2022-2022学年山东省临沂市高三（上）期中数学试卷（文科）一、选择题（共10小题，每小题5分，满分50分）1．已知集合A={0，x}，B={x2，﹣x2，|x|﹣1}，若A⊊B，则实数x的值为()A．1或﹣1B．1C．﹣1D．22．下列函数中，其图象既是轴对称图形又在区间（0，+∞）上单调递增的是()A．y=B．y=﹣x2+1C．．y=2xD．y=lg|x+1|3．函数f（x）=2﹣2sin2（+π）的最小正周期是()A．B．πC．2πD．4π4．若=()A．B．C．D．5．已知命题p：∀x∈R，x2﹣5x+6＞0，命题q：∃α、β∈R，使sin（α+β）=sinα+sinβ，则下列命题为真命题的是()A．p∧qB．p∨（￢q）C．（￢p）∧qD．p∧（￢q）6．“∀n∈N*，2an+1=an+an+2”是“数列{an}为等差数列”的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．即不充分也不必要条件7．设四边形ABCD为平行四边形，||=3，||=4，若点M、N满足=3，=2，则•=()A．﹣1B．0C．1D．28．某几何体的三视图如图，则此几何体的体积为()-16-\nA．6B．34C．44D．549．设x、y满足约束条件，若目标函数z=ax+2by（a＞0，b＞0）的最大值为1，则+的最小值为()A．3+2B．3﹣2C．8D．1010．如图，函数f（x）的图象为折线ACB，则不等式f（x）＞2x﹣1的解集是()A．{x|﹣1＜x≤0}B．{x|﹣1≤x≤1}C．{x|﹣1≤x＜1}D．{x|﹣1＜x≤2}二、填空题（共5小题，每小题5分，满分25分）11．设x，y∈R，向量=（x，1），=（1，y），=（2，﹣4）且⊥，∥，则|+|=__________．12．函数f（x）=的定义域是__________．13．一块形状为直角三角形的铁皮，两直角边长分别为60cm，80cm，现将它剪成一个矩形，并以此三角形的直角为矩形的一个角，则矩形的最大面积是__________cm2．14．函数f（x）=sin（x+2φ）﹣2sin（x+φ）cosφ的最大值为__________．15．定义在R上函数f（x）满足f（1）=1，f′（x）＜2，则满足f（x）＞2x﹣1的x的取值范围是__________．三、解答题（共6小题，满分75分）16．在锐角△ABC中，a，b，c分别为∠A，∠B，∠所对的边，若向量=（3，﹣sinA），=（a，5c），且•=0．（1）求的值；（2）若c=4，且a+b=5，求△ABC的面积．-16-\n17．如图，在各棱长均相等的三棱柱ABC﹣A1B1C1中，∠A1AC=60°，D为AC的中点．（1）求证：B1C∥平面A1BD；（2）求证：平面ABB1A1⊥平面AB1C．18．某同学用“五点法”画函数f（x）=Asin（ωx+φ）（ω＞0，|ω|＜）在某一个周期内的图象时，列表并填入了部分数据，如下表：ωx+φ0π2πxAsin（ωx+φ）20（1）请将上表空格中所缺的数据填写在答题卡的相应位置上，并直接写出函数f（x）的解析式；（2）将y=f（x）的图象上所有点向左平移个单位长度，得到y=g（x）的图象，求当x∈[﹣，]时，函数f（x）=g（x）的值域．19．已知数列{an}是递增的等比数列，且a1+a4=9，a2a3=8．（1）求数列{an}的通项公式；（2）若数列{bn}满足++…+=（n2+n+2）•2n（n∈N*），求数列{bn}的前n项和．20．（13分）设f（x）=ex（lnx﹣a）（e是自然对数的底数，e=2.71828…）．（1）若y=f（x）在x=1处的切线方程为y=2ex+b，求a、b的值；（2）若[，e]是y=f（x）的一个单调递减区间，求a的取值范围．21．（14分）已知f（x）=x（x﹣a）．（1）当x∈[0，1]时，f（x）有最小值﹣3，求实数a的值；（2）若函数g（x）=f（x）﹣lnx有零点，求a的最小值．-16-\n2022-2022学年山东省临沂市高三（上）期中数学试卷（文科）一、选择题（共10小题，每小题5分，满分50分）1．已知集合A={0，x}，B={x2，﹣x2，|x|﹣1}，若A⊊B，则实数x的值为()A．1或﹣1B．1C．﹣1D．2【考点】集合的包含关系判断及应用．【专题】计算题；转化思想；综合法；集合．【分析】本题是一元一次方程和集合包含关系结合的题目，利用A⊂B，建立方程即可．【解答】解：∵集合A={0，x}，B={x2，﹣x2，|x|﹣1}，A⊊B，∴|x|﹣1=0∴x=1或﹣1；故选：A．【点评】本题主要考查集合的基本运算，属于基础题．要正确判断两个集合间的关系，必须对集合的相关概念有深刻的理解，善于抓住代表元素，认清集合的特征．2．下列函数中，其图象既是轴对称图形又在区间（0，+∞）上单调递增的是()A．y=B．y=﹣x2+1C．．y=2xD．y=lg|x+1|【考点】函数单调性的判断与证明；函数奇偶性的判断；函数的图象．【专题】函数的性质及应用．【分析】根据题意，结合常见的基本初等函数的图象与性质，对选项中的函数进行判断即可．【解答】解：对于A，函数y=的图象是中心对称图形，不是轴对称图形，∴不满足题意；对于B，函数y=﹣x2+1的图象是轴对称图形，在区间（0，+∞）上是单调减函数，∴不满足题意；对于C，函数y=2x的图象不是轴对称图形，∴不满足题意；对于D，函数y=lg|x+1|的图象是关于直线x=﹣1对称的图形，且在区间（0，+∞）上是单调增函数，满足题意．故选：D．【点评】本题考查了基本初等函数的图象与性质的应用问题，是基础题目．3．函数f（x）=2﹣2sin2（+π）的最小正周期是()A．B．πC．2πD．4π【考点】三角函数的周期性及其求法．【专题】转化思想；综合法；三角函数的图像与性质．【分析】由条件利用三角恒等变换化简函数的解析式，再利用余弦函数的周期性得出结论．-16-\n【解答】解：f（x）=2﹣2sin2（+π）=2﹣2=2﹣2•=1+cosx的最小正周期为=2π，故选：C．【点评】本题主要三角恒等变换，余弦函数的周期性，属于基础题．4．若=()A．B．C．D．【考点】对数的运算性质．【分析】首先利用对数的运算性质求出x，然后即可得出答案．【解答】解：∵x=log43∴4x=3又∵（2x﹣2﹣x）2=4x﹣2+=3﹣2+=故选：D【点评】本题考查了对数的运算性质，解题的关键是利用对数函数和指数函数的关系得出4x=3，属于基础题．5．已知命题p：∀x∈R，x2﹣5x+6＞0，命题q：∃α、β∈R，使sin（α+β）=sinα+sinβ，则下列命题为真命题的是()A．p∧qB．p∨（￢q）C．（￢p）∧qD．p∧（￢q）【考点】复合命题的真假．【专题】函数思想；综合法；简易逻辑．【分析】分别判断出p，q的真假，从而判断出复合命题的真假即可．【解答】解：关于命题p：∀x∈R，x2﹣5x+6＞0，△=25﹣24＞0，故是假命题，关于命题q：∃a0∈R，β0∈R，使sin（α0+β0）=sinα0+sinβ0，是真命题，比如α0=β0=0，故选：C．【点评】本题考查了复合命题的判断，考查二次函数以及三角函数问题，是一道基础题．6．“∀n∈N*，2an+1=an+an+2”是“数列{an}为等差数列”的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．即不充分也不必要条件【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断；等差数列的性质．【专题】等差数列与等比数列．【分析】由2an+1=an+an+2，可得an+2﹣an+1=an+1﹣an，可得数列{an}为等差数列；若数列{an}为等差数列，易得2an+1=an+an+2，由充要条件的定义可得答案．【解答】解：由2an+1=an+an+2，可得an+2﹣an+1=an+1﹣an，由n的任意性可知，数列从第二项起每一项-16-\n与前一项的差是固定的常数，即数列{an}为等差数列，反之，若数列{an}为等差数列，易得2an+1=an+an+2，故“∀n∈N*，2an+1=an+an+2”是“数列{an}为等差数列”的充要条件，故选C【点评】本题考查充要条件的判断，涉及等差数列的判断，属基础题．7．设四边形ABCD为平行四边形，||=3，||=4，若点M、N满足=3，=2，则•=()A．﹣1B．0C．1D．2【考点】平面向量数量积的运算．【专题】转化思想；数形结合法；平面向量及应用．【分析】如图所示，=，，=，=﹣=﹣，=﹣=﹣．代入展开即可得出．【解答】解：如图所示，=，，=，=﹣=﹣，=﹣=﹣．∴•=•=﹣==0．故选：B．【点评】本题考查了向量共线定理、数量积运算性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．8．某几何体的三视图如图，则此几何体的体积为()A．6B．34C．44D．54【考点】由三视图求面积、体积．-16-\n【专题】数形结合；数形结合法；空间位置关系与距离．【分析】由三视图可知几何体为长方体切去一三棱锥，用长方体体积减去三棱锥的体积即为几何体体积．【解答】解：由三视图可知几何体为长方体切去一三棱锥，直观图如图所示：V长方体=4×3×5=60，V三棱锥=××3×4×3=6，∴V=V长方体﹣V三棱锥=60﹣6=54．故选D．【点评】本题考查了几何体的三视图，属于基础题．9．设x、y满足约束条件，若目标函数z=ax+2by（a＞0，b＞0）的最大值为1，则+的最小值为()A．3+2B．3﹣2C．8D．10【考点】简单线性规划．【专题】计算题；对应思想；数形结合法；不等式的解法及应用．【分析】由约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，联立方程组求出最优解的坐标代入目标函数求得a+2b=1，然后利用基本不等式求得+的最小值．【解答】解：由约束条件作出可行域如图，-16-\n化目标函数z=ax+2by（a＞0，b＞0）为，联立，解得B（1，1），由图可知，当直线过B时直线在y轴上的截距最大，z有最大值为a+2b=1，∴+=（+）（a+2b）=3+．当且仅当时上式等号成立．故选：A．【点评】本题考查简单的线性规划，考查了数形结合的解题思想方法，训练了基本不等式求最值，是中档题．10．如图，函数f（x）的图象为折线ACB，则不等式f（x）＞2x﹣1的解集是()A．{x|﹣1＜x≤0}B．{x|﹣1≤x≤1}C．{x|﹣1≤x＜1}D．{x|﹣1＜x≤2}【考点】函数的图象．【专题】计算题；函数思想；转化思想；函数的性质及应用．【分析】利用指数函数的图象与性质推出结果即可．【解答】解：y=2x﹣1的图象如图：不等式f（x）＞2x﹣1的解集是：{x|﹣1≤x＜1}．故选：C．【点评】本题考查函数的图象的应用，不等式的解法，考查计算能力．-16-\n二、填空题（共5小题，每小题5分，满分25分）11．设x，y∈R，向量=（x，1），=（1，y），=（2，﹣4）且⊥，∥，则|+|=．【考点】平面向量数量积的运算；向量的模．【专题】计算题；平面向量及应用．【分析】由向量平行、垂直的充要条件，列出关于x、y的方程并解之，可得=（2，1）且=（1，﹣2），由此不难算出+向量的坐标，从而得到|+|的值．【解答】解：∵向量=（x，1），=（2，﹣4），且⊥，∴x×2+1×（﹣4）=0，解得x=2，得=（2，1），又∵=（1，y），=（2，﹣4），且∥，∴1×（﹣4）=y×2，解得y=﹣2，得=（1，﹣2），由此可得：+=（2+1，1+（﹣2））=（3，﹣1）∴|+|==故答案为：【点评】本题给出三个向量，在已知向量平行、垂直的情况下求和向量的模，着重考查了向量平行、垂直的充要条件，以及向量数量积的坐标运算等知识，属于基础题．12．函数f（x）=的定义域是（1，2）．【考点】函数的定义域及其求法．【专题】函数的性质及应用．【分析】根据函数f（x）的解析式，列出使解析式有意义的关于自变量的不等式组，求出解集即可．【解答】解：∵函数f（x）=，∴，解得﹣＜x＜2；∴函数f（x）的定义域是（1，2）．故答案为：（1，2）．【点评】本题考查了求函数定义域的问题，解题的关键是列出使解析式有意义的关于自变量的不等式组，是容易题．13．一块形状为直角三角形的铁皮，两直角边长分别为60cm，80cm，现将它剪成一个矩形，并以此三角形的直角为矩形的一个角，则矩形的最大面积是1200cm2．【考点】基本不等式在最值问题中的应用．【专题】函数思想；数学模型法；函数的性质及应用；不等式的解法及应用．-16-\n【分析】设CD=x，CF=y，根据比例线段得出y=60﹣x，而面积S=xy，建立二次函数关系式，再利用二次函数性质求解．【解答】解：设CD=x，CF=y，则根据比例线段得出=，即=，化简为y=60﹣x，所以矩形的面积s=xy=（60﹣x）x=﹣x2+60x=﹣（x﹣40）2+1200，x=40时，S最大值为1200，所以最大面积为12000cm2，故答案为：1200．【点评】本题重点考查二次函数模型的构建，考查配方法求函数的最值，解题的关键是构建二次函数模型．14．函数f（x）=sin（x+2φ）﹣2sin（x+φ）cosφ的最大值为1．【考点】三角函数的最值．【专题】转化思想；整体思想；三角函数的求值．【分析】由三角函数公式和整体思想化简可得f（x）=﹣sinx，易得最大值．【解答】解：由三角函数公式化简可得：f（x）=sin（x+2φ）﹣2sin（x+φ）cosφ=sin[（x+φ）+φ]﹣2sin（x+φ）cosφ=sin（x+φ）cosφ+cos（x+φ）sinφ﹣2sin（x+φ）cosφ=﹣sin（x+φ）cosφ+cos（x+φ）sinφ=﹣sin[（x+φ）﹣φ]=﹣sinx，∴函数的最大值为：1故答案为：1【点评】本题考查三角函数的最值，涉及整体法和和差角的三角函数公式，属基础题．15．定义在R上函数f（x）满足f（1）=1，f′（x）＜2，则满足f（x）＞2x﹣1的x的取值范围是（﹣∞，1）．【考点】函数的单调性与导数的关系．【专题】方程思想；导数的综合应用．-16-\n【分析】首先，根据导数的几何意义得到直线的斜率，然后，结合两个直线的位置情况进行确定所求范围即可．【解答】解：可以设函数y=2x﹣1∵该直线的斜率为2，且当x=1时，y=1，∵f（1）=1，f′（x）＜2，∴原不等式的解集为（﹣∞，1）故答案为：（﹣∞，1）．【点评】本题重点考查了不等式与导数的关系等知识，考查了数形结合思想的运用，属于中档题．三、解答题（共6小题，满分75分）16．在锐角△ABC中，a，b，c分别为∠A，∠B，∠所对的边，若向量=（3，﹣sinA），=（a，5c），且•=0．（1）求的值；（2）若c=4，且a+b=5，求△ABC的面积．【考点】余弦定理．【专题】计算题；转化思想；分析法；解三角形．【分析】（1）由题意及平面向量数量积的运算可得3a=5csinA，由正弦定理化简可得sinC，由同角三角函数关系式可求cosC，利用二倍角公式即可求值得解．（2）由（1）及余弦定理可求ab的值，利用三角形面积公式即可得解．【解答】解：（1）∵=（3，﹣sinA），=（a，5c），且•=0．∴3a=5csinA，∴3sinA=5sinCsinA，∵sinA≠0，∴sinC=．∵△ABC为锐角三角形，∴cosC=．∴====…（2）由（1）可知sinC=，cosC=，∵c=4，a+b=5∴c2=a2+b2﹣2abcosC=（a+b）2﹣2ab﹣2abcosC，∴16=25﹣2ab﹣2ab×，∴ab=，∴S△ABC==absinC==…【点评】本题主要考查了平面向量数量积的运算，正弦定理，同角三角函数关系式，二倍角公式，余弦定理，三角形面积公式的综合应用，考查了计算能力，属于中档题．17．如图，在各棱长均相等的三棱柱ABC﹣A1B1C1中，∠A1AC=60°，D为AC的中点．-16-\n（1）求证：B1C∥平面A1BD；（2）求证：平面ABB1A1⊥平面AB1C．【考点】平面与平面垂直的判定；直线与平面平行的判定．【专题】转化思想；综合法；空间位置关系与距离．【分析】（1）连接AB1和A1B，交于E，连接DE，运用中位线定理和线面平行的判定定理，即可得证；（2）运用菱形的对角线垂直和线面垂直的判断和性质，可得A1B⊥平面AB1C，再由面面垂直的判定定理，即可得证．【解答】证明：（1）连接AB1和A1B，交于E，连接DE，由D，E分别为AC，A1B的中点，可得DE∥B1C，由DE⊂平面A1BD，B1C⊄平面A1BD，即有B1C∥平面A1BD；（2）由菱形ABB1A1，可得AB1⊥A1B，∠A1AC=60°，D为AC的中点，可得A1D⊥AC，又BD⊥AC，则AC⊥平面A1BD，即有AC⊥A1B，又AB1⊥A1B，则A1B⊥平面AB1C，而A1B⊂平面ABB1A1，则平面ABB1A1⊥平面AB1C．【点评】本题考查线面平行和面面垂直的判定，注意运用线面平行和面面垂直的判定定理，考查空间线面位置关系的转化，属于中档题．18．某同学用“五点法”画函数f（x）=Asin（ωx+φ）（ω＞0，|ω|＜）在某一个周期内的图象时，列表并填入了部分数据，如下表：ωx+φ0π2πxAsin（ωx+φ）20-16-\n（1）请将上表空格中所缺的数据填写在答题卡的相应位置上，并直接写出函数f（x）的解析式；（2）将y=f（x）的图象上所有点向左平移个单位长度，得到y=g（x）的图象，求当x∈[﹣，]时，函数f（x）=g（x）的值域．【考点】由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式；函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．【专题】计算题；数形结合；数形结合法；三角函数的图像与性质．【分析】（1）根据用五点法作函数y=Asin（ωx+φ）在一个周期上的图象的方法，将上表数据补充完整，直接写出函数f（x）的解析式．（2）由条件利用y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，以及正弦函数的图象的性质，得出结论．【解答】解：（1）根据已知，数据补全如下表：ωx+φ0π2πxAsin（ωx+φ）020﹣20且函数表达式为f（x）=2sin（2x﹣）…3分（2）由已知函数g（x）=2sin[2（x+）﹣]=2sin（2x+），∵x∈[﹣，]，∴2x+∈[﹣，]，∴sin（2x+）∈[﹣，1]，∴g（x）∈[﹣1，2]…12分【点评】本题主要考查用五点法作函数y=Asin（ωx+φ）在一个周期上的图象，利用了y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，正弦函数的图象的对称性，属于中档题．19．已知数列{an}是递增的等比数列，且a1+a4=9，a2a3=8．（1）求数列{an}的通项公式；（2）若数列{bn}满足++…+=（n2+n+2）•2n（n∈N*），求数列{bn}的前n项和．【考点】数列的求和．【专题】计算题；方程思想；转化思想；等差数列与等比数列．【分析】（1）设等比数列{an}的公比为q，由a1+a4=9，a2a3=8．可得，解得并利用数列{an}是递增的等比数列即可得出；-16-\n（2）由数列{bn}满足++…+=（n2+n+2）•2n（n∈N*），利用递推关系可得：==（n2+n+2）•2n﹣[（n﹣1）2+（n﹣1）+2]•2n﹣1，化为：bn=．可得bn=．再利用“裂项求和”即可得出．【解答】解：（1）设等比数列{an}的公比为q，∵a1+a4=9，a2a3=8．∴，解得a1=1，q=2；或a1=8，q=．∵数列{an}是递增的等比数列，∴a1=8，q=舍去．∴a1=1，q=2；∴an=2n﹣1．（2）∵数列{bn}满足++…+=（n2+n+2）•2n（n∈N*），∴当n≥2时，++…+=[（n﹣1）2+（n﹣1）+2]•2n﹣1，可得==（n2+n+2）•2n﹣[（n﹣1）2+（n﹣1）+2]•2n﹣1，化为：bn=．当n=1时，=8，∴b1=．∴bn=．∴当n≥2时，数列{bn}的前n项和Sn=+++…+=﹣．当n=1时也成立，∴数列{bn}的前n项和Sn=﹣．【点评】本题考查了等比数列的通项公式及其单调性、递推关系的应用、“裂项求和”方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．20．（13分）设f（x）=ex（lnx﹣a）（e是自然对数的底数，e=2.71828…）．-16-\n（1）若y=f（x）在x=1处的切线方程为y=2ex+b，求a、b的值；（2）若[，e]是y=f（x）的一个单调递减区间，求a的取值范围．【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程；利用导数求闭区间上函数的最值．【专题】综合题；函数思想；数学模型法；导数的综合应用．【分析】（1）求出原函数的导函数，得到f′（1），结合y=f（x）在x=1处的切线方程为y=2ex+b列式求得a，b的值；（2）由[，e]是y=f（x）的一个单调递减区间，可知f′（x）=≤0在[，e]上恒成立，即≤0在[，e]上恒成立，构造函数[，e]，利用导数求得函数g（x）在[，e]上的最小值得答案．【解答】解：（1）∵f（x）=ex（lnx﹣a），∴f′（x）=，∵y=f（x）在x=1处的切线方程为y=2ex+b，∴k=f′（1）=e（ln1+）=2e，∴a=﹣1，∴f（x）=ex（lnx+1），∴f（1）=e，又∵（1，e）也在y=2ex+b上，∴e=2e+b，则b=﹣e；（2）∵y=f（x）在[，e]上单调递减，∴f′（x）=≤0在[，e]上恒成立，即≤0在[，e]上恒成立，令[，e]，∴g′（x）=，当x∈[，1）时，g′（x）＜0，g（x）单调递减，当x∈（1，e]时，g′（x）＞0，g（x）单调递增，又∵g（e）=1+，g（）=﹣1+e，∴g（）＞g（e），∴．-16-\n∴要使≤0在[，e]上恒成立，只需a≥e﹣1，即a的取值范围是[e﹣1，+∞）．【点评】本题考查利用导数研究过曲线上某点处的切线方程，考查了利用导数求函数的最值，训练了利用分离参数证明恒成立问题，是中档题．21．（14分）已知f（x）=x（x﹣a）．（1）当x∈[0，1]时，f（x）有最小值﹣3，求实数a的值；（2）若函数g（x）=f（x）﹣lnx有零点，求a的最小值．【考点】二次函数在闭区间上的最值；函数的零点．【专题】计算题；分类讨论；构造法；函数的性质及应用．【分析】（1）分情况讨论f（x）在[0，1]上的单调性，令fmin（x）=﹣3，求出a的值；（2）令g（x）=0解出a=x﹣，求出右边函数的最小值即可．【解答】解：（1）f（x）=x2﹣ax=（x﹣）2﹣．∵当x∈[0，1]时，f（x）有最小值﹣3，∴①当≤0即a≤0时，fmin（x）=f（0）=0，不符合题意；②当0＜≤1即0＜a≤2时，fmin（x）=f（）=﹣=﹣3，∴a=2，不符合题意；③当＞1即a＞2时，fmin（x）=f（1）=1﹣a=﹣3，∴a=4．综上，a=4．（2）g（x）=x2﹣ax﹣lnx，x＞0．令g（x）=0，则a=x﹣，令h（x）=x﹣，则h′（x）=1﹣=．∴当x=1时，h′（x）=0，当0＜x＜1时，h′（x）＜0，当x＞1时，h′（x）＞0，∴h（x）在（0，1）上单调递减，在[1，+∞）上单调递增，∴hmin（x）=h（1）=1．∵函数g（x）=f（x）﹣lnx有零点，∴a的最小值是1．【点评】本题考查了二次函数的单调性，函数的最小值，是中档题．-16-
