2022-2022学年山东省德州市高三（上）期中数学试卷（文科）一、选择题（共10小题，每小题5分，满分50分）1．已知集合A={x|x2﹣4x﹣5＜0}，B={x|2＜x＜4}，则A∩B=()A．（1，3）B．（1，4）C．（2，3）D．（2，4）2．已知向量=（1，2），=（0，1），=（﹣2，k），若（+2）∥，则k=()A．﹣8B．﹣C．D．83．若sinα=﹣，且α为第四象限角，则tanα的值等于()A．B．﹣C．3D．﹣34．下列说法正确的是()A．命题“若x2=1，则x=1”的否命题为：“若x2=1，则x≠1”B．若命题p：∃x∈R，x2﹣2x﹣1＞0，则命题¬p：∀x∈R，x2﹣2x﹣1＜0C．命题“若x=y，则sinx=siny”的逆否命题为真命题D．“x=﹣1”是“x2﹣5x﹣6=0”的必要不充分条件5．曲线y=在点（1，﹣1）处的切线方程为()A．y=x﹣2B．y=﹣3x+2C．y=2x﹣3D．y=﹣2x+16．已知Sn是等差数列{an}的前n项和，若a1+a3+a5=3，则S5=()A．B．5C．7D．97．函数y=的图象可能是()A．B．C．D．8．下列四个命题，其中正确命题的个数()①若a＞|b|，则a2＞b2②若a＞b，c＞d，则a﹣c＞b﹣d③若a＞b，c＞d，则ac＞bd16\n④若a＞b＞o，则＞．A．3个B．2个C．1个D．0个9．已知定义在R上的函数f（x）=2|x﹣m|﹣1（m为实数）为偶函数，记a=f（2﹣3），b=f（3m），c=f（log0.53），则()A．a＜b＜cB．a＜c＜bC．c＜a＜bD．c＜b＜a10．已知定义在R上的函数y=f（x）对任意的x都满足f（x+2）=f（x），当﹣1≤x＜1时，f（x）=sinx，若函数g（x）=f（x）﹣loga|x|至少6个零点，则a的取值范围是()A．（0，]∪（5，+∞）B．（0，）∪[5，+∞）C．（，]∪（5，7）D．（，）∪[5，7）二、填空题（共5小题，每小题5分，满分25分）11．已知f（x）=，则f（f（））的值为__________．12．已知等比数列{an}满足a1=，a3a5=4（a4﹣1），则a2=__________．13．在△ABC中，角A，B，C所对边的长分别是a，b，c，已知b=c，sinA+sinC=sinB，则角A=__________．14．若x，y满足，则z=2x+y的最大值为__________．15．设函数f（x）是定义在（﹣∞，0）上的可导函数，其导函数为f′（x），且有3f（x）+xf′（x）＞0，则不等式（x+2022）3f（x+2022）+27f（﹣3）＞0的解集是__________．三、解答题（共6小题，满分75分）16．已知函数（ω＞0）的最小正周期为π．（Ⅰ）求ω的值及函数f（x）的单调递增区间；16\n（Ⅱ）当时，求函数f（x）的取值范围．17．已知向量，的夹角为60°，且||=1，||=2，又=2+，=﹣3+（Ⅰ）求与的夹角的余弦；（Ⅱ）设=t﹣，=﹣，若⊥，求实数t的值．18．在△ABC中，角A、B、C对边分别是a、b、c，且满足．（Ⅰ）求角A的大小；（Ⅱ）若，△ABC的面积为，求b，c．19．若数列{an}中，a1=，an+1=an（Ⅰ）证明：{}是等比数列，并求{an}的通项公式；（Ⅱ）若{an}的前n项和为Sn，求证Sn．20．（13分）某厂家举行大型的促销活动，经测算某产品当促销费用为x万元时，销售量P万件满足（其中0≤x≤a，a为正常数）．现假定生产量与销售量相等，已知生产该产品P万件还需投入成本（10+2P）万元（不含促销费用），产品的销售价格定为万元/万件．（1）将该产品的利润y万元表示为促销费用x万元的函数；（2）促销费用投入多少万元时，厂家的利润最大．21．（14分）已知函数f（x）=ex﹣ax﹣1（a＞0，e为自然对数的底数）（1）求函数f（x）的最小值；（2）若f（x）≥0对任意的x∈R恒成立，求实数a的值；（3）在（2）的条件下，证明：1+++…+＞ln（n+1）（n∈N*）16\n2022-2022学年山东省德州市高三（上）期中数学试卷（文科）一、选择题（共10小题，每小题5分，满分50分）1．已知集合A={x|x2﹣4x﹣5＜0}，B={x|2＜x＜4}，则A∩B=()A．（1，3）B．（1，4）C．（2，3）D．（2，4）【考点】交集及其运算．【专题】计算题；集合思想；综合法；集合；不等式．【分析】求出A中不等式的解集确定出A，找出A与B的交集即可．【解答】解：由A中不等式变形得：（x﹣5）（x+1）＜0，解得：﹣1＜x＜5，即A=（﹣1，5），∵B=（2，4），∴A∩B=（2，4），故选：D．【点评】此题考查了交集及其运算，熟练掌握交集的定义是解本题的关键．2．已知向量=（1，2），=（0，1），=（﹣2，k），若（+2）∥，则k=()A．﹣8B．﹣C．D．8【考点】平面向量共线（平行）的坐标表示．【专题】计算题；函数思想；综合法；平面向量及应用．【分析】求出向量+2，利用斜率的坐标运算求解即可．【解答】解：向量=（1，2），=（0，1），=（﹣2，k），+2=（1，4），∵（+2）∥，∴﹣8=k．故选：A．【点评】本题考查向量的坐标运算，共线向量的充要条件的应用，考查计算能力．3．若sinα=﹣，且α为第四象限角，则tanα的值等于()A．B．﹣C．3D．﹣3【考点】同角三角函数基本关系的运用．【专题】计算题；方程思想；综合法；三角函数的求值．【分析】由sinα的值及α为第四象限角，利用同角三角函数间的基本关系求出cosα的值，即可确定出tanα的值．16\n【解答】解：∵sinα=﹣，且α为第四象限角，∴cosα==，则tanα=﹣，故选：B．【点评】此题考查了同角三角函数基本关系的运用，熟练掌握基本关系是解本题的关键．4．下列说法正确的是()A．命题“若x2=1，则x=1”的否命题为：“若x2=1，则x≠1”B．若命题p：∃x∈R，x2﹣2x﹣1＞0，则命题¬p：∀x∈R，x2﹣2x﹣1＜0C．命题“若x=y，则sinx=siny”的逆否命题为真命题D．“x=﹣1”是“x2﹣5x﹣6=0”的必要不充分条件【考点】四种命题．【专题】简易逻辑．【分析】A，写出它的否命题，即可判定真假；B，写出命题p的否定￢p；C，判定原命题的真假性，即可得出它的逆否命题的真假性；D，由“x=﹣1”得出“x2﹣5x﹣6=0”成立，判定命题是否正确．【解答】解：对于A，否命题是“若x2≠1，则x≠1”，∴A错误；对于B，命题p的否定￢p：∀x∈R，x2﹣2x﹣1≤0，∴B错误；对于C，命题“若x=y，则sinx=siny”是真命题，∴它的逆否命题是真命题，∴C正确；对于D，“x=﹣1”时，“x2﹣5x﹣6=0”，∴是充分条件，∴D错误；故选：C．【点评】本题通过命题真假的判定，考查了四种命题之间的关系，也考查了一定的逻辑思维能力，是基础题．5．曲线y=在点（1，﹣1）处的切线方程为()A．y=x﹣2B．y=﹣3x+2C．y=2x﹣3D．y=﹣2x+1【考点】导数的几何意义．【专题】计算题．【分析】根据导数的几何意义求出函数f（x）在x=1处的导数，从而求出切线的斜率，再用点斜式写出切线方程，化成斜截式即可．【解答】解：y′=（）′=，∴k=y′|x=1=﹣2．l：y+1=﹣2（x﹣1），则y=﹣2x+1．故选：D【点评】本题考查了导数的几何意义，以及导数的运算法则，本题属于基础题．16\n6．已知Sn是等差数列{an}的前n项和，若a1+a3+a5=3，则S5=()A．B．5C．7D．9【考点】等差数列的前n项和．【专题】转化思想；数学模型法；等差数列与等比数列．【分析】由等差数列{an}的性质，a1+a3+a5=3=3a3，解得a3．再利用等差数列的前n项和公式即可得出．【解答】解：由等差数列{an}的性质，a1+a3+a5=3=3a3，解得a3=1．则S5==5a3=5．故选：B．【点评】本题考查了等差数列的通项公式及其性质、前n项和公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．7．函数y=的图象可能是()A．B．C．D．【考点】函数的图象．【专题】函数的性质及应用．【分析】当x＞0时，，当x＜0时，，作出函数图象为B．【解答】解：函数y=的定义域为（﹣∞，0）∪（0，+∞）关于原点对称．当x＞0时，，当x＜0时，，此时函数图象与当x＞0时函数的图象关于原点对称．故选B【点评】本题考查了函数奇偶性的概念、判断及性质，考查了分段函数的图象及图象变换的能力．8．下列四个命题，其中正确命题的个数()①若a＞|b|，则a2＞b216\n②若a＞b，c＞d，则a﹣c＞b﹣d③若a＞b，c＞d，则ac＞bd④若a＞b＞o，则＞．A．3个B．2个C．1个D．0个【考点】命题的真假判断与应用．【专题】综合题；转化思想；分析法；不等式的解法及应用．【分析】直接由不等式的可乘积性判断①；举例说明②③④错误．【解答】解：①若a＞|b|，则a2＞b2，①正确；②若a＞b，c＞d，则a﹣c＞b﹣d错误，如3＞2，﹣1＞﹣3，而3﹣（﹣1）=4＜5=2﹣（﹣3）；③若a＞b，c＞d，则ac＞bd错误，如3＞1，﹣2＞﹣3，而3×（﹣2）＜1×（﹣3）；④若a＞b＞o，则，当c＞0时，＜，④错误．∴正确命题的个数只有1个．故选：C．【点评】本题考查命题的真假判断与应用，考查了不等式的基本性质，是基础题．9．已知定义在R上的函数f（x）=2|x﹣m|﹣1（m为实数）为偶函数，记a=f（2﹣3），b=f（3m），c=f（log0.53），则()A．a＜b＜cB．a＜c＜bC．c＜a＜bD．c＜b＜a【考点】对数函数图象与性质的综合应用．【专题】数形结合；函数的性质及应用．【分析】由题意可得m=0，可得f（x）=2|x|﹣1在（0，+∞）单调递增，在（﹣∞，0）单调递减，比较三个变量的绝对值大小可得．【解答】解：∵定义在R上的函数f（x）=2|x﹣m|﹣1（m为实数）为偶函数，∴f（﹣1）=f（1），即2|﹣1﹣m|﹣1=2|1﹣m|﹣1，解得m=0，∴f（x）=2|x|﹣1在（0，+∞）单调递增，在（﹣∞，0）单调递减，∵2﹣3=∈（0，1），3m=1，|log0.53|=log23＞1，∴f（2﹣3）＜f（3m）＜f（log0.53），即a＜b＜c故选：A【点评】本题考查函数的单调性和奇偶性，属基础题．10．已知定义在R上的函数y=f（x）对任意的x都满足f（x+2）=f（x），当﹣1≤x＜1时，f（x）=sinx，若函数g（x）=f（x）﹣loga|x|至少6个零点，则a的取值范围是()A．（0，]∪（5，+∞）B．（0，）∪[5，+∞）C．（，]∪（5，7）D．（，）∪[5，7）【考点】函数零点的判定定理．【专题】计算题；作图题；函数的性质及应用．【分析】分a＞1与0＜a＜1讨论，结合题意作两个函数的图象，利用数形结合求解即可．【解答】解：当a＞1时，作函数f（x）与函数y=loga|x|的图象如下，16\n，结合图象可知，，故a＞5；当0＜a＜1时，作函数f（x）与函数y=loga|x|的图象如下，，结合图象可知，，故0＜a≤．故选A．【点评】本题考查了函数的图象的作法及应用，同时考查了分类讨论的思想应用．二、填空题（共5小题，每小题5分，满分25分）11．已知f（x）=，则f（f（））的值为3e．【考点】对数的运算性质．【专题】分类讨论；数学模型法；函数的性质及应用．【分析】由＞3，可得=log3（15﹣6）=2．进而得出．16\n【解答】解：∵＞3，∴=log3（15﹣6）=2．∴f（f（））=f（2）=3e2﹣1=3e．故答案为：3e．【点评】本题考查了对数与指数的运算性质、分段函数的解析式，考查了计算能力，属于中档题．12．已知等比数列{an}满足a1=，a3a5=4（a4﹣1），则a2=．【考点】等比数列的通项公式．【专题】等差数列与等比数列．【分析】设等比数列{an}的公比是q，根据题意和等比数列的通项公式列出方程，化简后求出q的值，即可求出a2．【解答】解：设等比数列{an}的公比是q，因为a1=，a3a5=4（a4﹣1），所以（）（）=4（﹣1），化简得，q6﹣16q3+64=0，解得q3=8，则q=2，所以a2=a1•q==，故答案为：．【点评】本题考查等比数列的通项公式，以及方程思想，属于基础题．13．在△ABC中，角A，B，C所对边的长分别是a，b，c，已知b=c，sinA+sinC=sinB，则角A=．【考点】余弦定理的应用．【专题】转化思想；综合法；解三角形．【分析】运用正弦定理，可得a+c=b，又b=c，即有a=c，再由余弦定理，计算cosA，即可得到所求A的值．【解答】解：由正弦定理，sinA+sinC=sinB，即为a+c=b，又b=c，即有a=2c﹣c=c，16\n由余弦定理可得cosA===．即有A=．故答案为：．【点评】本题考查正弦定理和余弦定理的运用，考查运算能力，属于中档题．14．若x，y满足，则z=2x+y的最大值为．【考点】简单线性规划．【专题】作图题；转化思想；数形结合法；不等式的解法及应用．【分析】由约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，联立方程组求出最优解的坐标，代入目标函数得答案．【解答】解：由约束条件作出可行域如图，联立，解得A（），化目标函数z=2x+y为y=﹣2x+z，由图可知，当直线y=﹣2x+z过A时，直线在y轴上的截距最大，z有最大值为．故答案为：．【点评】本题考查简单的线性规划，考查了数形结合的解题思想方法，是中档题．15．设函数f（x）是定义在（﹣∞，0）上的可导函数，其导函数为f′（x），且有3f（x）+xf′（x）＞0，则不等式（x+2022）3f（x+2022）+27f（﹣3）＞0的解集是（﹣2022，﹣2022）．【考点】函数的单调性与导数的关系．16\n【专题】函数思想；导数的概念及应用．【分析】根据题意，构造函数g（x）=x3f（x），x∈（﹣∞，0），利用导数判断g（x）的单调性，再把不等式（x+2022）3f（x+2022）+27f（﹣3）＞0化为g（x+2022）＞g（﹣3），利用单调性求出不等式的解集．【解答】解：根据题意，令g（x）=x3f（x），其导函数为g′（x）=3x2f（x）+x3f′（x）=x2[3f（x）+xf′（x）]，∵x∈（﹣∞，0）时，3f（x）+xf′（x）＞0，∴g（x）＞0，∴g（x）在（﹣∞，0）上单调递增；又不等式（x+2022）3f（x+2022）+27f（﹣3）＞0可化为（x+2022）3f（x+2022）＞（﹣3）3f（﹣3），即g（x+2022）＞g（﹣3），∴0＞x+2022＞﹣3；解得﹣2022＞x＞﹣2022，∴该不等式的解集是为（﹣2022，﹣2022）．故答案为：（﹣2022，﹣2022）．【点评】本题考查了利用导数研究函数的单调性问题，也考查了利用函数的单调性求不等式的解集的问题，是综合性题目．三、解答题（共6小题，满分75分）16．已知函数（ω＞0）的最小正周期为π．（Ⅰ）求ω的值及函数f（x）的单调递增区间；（Ⅱ）当时，求函数f（x）的取值范围．【考点】二倍角的余弦；两角和与差的正弦函数；二倍角的正弦；正弦函数的单调性．【专题】三角函数的图像与性质．【分析】（Ⅰ）利用两角和的正弦公式，二倍角公式化简函数f（x）的解析式为，由此求得它的最小正周期．令，求得x的范围，即可得到函数f（x）的单调递增区间．（Ⅱ）因为，根据正弦函数的定义域和值域求得函数f（x）的取值范围．【解答】解：（Ⅰ）==．…因为f（x）最小正周期为π，所以ω=2．…所以．由，k∈Z，得．16\n所以函数f（x）的单调递增区间为[]，k∈Z．…（Ⅱ）因为，所以，…所以．…所以函数f（x）在上的取值范围是[]．…（13分）【点评】本题主要考查两角和的正弦公式，二倍角公式，正弦函数的单调性和周期性，正弦函数的定义域和值域，属于中档题．17．已知向量，的夹角为60°，且||=1，||=2，又=2+，=﹣3+（Ⅰ）求与的夹角的余弦；（Ⅱ）设=t﹣，=﹣，若⊥，求实数t的值．【考点】平面向量的综合题．【专题】计算题；向量法；平面向量及应用．【分析】（Ⅰ）进行数量积的运算便可得出，根据便可求出，同理可求出，这样根据向量夹角的余弦公式即可求出与夹角的余弦；（Ⅱ）先求出，而根据便有，进行数量积的运算即可求出t的值．【解答】解：（Ⅰ）==﹣6﹣1•2•cos60°+4=﹣3；=，；∴；即与夹角的余弦为；（Ⅱ），；∴=2t+3﹣t﹣4﹣4t+4=0；∴t=1．16\n【点评】考查向量数量积的运算及其计算公式，求向量长度的方法：根据，向量夹角的余弦公式，向量的减法和数乘运算，向量垂直的充要条件．18．在△ABC中，角A、B、C对边分别是a、b、c，且满足．（Ⅰ）求角A的大小；（Ⅱ）若，△ABC的面积为，求b，c．【考点】余弦定理的应用；平面向量数量积的运算．【专题】计算题；解三角形．【分析】（I）由题意可得2bccosA=a2﹣b2﹣c2﹣2bc，再由余弦定理求出cosA，从而确定A的大小；（II）利用三角形的面积公式S=bcsinA得bc=16；再由余弦定理得b2+c2+bc=48，联立求出b、c．【解答】解：（Ⅰ）由题意可得2bccosA=a2﹣b2﹣c2﹣2bc，由余弦定理a2=b2+c2﹣2bccosA得4bccosA=﹣2bc，∴，∵0＜A＜π，∴．（Ⅱ）∵sinA=，cosA=﹣，∴，a2=b2+c2﹣2bccosA⇔b2+c2+bc=48，⇒b=c=4，故b=4，c=4．【点评】本题考查余弦定理的应用，考查三角形的面积公式的应用，结合题设条件，利用余弦定理求出角A的大小是解答本题的关键．19．若数列{an}中，a1=，an+1=an（Ⅰ）证明：{}是等比数列，并求{an}的通项公式；（Ⅱ）若{an}的前n项和为Sn，求证Sn．【考点】数列的求和；等比关系的确定．【专题】证明题；转化思想；作差法；等差数列与等比数列；不等式的解法及应用．16\n【分析】（Ⅰ）由题意可得=•，结合等比数列的定义，即可得证，再由等比数列的通项公式即可求得{an}的通项公式；（Ⅱ）运用错位相减法，结合等比数列的求和公式，化简整理可得Sn，再由不等式的性质即可得证．【解答】（Ⅰ）证明：a1=，an+1=an即有=•，则{}是首项为，公比为的等比数列，即有=（）n，即an=n•（）n；（Ⅱ）证明：{an}的前n项和为Sn，即有Sn=1•+2•（）2+3•（）3+…+n•（）n，Sn=1•（）2+2•（）3+3•（）4+…+n•（）n+1，两式相减可得，Sn=+（）2+（）3+…+（）n﹣n•（）n+1，=﹣n•（）n+1，化简可得Sn=﹣﹣＜．则Sn．【点评】本题考查等比数列的定义的运用，考查数列的通项公式的求法，同时考查数列的求和方法：错位相减法，以及等比数列的求和公式的运用，属于中档题．20．（13分）某厂家举行大型的促销活动，经测算某产品当促销费用为x万元时，销售量P万件满足（其中0≤x≤a，a为正常数）．现假定生产量与销售量相等，已知生产该产品P万件还需投入成本（10+2P）万元（不含促销费用），产品的销售价格定为万元/万件．16\n（1）将该产品的利润y万元表示为促销费用x万元的函数；（2）促销费用投入多少万元时，厂家的利润最大．【考点】函数模型的选择与应用；基本不等式在最值问题中的应用．【专题】应用题；导数的综合应用．【分析】（1）根据题意售价为万元/万件，销售量为P，成本为（10+2P）+x万元，利用利润=销售额﹣成本，即可列出函数关系式；（2）对a进行分类讨论，当a≥1时，利用基本不等式即可求得最值，当a＜1时，利用导数确定函数的单调性，从而求得最值，即可得到答案．【解答】解：（1）由题意知，该产品售价为万元，销售量为P，成本为（10+2P）+x万元，∴，∵（其中0≤x≤a，a为正常数），∴y=2×﹣10﹣2×（3﹣）﹣x=16﹣x﹣，∴（0≤x≤a），∴该产品的利润y万元表示为促销费用x万元的函数为（0≤x≤a）；（2）由（1）可知，（0≤x≤a），∴，当且仅当时取等号，∵0≤x≤a，①当a≥1时，x=1时，y取得最大值为13，∴促销费用投入1万元时，厂家的利润最大；②当a＜1时，，∴，解得﹣3＜x＜1，∴在（﹣3，1）上单调递增，∴在[0，a]上单调递增，∴在x=a时，函数有最大值，∴促销费用投入a万元时，厂家的利润最大．16\n综合①②可得，当a≥1时，促销费用投入1万元时，厂家的利润最大，当a＜1时，促销费用投入a万元时，厂家的利润最大．【点评】本题主要考查函数模型的选择与应用．解决实际问题通常有四个步骤：（1）阅读理解，认真审题；（2）引进数学符号，建立数学模型；（3）利用数学的方法，得到数学结果；（4）转译成具体问题作出解答，其中关键是建立数学模型．在运用数学方法求解最值时，选用了基本不等式和导数的方法求解．属于中档题．21．（14分）已知函数f（x）=ex﹣ax﹣1（a＞0，e为自然对数的底数）（1）求函数f（x）的最小值；（2）若f（x）≥0对任意的x∈R恒成立，求实数a的值；（3）在（2）的条件下，证明：1+++…+＞ln（n+1）（n∈N*）【考点】利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究函数的单调性．【专题】导数的综合应用．【分析】（1）通过对函数f（x）求导，讨论f（x）的单调性可得函数f（x）的最小值；（2）根据条件可得g（a）=a﹣alna﹣1≥0，讨论g（a）的单调性即得结论；（3）由（2）得ex≥x+1，即ln（x+1）≤x，通过令（k∈N*），可得（k=1，2，…，n），然后累加即可．【解答】解：（1）由题意a＞0，f′（x）=ex﹣a，令f′（x）=ex﹣a=0，解得x=lna，先当x∈（﹣∞，lna）时，f′（x）＜0；当x∈（lna，+∞）时，f′（x）＞0．即f（x）在（﹣∞，lna）上单调递减，在（lna，+∞）上单调递增，所以f（x）在x=lna处取得极小值，且为最小值，其最小值为f（lna）=elna﹣alna﹣1=a﹣alna﹣1；（2）∵f（x）≥0对任意的x∈R恒成立，∴在x∈R上，fmin（x）≥0，由（1），设g（a）=a﹣alna﹣1，则g（a）≥0，令g′（a）=1﹣lna﹣1=﹣lna=0，解得a=1，易知g（a）在区间（0，1）上单调递增，在区间（1，+∞）上单调递减，∴g（a）在a=1处取得最大值，而g（1）=0．因此g（a）≥0的解为a=1，即a=1；（3）由（2）得ex≥x+1，即ln（x+1）≤x，当且仅当x=0时，等号成立，令（k∈N*），则，即，所以（k=1，2，…，n），累加，得1+++…+＞ln（n+1）（n∈N*）．【点评】本题考查函数的最值，单调性，通过对表达式的灵活变形是解决本题的关键，属于中档题．16
