨迹为过AB的中点，在平面ABCD内平行于AD的线段（靠近AB），当P在A处，Q在CD上运动时，M的轨迹为过AD的中点，在平面ABCD内平行于AB的线段（靠近AB），同理得到：P在A′处，Q在BC上运动；P在A′处，Q在CD上运动；P在A′处，Q在C处，P在AA′上运动；P、Q都在AB，AD，AA′上运动的轨迹．进一步分析其它情形即可得到M的轨迹为棱柱体．故选：A．6.A【解析】由题意得，当时直线方程为不成立，舍去，选A.7.C【解析】连接交于点，连接正四棱锥的底面是正方形，是中点，是中点，与所成的角为正四棱锥的底面积为，体积为，，在中，，，故选C.8.B【解析】正方体每个面到点距离为的点的轨迹如图：则在正方体的侧面上的点到点距离为的点的轨迹为小圆弧。故选9.B【解析】当，为直角时，，且一定存在，故至少存在一个点，使为直角，16\n即直线与圆至少有一个交点，∴，解得，∴且．故选．10.A【解析】由题意可得，设球心为O,球与不面切点为B,球与棱的一个切点为C,点C所在截面圆圆心为P,PB=2,PC=4,OC=R,OP=R-2,由勾股定理得，解得R=5,cm3，选A.11.C【解析】由题意，将四棱锥扩充为正方体，体对角线长为，所以四棱锥外接球的直径为，半径为，所以四棱锥外接球的表面积为，故选C.12.C【解析】有题意可知：该球形容器得半径最小值为，所以表面积最小值为13.【解析】折叠后的四面体如图所示．16\nOA，OC，OD两两相互垂直，且OA＝OC＝OD＝2，所以体积V＝S△OCD·OA＝××(2)3＝14.【解析】连接，，∵点是面的中心，∴，是的中点，∵平面，∴，∴．故答案为15.，【解析】16\n∵点、分别是，的中点，∴，又平面，平面，∴平面，∵，，，∴，∴四边形是平行四边形，∴，又平面，平面，∴平面．故在三棱台各棱所在直线中，与平面平行的有：，．16.【解析】由题意利用弦长公式可得弦心距，再由点到直线的距离公式可得解得，或舍去），故选A．17.（1）；（2）；（3）．【解析】（1）由斜率公式易知kAC=-2，∴直线BD的斜率.又BD直线过点B（-4，0），代入点斜式易得直线BD的方程为：x-2y+4=0．（2）∵，∴．又线段BC的中点为，∴EF所在直线的方程为y-2=-（x+）．整理得所求的直线方程为：6x+8y-1=0．16\n（3）∵AB的中点为M（0，-3），kCM=-7∴直线CM的方程为y-（-3）=-7（x-0）．即7x+y+3=0，又因为中线的为线段，故所求的直线方程为：7x+y+3=0（-1≤x≤0）18.（Ⅰ）（x﹣1）2+y2=25；（Ⅱ）；（Ⅲ）x+2y﹣1=0.【解析】（I）MN的垂直平分线方程为：x﹣2y﹣1=0与2x﹣y﹣2=0联立解得圆心坐标为C（1，0）R2=|CM|2=（﹣3﹣1）2+（3﹣0）2=25∴圆C的标准方程为：（x﹣1）2+y2=25（II）设直线的方程为：y﹣5=k（x+2）即kx﹣y+2k+5=0，设C到直线l的距离为d，则d=由题意：d＜5即：8k2﹣15k＞0∴k＜0或k＞又因为k＞0∴k的取值范围是（，+∞）（III）设符合条件的直线存在，则AB的垂直平分线方程为：y+1=﹣（x﹣3）即：x+ky+k﹣3=0∵弦的垂直平分线过圆心（1，0）∴k﹣2=0即k=2∵k=2＞故符合条件的直线存在，l的方程：x+2y﹣1=0.19.（1）；（2）证明见解析.【解析】（1）∵，∴.∴平面.而平面，且平面平面，∴.而，∴.16\n∴，即.（2）证明：∵，且，，∴，∴四边形为梯形.令，则，而平面，，平面，平面平面，∴.∴三线共点.20.（1）；（2）详见解析.【解析】（1）·（2）存在如图取中点,连,连交于是的中位线因为正方体所以又因为四边形是平行四边形，16\n所以，所以所以四边形是平行四边形，所以,所以平面法二：取中点,则平面平面21.（1）证明过程见解析；（2）.【解析】（1）取中点，连接，，有，所以是平行四边形，所以，又平面，平面，所以平面，得证.（2）正方体中，,,点到面的距离即为,所以三棱锥的体积16\n.22.（1）【解析】（1）因为底面四边形为菱形，所以，异面直线所成角即为直线所成角，或其补角，连结，，，，，（2）与相似，，，，所以，又MN∥AH,CN∥AE,，，平面AEH∥平面.16
