2022年山东省济宁市高考数学一模试卷（文科）一、选择题：本大题共10小题．每小题5分．共50分．在每小题给出的四个选项中．只有一项是符合题目要求的．1．（5分）（2022•济宁一模）若集合A={x|1gx＜1}，B={y|y=sinx，x∈R}，则A∩B=（ ） A．（0，1）B．（0，1]C．D．∅【考点】：交集及其运算．【专题】：集合．【分析】：求出A中不等式的解集确定出A，求出B中y的范围确定出B，找出A与B的交集即可．【解析】：解：由A中不等式变形得：lgx＜1=lg10，即0＜x＜10，∴A=（0，10），由y=sinx∈，得到B=，则A∩B=（0，1]，故选：B．【点评】：此题考查了交集及其运算，熟练掌握交集的定义是解本题的关键． 2．（5分）（2022•济宁一模）已知i为虚数单位，复数z满足iz=1+i，则=（ ） A．1+iB．1﹣iC．﹣1+iD．﹣1﹣i【考点】：复数代数形式的乘除运算．【专题】：数系的扩充和复数．【分析】：利用复数的运算法则与共轭复数的定义即可得出．【解析】：解：∵iz=1+i，∴﹣i•iz=﹣i（1+i），化为z=1﹣i，∴=1+i．故选：A．【点评】：本题考查了复数的运算法则与共轭复数的定义，属于基础题． 3．（5分）（2022•广东）已知简谐运动的图象经过点（0，1），则该简谐运动的最小正周期T和初相φ分别为（ ） A．T=6，φ=B．T=6，φ=C．T=6π，φ=D．T=6π，φ=【考点】：y=Asin（ωx+φ）中参数的物理意义；三角函数的周期性及其求法．【专题】：计算题；压轴题．【分析】：根据图象上点的坐标满足解析式，由已知的范围求出函数的初相，再根据正弦函数的周期和周期公式求出此函数的最小正周期．【解析】：解：由题意知图象经过点（0，1），即2sinφ=1，又因可得，，由函数的周期得T==6，-12-故选A．【点评】：本题考查了复合三角函数的周期以及初相的求法，主要根据定义和已知的范围进行求解，考查了对定义的运用能力． 4．（5分）（2022•辽宁）已知m，n表示两条不同直线，α表示平面，下列说法正确的是（ ） A．若m∥α，n∥α，则m∥nB．若m⊥α，n⊂α，则m⊥n C．若m⊥α，m⊥n，则n∥αD．若m∥α，m⊥n，则n⊥α【考点】：空间中直线与直线之间的位置关系．【专题】：空间位置关系与距离．【分析】：A．运用线面平行的性质，结合线线的位置关系，即可判断；B．运用线面垂直的性质，即可判断；C．运用线面垂直的性质，结合线线垂直和线面平行的位置即可判断；D．运用线面平行的性质和线面垂直的判定，即可判断．【解析】：解：A．若m∥α，n∥α，则m，n相交或平行或异面，故A错；B．若m⊥α，n⊂α，则m⊥n，故B正确；C．若m⊥α，m⊥n，则n∥α或n⊂α，故C错；D．若m∥α，m⊥n，则n∥α或n⊂α或n⊥α，故D错．故选B．【点评】：本题考查空间直线与平面的位置关系，考查直线与平面的平行、垂直的判断与性质，记熟这些定理是迅速解题的关键，注意观察空间的直线与平面的模型． 5．（5分）（2022•济宁一模）已知如图1所示是某学生的14次数学考试成绩的茎叶图，第1次到第14次的考试成绩依次记为A1，A2，…A14，图2是统计茎叶图中成绩在一定范围内考试次数的一个程序框图，则输出的n的值是（ ） A．8B．9C．10D．11【考点】：程序框图；茎叶图．【专题】：算法和程序框图．【分析】：算法的功能是计算学生在14次数学考试成绩中，成绩大于等于90的次数，根据茎叶图可得成绩大于等于90的次数，即n值．-12-【解析】：解：由程序框图知：算法的功能是计算学生在14次数学考试成绩中，成绩大于等于90的次数，由茎叶图得，在14次测试中，成绩大于等于90的有：93、99、98、98、94、91、95、103、101、114共10次，∴输出n的值为10．故选：C．【点评】：本题借助茎叶图考查了循环结构的程序框图，根据框图的流程判断算法的功能是关键． 6．（5分）（2022•济宁一模）下列说法不正确的是（ ） A．“若a+b≥2，则a，b中至少有一个不小于1”的逆命题为真 B．存在正实数a，b，使得lg（a+b）=1ga+1gb C．命题p：∃x∈R，使得x2+x﹣1＜0，则￢p：∀x∈R，使得x2+x﹣1≥0 D．a+b+c=0是方程ax2+bx+c=0（a≠0）有一个根为1的充分必要条件【考点】：命题的真假判断与应用．【专题】：简易逻辑．【分析】：A，写出命题“若a+b≥2，则a，b中至少有一个不小于1”的逆命题，可判断A；B，举例说明，存在正实数a=b=2，使得lg（a+b）=1ga+1gb，可判断B；C，写出命题p：∃x∈R，使得x2+x﹣1＜0的否定，可判断C；D，利用充分必要条件的概念，从“充分性”与“必要性”两个方面，可判断D．【解析】：解：对于A，“若a+b≥2，则a，b中至少有一个不小于1”的逆命题为“若a，b中至少有一个不小于1，则a+b≥2”为假命题，例如a=2≥1，b=﹣1，则a+b=1＜2，故A错误；对于B，存在正实数a=b=2，使得lg（2+2）=1g2+1g2，故B正确；对于C，命题p：∃x∈R，使得x2+x﹣1＜0，则￢p：∀x∈R，使得x2+x﹣1≥0，故C正确；对于D，a+b+c=0⇒方程ax2+bx+c=0（a≠0）有一个根为1，即充分性成立；反之，若方程ax2+bx+c=0（a≠0）有一个根为1，则a+b+c=0，即必要性成立；所以，a+b+c=0是方程ax2+bx+c=0（a≠0）有一个根为1的充分必要条件，即D正确．综上所述，错误的选项为A，故选：A．【点评】：本题考查命题的真假判断与应用，着重考查四种命题之间的关系及真假判断，考查全称命题与特称命题及充分必要条件，属于中档题． 7．（5分）（2022•济宁一模）若函数f（x）=kax﹣a﹣x（a＞0且a≠1）在（﹣∞，+∞）上既是奇函数又是增函数，则函数g（x）=loga（x+k）的图象是（ ） A．B．C．D．【考点】：函数的图象．【专题】：函数的性质及应用．-12-【分析】：由函数f（x）=kax﹣a﹣x，（a＞0，a≠1）在（﹣∞，+∞）上既是奇函数，又是增函数，则由复合函数的性质，我们可得k=1，a＞1，由此不难判断函数的图象．【解析】：解：∵函数f（x）=kax﹣a﹣x，（a＞0，a≠1）在（﹣∞，+∞）上是奇函数则f（﹣x）+f（x）=0即（k﹣1）（ax﹣a﹣x）=0则k=1又∵函数f（x）=kax﹣a﹣x，（a＞0，a≠1）在（﹣∞，+∞）上是增函数则a＞1则g（x）=loga（x+k）=loga（x+1）函数图象必过原点，且为增函数故选C【点评】：若函数在其定义域为为奇函数，则f（﹣x）+f（x）=0，若函数在其定义域为为偶函数，则f（﹣x）﹣f（x）=0，这是函数奇偶性定义的变形使用，另外函数单调性的性质，在公共单调区间上：增函数﹣减函数=增函数也是解决本题的关键． 8．（5分）（2022•济宁一模）设变量x，y满足约束条件，则z=2x﹣2y的取值范围为（ ） A．B．C．D．【考点】：简单线性规划．【专题】：不等式的解法及应用．【分析】：由约束条件作出可行域，令t=x﹣2y，由线性规划知识求得t的范围，再由指数函数的值域得答案．【解析】：解：由约束条件作出可行域如图，令t=x﹣2y，化为直线方程的斜截式得：，-12-联立，解得A（﹣2，﹣2），联立，解得C（﹣1，2）．由图可知，当直线过A时，直线在y轴上的截距最小，t最大，最大值为2；当直线过C时，直线在y轴上的截距最大，t最小，最小值为﹣5．则t∈，由z=2x﹣2y=2tt∈，得z∈．故选：D．【点评】：本题考查了简单的线性规划，考查了数形结合的解题思想方法，考查了指数函数的值域，是中档题． 9．（5分）（2022•济宁一模）设偶函数f（x）对任意x∈R，都有f（x+3）=﹣，且当x∈时，f（x）=4x，则f（107.5）=（ ） A．10B．C．﹣10D．﹣【考点】：函数的周期性．【专题】：计算题．【分析】：先通过有f（x+3）=﹣，且可推断函数f（x）是以6为周期的函数．进而可求得f（107.5）=f（5.5），再利用f（x+3）=﹣以及偶函数f（x）和x∈时，f（x）=4x即可求得f（107.5）的值．【解析】：解：因为f（x+3）=﹣，故有f（x+6）=﹣=﹣=f（x）．函数f（x）是以6为周期的函数．f（107.5）=f（6×17+5.5）=f（5.5）=﹣=﹣=﹣=．故选B【点评】：本题主要考查了函数的周期性．要特别利用好题中有f（x+3）=﹣的关系式．在解题过程中，条件f（x+a）=﹣通常是告诉我们函数的周期为2a． -12-10．（5分）（2022•济宁一模）已知抛物线y=x2与双曲线﹣x2=1（a＞0）有共同的焦点F，O为坐标原点，P在x轴上方且在双曲线上，则•的最小值为（ ） A．2﹣3B．3﹣2C．D．【考点】：平面向量数量积的运算．【专题】：计算题；平面向量及应用；圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】：求出抛物线的焦点，即有双曲线的c=2，进而得到双曲线的方程，设P（m，n），（n），则n2﹣3m2=3，再由向量的数量积的坐标表示，化简整理成关于n的方程，再由二次函数的最值求法，即可得到最小值．【解析】：解：抛物线y=x2与的焦点F为（0，2），则双曲线﹣x2=1的c=2，则a2=3，即双曲线方程为=1，设P（m，n），（n），则n2﹣3m2=3，则•=（m，n）•（m，n﹣2）=m2+n2﹣2n=﹣1+n2﹣2n=﹣2n﹣1=（n﹣）2﹣，由于区间40.08合计501（1）写出a、b的值；（2）估计该校文科生数学成绩在120分以上学生人数；（3）该班为提高整体数学成绩，决定成立“二帮一”小组，即从成绩在中选两位同学，来帮助成绩在内有4人，记为乙、B、C、D．法一：“二帮一”小组有以下6种分组办法：（甲乙B，ACD）、（甲乙C，ABD）、（甲乙D，ABC）、（甲BC，A乙D）、（甲BD，A乙C）、（甲CD，A乙B）．其中甲、乙两同学被分在同一小组有3种办法：（甲乙B，ACD）、（甲乙C，ABD）、（甲乙D，ABC）．所以甲、乙分到同一组的概率为．…（12分）．【点评】：本题考查读频数分布表能力和频数与频率的求算方法以及它们之间的关系．利用统计图表获取信息时，必须认真观察、分析、研究统计图，才能作出正确的判断和解决问题．统计中常用的公式：频率=、解决事件的概率问题，关键是弄清事件属于的概率模型，然后，选择合适的概率模型公式． -12-17．（12分）（2022•济宁一模）在△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C的对边且acosC=b﹣c．（Ⅰ）求角A的大小；（Ⅱ）当a=，S△ABC=时，求边b和c的大小．【考点】：余弦定理；正弦定理．【专题】：解三角形．【分析】：（Ⅰ）由已知可得sinAcosC=sinB﹣sinC，又sinB=sin（A+C）=sinAcosC+cosAsinC，可解得cosA=，又0＜A＜π，即可求得角A的大小；（Ⅱ）由S△ABC==bcsinA可得：bc=2，由余弦定理可得b2+c2﹣bc=3，联立即可解得b，c的值．【解析】：解：（Ⅰ）由acosC=b﹣c．可得：sinAcosC=sinB﹣sinC，又sinB=sin（A+C）=sinAcosC+cosAsinC，∴sinC=cosAsinC，∵sinC≠0，∴cosA=，又∵0＜A＜π，∴A=（Ⅱ）由S△ABC==bcsinA可得：bc=2．由余弦定理可得：a2=b2+c2﹣2bccosA，可知：b2+c2﹣bc=3，即有：（b+c）2﹣3bc=3，所以解得：b+c=3，从而解得：b=2，c=1，或b=1，c=2【点评】：此题主要考查了正弦定理、余弦定理以及特殊角的三角函数值的应用，熟练掌握正弦定理，余弦定理是解题的关键，属于基本知识的考查． 18．（12分）（2022•济宁一模）如图，已知四边形ABCD和BCEG均为直角梯形，AD∥BC，CE∥BG，且∠BCD=∠BCE=，平面ABCD⊥平面BCEG，BC=CD=CE=2AD=2BG=2．求证：（Ⅰ）EC⊥CD；（Ⅱ）求证：AG∥平面BDE；（Ⅲ）求：几何体EG﹣ABCD的体积．-12-【考点】：棱柱、棱锥、棱台的体积；直线与平面平行的判定．【专题】：综合题；空间位置关系与距离．【分析】：（Ⅰ）利用面面垂直的性质，证明EC⊥平面ABCD，利用线面垂直的性质证明EC⊥CD；（Ⅱ）在平面BCDG中，过G作GN⊥CE交BE于M，连DM，证明四边形ADMG为平行四边形，可得AG∥DM，即可证明AG∥平面BDE；（Ⅲ）利用分割法即可求出几何体EG﹣ABCD的体积．【解析】：（Ⅰ）证明：由平面ABCD⊥平面BCEG，平面ABCD∩平面BCEG=BC，CE⊥BC，CE⊂平面BCEG，∴EC⊥平面ABCD，…（3分）又CD⊂平面BCDA，故EC⊥CD…（4分）（Ⅱ）证明：在平面BCDG中，过G作GN⊥CE交BE于M，连DM，则由已知知；MG=MN，MN∥BC∥DA，且，∴MG∥AD，MG=AD，故四边形ADMG为平行四边形，∴AG∥DM…（6分）∵DM⊂平面BDE，AG⊄平面BDE，∴AG∥平面BDE…（8分）（Ⅲ）解：…（10分）=…（12分）【点评】：本题考查面面垂直、线面平行，考查几何体体积的计算，考查学生分析解决问题的能力，正确运用面面垂直、线面平行的判定定理是关键． 19．（12分）（2022•滨州一模）等差数列{an}的前n项和为Sn，数列{bn}是等比数列，满足a1=3，b1=1，b2+S2=10，a5﹣2b2=a3．（Ⅰ）求数列{an}和{bn}的通项公式；（Ⅱ）令Cn=设数列{cn}的前n项和Tn，求T2n．-12-【考点】：数列的求和；等差数列的通项公式；等比数列的通项公式．【专题】：等差数列与等比数列．【分析】：（I）利用等差数列与等比数列的通项公式即可得出；（Ⅱ）由a1=3，an=2n+1得Sn=n（n+2）．则n为奇数，cn==．“分组求和”，利用“裂项求和”、等比数列的前n项和公式即可得出．【解析】：解：（Ⅰ）设数列{an}的公差为d，数列{bn}的公比为q，由b2+S2=10，a5﹣2b2=a3．得，解得∴an=3+2（n﹣1）=2n+1，．（Ⅱ）由a1=3，an=2n+1得Sn=n（n+2），则n为奇数，cn==，n为偶数，cn=2n﹣1．∴T2n=（c1+c3+…+c2n﹣1）+（c2+c4+…+c2n）===．【点评】：本题考查了等差数列与等比数列的通项公式及其前n项和公式、“分组求和”、“裂项求和”，考查了推理能力与计算能力，属于中档题． 20．（13分）（2022•济宁一模）已知函数f（x）=+lnx（a∈R）（Ⅰ）当a=1时，求f（x）的最小值；（Ⅱ）若f（x）在（0，e]上的最大值为2，求实数a的值；（Ⅲ）当a=﹣1时，试判断函数g（x）=f（x）+在其定义域内的零点的个数．【考点】：导数在最大值、最小值问题中的应用；函数的最值及其几何意义；根的存在性及根的个数判断．【专题】：导数的综合应用．【分析】：（Ⅰ）当a=1时，求出函数的导数，通过函数的单调性求出f（x）的最小值；（Ⅱ）通过①当a≤0时，②当a∈（0，e]时，③当a＞e时，通过x∈（0，e利用导函数的符号，判断函数的单调性，通过函数的最值，推出a符合题意的值即可；（Ⅲ）当a=﹣1时，求出函数的定义域，函数的导数求出函数的最值与0比较，判断在其定义域内的零点的个数即可．-12-【解析】：解：（Ⅰ）当a=1时，，当x∈（0，1）时，f'（x）＜0，f（x）单调递减，当x∈（1，+∞）时，f'（x）＞0，f（x）单调递增，所以，当x=1时，f（x）有最小值：f（x）min=f（1）=1…（4分）（Ⅱ）因为，①当a≤0时，f'（x）＞0，f（x）在（0，e]上为增函数，此时f（x）在（0，e]上无最小值..（5分）②当a∈（0，e]时，若x∈（0，a），则f'（x）＜0，f（x）单调递减，若x∈（a，e]，则f'（x）＞0，f（x）单调递增，所以f（x）min=f（a）=1+lna=2，∴a=e，符合题意；…（7分）③当a＞e时，x∈（0，e]，∴f'（x）＜0，f（x）单调递减，所以，∴a=e，不符合题意；综上所述，a=e时符合题意…（9分）（Ⅲ）证明当a=﹣1时，函数，，令φ（x）=2+x﹣lnx，（x＞0），则，所以x∈（0，1）时，φ'（x）＜0，φ（x）单调递减，当x∈（1，+∞）时，φ'（x）＞0，φ（x）单调递增，所以，φ（x）min=φ（1）=3＞0，在定义域内g'（x）＞0，g（x）在（0，+∞）单调递增，又g（1）=﹣1＜0，而，因此，函数g（x）在（1，e）上必有零点，又g（x）在（0，+∞）单调递增，所以函数在其定义域内有唯一的零点…（13分）【点评】：本题考查函数的导数的应用，函数的最值的求法，考查分类讨论思想以及转化思想的应用．考查分析问题解决问题的能力． 21．（14分）（2022•济宁一模）已知椭圆C：+=1（a＞b＞0）的离心率为，椭圆中心到直线x+y﹣b=0的距离为．（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）设过椭圆C的右焦点F且倾斜角为45°的直线l和椭圆C交于A，B两点，对于椭圆C上任一点M，若=λ+μ，求λμ的最大值．-12-【考点】：直线与圆锥曲线的关系；椭圆的标准方程．【专题】：圆锥曲线中的最值与范围问题．【分析】：（Ⅰ）利用椭圆的性质，求得a，b即可得出椭圆的方程；（Ⅱ）根据椭圆与直线的关系，联立方程组，结合方程根与系数的关系求解即可．【解析】：解：（Ⅰ）∵e==，∴c2=，∴b2=a2﹣c2=，∵椭圆中心到直线x+y﹣b=0的距离为．∴d==，∴b=5，b2=25，a2=4b2=100，∴椭圆的方程为+=1．（Ⅱ）由（Ⅰ）知F（5，0），由题意可知AB方程为y=x﹣5，①椭圆的方程可化为x2+4y2=100，②将①代入②消去y得5x2﹣40x+200=0，③设A（x1，y1），B（x2，y2），则有x1+x2=8，x1x2=40，设M（x，y），由=λ+μ得（x，y）=λ（x1，y1）+μ（x2，y2）=（λx1+μx2，λy1+μy2）∴，又点M在椭圆上，∴x2+4y2=+4=λ2++2λμx1x2+4（++2λμy1y2）=λ2（+4）+μ2（+4）+2λμ（x1x2+4y1y2）=100，④又A，B在椭圆上，故有=100，=100，⑤而x1x2+4y1y2=x1x2+4（x1﹣5）（）=5x1x2﹣20（x1+x2）+300=5×40﹣20×8+300=20，⑥将⑤，⑥代入④可得λ2+μ2+=1，∵1=≥2λμ+=，-12-∴λμ≤，当且仅当λ=μ时取“=”，则λμ的最大值为．【点评】：本题主要考查椭圆的方程及其性质，考查直线与椭圆的位置关系及考查学生的运算求解能力，综合性强，属于难题．-12-
