山东省菏泽市2022届高三5月份模拟考试数学（文）试题 一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（5分）（2022•菏泽二模）设全集U=R，，则如图中阴影部分表示的集合为（ ） A．{x|x≥1}B．{x|1≤x＜2}C．{x|0＜x≤1}D．{x|x≤1}考点：集合关系中的参数取值问题；Venn图表达集合的关系及运算．专题：计算题．分析：先求出集合A与集合B，根据阴影部分所示的集合是A∩CUB，依据交集、补集的定义计算可得．解答：解：A={x|0＜x＜2}，B={x|x＜1}根据阴影部分所示的集合是A∩CUB，则A∩CUB={x|1≤x＜2}，故选B．点评：本题考查了集合的运算，以及venn图表示集合的关系，属于基础题． 2．（5分）（2022•菏泽二模）设z=1﹣i（i是虚数单位），则=（ ） A．2B．2+iC．2﹣iD．2+2i考点：复数代数形式的乘除运算．专题：计算题．分析：利用复数的运算法则和共轭复数的定义即可得出．解答：解：∵z=1﹣i，∴，==．∴==1+i+1+i=2+2i．故选D．点评：熟练掌握复数的运算法则和共轭复数的定义是解题的关键． 3．（5分）（2022•菏泽二模）如图是一个几何体的三视图，根据图中数据，可得该几何体的表面积、体积分别是（ ）15 A．32π、B．16π、C．12π、D．8π、考点：由三视图求面积、体积．专题：计算题．分析：利用三视图复原的几何体的形状以及三视图的数据直接求解几何体个表面积与体积．解答：解：三视图复原的几何体是半径为2的半球，所以半球的表面积为半个球的表面积与底面积的和：2πr2+πr2=3πr2=12π．半球的体积为：=．故选C．点评：本题考查几何体的三视图与几何体的关系，三视图复原几何体的形状是解题的关键，注意公式的正确应用． 4．（5分）（2022•菏泽二模）已知向量=（1，2），=（1，0），=（3，4）．若λ为实数，（+λ）⊥，则λ=（ ） A．B．C．D．考点：平面向量数量积的运算；数量积判断两个平面向量的垂直关系．专题：平面向量及应用．分析：由向量的运算可得的坐标，由向量的垂直可得关于λ的方程，解之可得答案．解答：解：由题意可知：=（1，0）+λ（1，2）=（1+λ，2λ）由（）⊥可得：3（1+λ）+4×2λ=0，解之可得λ=故选A点评：本题考查平面向量数量积的运算以及向量的垂直与数量积的关系，属中档题． 5．（5分）（2022•菏泽二模）已知直线l1：x+（a﹣2）y﹣2=0，l2：（a﹣2）x+ay﹣1=0，则“a=﹣1”是“l1⊥l2”的（ ） A．充分不必要条件B．必要不充分条件15 C．充要条件D．既不充分也不必要条件考点：必要条件、充分条件与充要条件的判断．专题：直线与圆．分析：当a=﹣1时，这两条直线的斜率之积等于﹣1，故有l1⊥l2．当l1⊥l2时，能推出a=﹣1，或a=2，不能推出a=﹣1，从而得出结论．解答：解：当a=﹣1时，直线l1的斜率为，直线l2：的斜率为﹣3，它们的斜率之积等于﹣1，故有l1⊥l2，故充分性成立．当l1⊥l2时，有（a﹣2）+（a﹣2）a=0成立，即（a﹣2）（a+1）=0，解得a=﹣1，或a=2，故不能推出a=﹣1，故必要性不成立，故选A．点评：本题主要考查充分条件、必要条件、充要条件的定义，两条直线垂直的条件和性质，注意：当两直线垂直时，一次项对应系数之积的和等于0，属于基础题． 6．（5分）（2022•菏泽二模）已知x，y满足线性约束条件，若=（x，﹣2），=（1，y），则Z=•的最大值是（ ） A．﹣1B．﹣C．5D．7考点：简单线性规划．专题：计算题；不等式的解法及应用；平面向量及应用．分析：根据向量数量积的坐标运算公式，可得z=•=x﹣2y，然后作出题中不等式组表示的平面区域，得如图的△ABC及其内部，再将目标函数z=x﹣2y对应的直线进行平移，可得当x=3，y=﹣1时，目标函数z取得最大值为5．解答：解：∵=（x，﹣2），=（1，y），∴z=•=x×1+（﹣2）×y=x﹣2y作出不等式组表示的平面区域，得到如图的△ABC及其内部，其中A（3，﹣1），B（﹣1，0），C（，）设z=F（x，y）=x﹣2y，将直线l：z=x﹣2y进行平移，当l经过点A时，目标函数z达到最大值∴z最大值=F（3，﹣1）=5故选C15点评：本题给出二元一次不等式组，求目标函数的最大值，着重考查了向量数量积公式、二元一次不等式组表示的平面区域和简单的线性规划等知识，属于基础题． 7．（5分）（2022•菏泽二模）已知函数①y=sinx+cosx，②y=2sinxcosx，则下列结论正确的是（ ） A．两个函数的图象均关于点（﹣，0）成中心对称 B．①的纵坐标不变，横坐标扩大为原来的2倍，再向右平移个单位即得② C．两个函数在区间（﹣，）上都是单调递增函数 D．两个函数的最小正周期相同考点：两角和与差的正弦函数；二倍角的正弦；正弦函数的单调性；正弦函数的对称性．专题：三角函数的图像与性质．分析：①函数解析式利用两角和与差的正弦函数公式化简为一个角的正弦函数；②函数解析式利用二倍角的正弦函数公式化简为一个角的正弦函数，然后分别对各项判断即可．解答：解：①y=sinx+cosx=sin（x+），②y=2sinxcosx=sin2x，A、①中的函数令x+=kπ（k∈Z），解得：x=kπ﹣（k∈Z），故（﹣，0）为函数对称中心；②中的函数令2x=kπ（k∈Z），解得：x=（k∈Z），故（﹣，0）不是函数对称中心，本选项错误；B、①向右平移个单位，再纵坐标不变，横坐标扩大为原来的倍，即得②，本选项错误；C、①令﹣+2kπ≤x+≤+2kπ（k∈Z），解得：﹣+2kπ≤x≤+2kπ，故函数在区间（﹣，）上是单调递增函数；②令﹣+2kπ≤2x≤+2kπ（k∈Z），解得：﹣+kπ≤x≤+kπ，故函数在区间（﹣，）上是单调递增函数，本选项正确；D、①∵ω=1，∴T=2π；②∵ω=2，∴T=π，本选项错误，故选C点评：此题考查了两角和与差的正弦函数公式，二倍角的正弦函数公式，正弦函数的单调性及周期性，熟练掌握公式是解本题的关键．15 8．（5分）（2022•菏泽二模）春节期间，“厉行节约，反对浪费”之风悄然吹开，某市通过随机询问100名性别不同的居民是否能做到“光盘”行动，得到如下的列联表：做不到“光盘”能做到“光盘”男4510女3015P（K2≥k）0.100.050.025k2.7063.8415.024附：参照附表，得到的正确结论是（ ） A．在犯错误的概率不超过l%的前提下，认为“该市居民能否做到‘光盘’与性别有关” B．在犯错误的概率不超过l%的前提下，认为“该市居民能否做到‘光盘’与性别无关” C．有90%以上的把握认为“该市居民能否做到‘光盘’与性别有关” D．有90%以上的把握认为“该市居民能否做到‘光盘’与性别无关”考点：独立性检验．专题：计算题；图表型．分析：通过图表读取数据，代入观测值公式计算，然后参照临界值表即可得到正确结论．解答：解：由2×2列联表得到a=45，b=10，c=30，d=15．则a+b=55，c+d=45，a+c=75，b+d=25，ad=675，bc=300，n=100．代入，得k2的观测值k=．因为2.706＜3.030＜3.841．所以有90%以上的把握认为“该市居民能否做到‘光盘’与性别有关”．故选C．点评：本题是一个独立性检验，我们可以利用临界值的大小来决定是否拒绝原来的统计假设，若值较大就拒绝假设，即拒绝两个事件无关，此题是基础题． 9．（5分）（2022•菏泽二模）函数：①y=x•sinx②y=x•cosx③y=x•|cosx|④y=x•2x的图象（部）如下，但顺序被打乱，则按照从左到右将图象对应的函数序号安排正确的一组是（ ） A．④①②③B．①④③②C．①④②③D．③④②①15考点：正弦函数的图象；余弦函数的图象．专题：数形结合．分析：依据函数的性质与图象的图象对应来确定函数与图象之间的对应关系，对函数的解析式研究发现，四个函数中有一个是偶函数，有两个是奇函数，还有一个是指数型递增较快的函数，由这些特征接合图象上的某些特殊点判断即可．解答：解：研究发现①是一个偶函数，其图象关于y轴对称，故它对应第一个图象②③都是奇函数，但②在y轴的右侧图象在x轴上方与下方都存在，而③在y轴右侧图象只存在于x轴上方，故②对应第三个图象，③对应第四个图象，④与第二个图象对应，易判断．故按照从左到右与图象对应的函数序号①④②③故选C．点评：本题考点是正弦函数的图象，考查了函数图象及函数图象变化的特点，解决此类问题有借助两个方面的知识进行研究，一是函数的性质，二是函数值在某些点的符号即图象上某些特殊点在坐标系中的确切位置． 10．（5分）（2022•菏泽二模）已知定义在R上的函数f（x）的对称轴为x=﹣3，且当x≥﹣3时，f（x）=2x﹣3．若函数f（x）在区间（k﹣1，k）（k∈Z）上有零点，则k的值为（ ） A．2或﹣7B．2或﹣8C．1或﹣7D．1或﹣8考点：根的存在性及根的个数判断．专题：函数的性质及应用．分析：先作出当x≥﹣3时函数f（x）=2x﹣3的图象，观察图象的交点所在区间，再根据对称性得出另一个交点所在区间即可．解答：解：作出当x≥﹣3时函数f（x）=2x﹣3的图象，观察图象的交点所在区间在（1，2）．∵f（1）=21﹣3=﹣1＜0，f（2）=22﹣3=1＞0，∴f（1）•f（2）＜0，∴有零点的区间是（1，2），因定义在R上的函数f（x）的对称轴为x=﹣3，故另一个零点的区间是（﹣8，﹣7），则k的值为2或﹣7．故选A．点评：本题主要考查了根的存在性及根的个数判断．二分法是求方程根的一种基本算法，其理论依据是零点存在定理：一般地，若函数y=f（x）在区间[a，b]上的图象是一条不间断的曲线，且f（a）f（b）＜0，则函数y=f（x）在区间（a，b）上有零点． 1511．（5分）（2022•菏泽二模）已知三个数2，m，8构成一个等比数列，则圆锥曲线的离心率为（ ） A．B．C．或D．或考点：双曲线的简单性质；等比数列的性质．专题：圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：利用等比数列的定义即可得出m的值，再利用椭圆与双曲线的离心率的计算公式即可得出．解答：解：∵三个数2，m，8构成一个等比数列，∴m2=2×8，解得m=±4．①当m=4时，圆锥曲线表示的是椭圆，其离心率e====；②当m=﹣4时，圆锥曲线表示的是双曲线，其离心率e====．故选C．点评：熟练掌握等比数列的定义、椭圆与双曲线的离心率的计算公式是解题的关键． 12．（5分）（2022•菏泽二模）已知定义在R上的奇函数f（x）满足f（x+2e）=﹣f（x）（其中e=2.7182…），且在区间[e，2e]上是减函数．令a=，，c=，则（ ） A．f（a）＜f（b）＜f（c）B．f（b）＜f（c）＜f（a）C．f（c）＜f（a）＜f（b）D．f（c）＜f（b）＜f（a）考点：奇偶性与单调性的综合．专题：函数的性质及应用．分析：由f（x）是R上的奇函数及f（x+2e）=﹣f（x），可得f（x+2e）=f（﹣x），从而可知f（x）关于x=e对称，由f（x）在[e，2e]上的单调性可得f（x）在[0，e]上的单调性，由a，b，c的近似值可得其大小关系，进而得到f（a）、f（b）、f（c）的大小关系．解答：解：∵f（x）是R上的奇函数，满足f（x+2e）=﹣f（x），∴f（x+2e）=f（﹣x），∴函数f（x）关于直线x=e对称，∵f（x）在区间[e，2e]上为减函数，∴f（x）在区间[0，e]上为增函数，∵a=≈0.3466，b=≈0.3662，c=≈0.3219，∴c＜a＜b，∴f（c）＜f（a）＜f（b），故选C．点评：本题考查函数的奇偶性、单调性及其应用，考查学生灵活运用知识分析解决问题的能力，属中档题． 二、填空题：本大题共4个小题，每小题4分，共16分。13．（4分）（2022•菏泽二模）执行如图所示的程序框图，输出的C值为 ﹣2 ．15考点：程序框图．专题：计算题．分析：根据所给数值判定是否满足判断框中的条件，然后执行循环语句，一旦不满足条件就退出循环，输出结果．解答：解：由程序框图，知：第一次循环：i=1+1=2，S==；第二次循环：i=2+1=3，S==﹣；第三次循环：i=3+1=4，S==﹣2．结束循环，输出S=﹣2．故答案为：﹣2．点评：本题考查的知识点是程序框图，其中根据循环条件判断出循环变量的终值，进而结合循环体分析出程序的功能是解答本题的关键．15 14．（4分）（2022•菏泽二模）某班50名学生在一次百米测试中，成绩全部介于13秒与18秒之间，将测试结果分成五组：每一组[13，14）；第二组[14，15），…，第五组[17，18]．如图是按上述分组方法得到的频率分布直方图若成绩大于或等于14秒且小于16秒认为良好，则该班在这次百米测试中成绩良好的人数是 27 ．考点：用样本的频率分布估计总体分布；频率分布直方图．专题：图表型．分析：根据频率分步直方图做出这组数据的成绩在[14，16）内的人数为50×0.16+50×0.38，这是频率，频数和样本容量之间的关系．解答：解：由频率分布直方图知，成绩在[14，16）内的人数为50×0.16+50×0.38=27（人）∴该班成绩良好的人数为27人．故答案为：27．点评：解决此类问题的关键是准确掌握利用频率分布直方图进行分析并且运用公式进行正确运算． 15．（4分）（2022•菏泽二模）若圆C以抛物线y2=4x的焦点为圆心，截此抛物线的准线所得弦长为6，则该圆的标准方程是 （x﹣1）2+y2=13 ．考点：圆的标准方程；抛物线的简单性质．专题：直线与圆．分析：确定抛物线的准线方程及焦点坐标，求出圆的圆心及半径，即可得到圆的标准方程．解答：解：抛物线y2=4x的焦点坐标为（1，0），准线方程为x=﹣1，∵圆C截此抛物线的准线所得弦长为6，∴圆的半径为=∴圆的标准方程是（x﹣1）2+y2=13故答案为：（x﹣1）2+y2=13点评：本题考查圆的标准方程，考查抛物线的几何性质，考查学生的计算能力，属于基础题． 16．（4分）（2022•菏泽二模）下列命题：①命题“∀x∈R，cosx＞0”的否定是“∃x∈R，cosx≤0”；②若0＜loga2＜logb2，则a＞b＞1；③已知a，b∈R*，2a+b=1，则+有最小值8；④已知向量a=（1，2），b=（2，0），若向量λa+b与向量c=（1，﹣2）共线，则实数λ等于﹣1．15其中，正确命题的序号为 ①②④ ．考点：命题的真假判断与应用；基本不等式；平行向量与共线向量．专题：阅读型．分析：①全称命题的否定是特称命题；②底数大于0的对数函数，底数越大越靠近X轴；③所求式子乘以1，而1用2a+b代换；④向量λa+b的坐标表示可得，又由共线的充要条件x1y2﹣x2y1=0，得到关于实数λ的方程，解出即可．解答：解：①命题“∀x∈R，cosx＞0”是全称命题，由于全称命题的否定是特称命题，故其否定是“∃x∈R，cosx≤0”，则命题①正确；②由于loga2＞0，logb2＞0，则a＞1，b＞1，又由loga2＜logb2，则a＞b＞1，故命题②正确；③由于a，b∈R*，2a+b=1，则+=，当且仅当时，取等号又由2a+b=1，则时，取等号，故③错误；④由于向量=（1，2），=（2，0），则向量，又由向量与向量=（1，﹣2）共线，则﹣2（λ+2）﹣2λ=0，解得λ=﹣1，故④正确．故答案为①②④．点评：本题考查的知识点是，判断命题真假，我们需对四个结论逐一进行判断，方可得到正确的结论． 三、解答题：本大题共6小题，共74分。17．（12分）（2022•菏泽二模）如图所示，角A为钝角，且，点P、Q分别在角A的两边上．（1）AP=5，PQ=，求AQ的长；（2）设的值．考点：解三角形．专题：计算题．分析：（1）由A为钝角，利用同角三角函数间的基本关系求出cosA的值，然后利用余弦定理得到关于AQ的方程，求出方程的解即可得到满足题意的AQ的长；（2）由cosα的值利用同角三角函数间的基本关系求出sinα的值，根据三角形的内角和定理及诱导公式求出sinA的值及cosA的值，然后把2α+β变为α+（α+β），利用两角和的正弦函数公式化简后，分别将各自的值代入即可求出所求式子的值．15解答：解：（1）∵∠A是钝角，，∴，在△APQ中，PQ2=AP2+AQ2﹣2AP•AQcosA，∴，解得AQ=2或AQ=﹣10（舍）即AQ=2；（2）由cosα=，得sinα=，又sin（α+β）=sinA=，cos（α+β）=﹣cosA=，∴sin（2α+β）=sin[α+（α+β）]=sinαcos（α+β）+cosαsin（α+β）=．点评：此题要求学生灵活运用余弦定理化简求值，掌握三角形的内角和定理，灵活运用两角和的正弦函数公式及同角三角函数间的基本关系化简求值，是一道综合题． 18．（12分）（2022•菏泽二模）如图，ABCD为边长为2的菱形，∠BAD=60°，对角线交于点O，沿BD将△BCD折起，使∠AOC=120°，P为折起后AC上一点，且AP=2PC，Q为三角形ABD的中心．（1）求证：PQ∥平面BCD；（2）求证：PO⊥平面ABD．考点：直线与平面平行的判定；直线与平面垂直的判定．专题：空间位置关系与距离．分析：（1）由题意可得AQ=2QO，又AP=2PC，所以PQ∥CO，又PQ⊄平面BCD，CO⊂平面BCD，由线面平行的判定定理可得；（2）易得OC=OA=2cos30°=，在△AOC中，由余弦定理可得AC=3，在△PAO中，可得PO=1，由勾股定理可得PO⊥OA，又可得PO⊥BD，又AO∩BD=0，由线面垂直的判定可得．解答：证明：（1）如图由ABCD为菱形，则AC⊥BD，∠AOC=120°，由Q为三角形ABD的重心，可得AQ=2QO，又AP=2PC，所以PQ∥CO，又PQ⊄平面BCD，CO⊂平面BCD，所以PQ∥平面BCD；（2）由题意OC=OA=2cos30°=，在△AOC中，由余弦定理可得AC2=3+3﹣2×××cos120°=9，所以AC=3，又∠AOC=120°，AO=CO，∴∠PAO=30°，在△PAO中，OA=，AP=2，∠PAO=30°．所以PO=1，∴PO2+OA2=AP2，∴PO⊥OA，又BD⊥平面AOC，所以PO⊥BD，又AO∩BD=0，所以PO⊥平面ABD点评：本题考查直线与平面平行的判定，以及直线与平面垂直的判定，属中档题． 19．（12分）（2022•菏泽二模）有一个不透明的袋子，装有4个完全相同的小球，球上分别编有数字1，2，3，4．15（Ⅰ）若逐个不放回取球两次，求第一次取到球的编号为偶数且两个球的编号之和能被3整除的概率；（Ⅱ）若先从袋中随机取一个球，该球的编号为a，将球放回袋中，然后再从袋中随机取一个球，该球的编号为b，求直线ax+by+1=0与圆x2+y2=有公共点的概率．考点：列举法计算基本事件数及事件发生的概率．专题：概率与统计．分析：（Ⅰ）用（a，b）表示先后两次取球构成的基本事件，列举可得共12个，而要求的事件包含的基本事件有有3个，由古典概型的公式可得答案；（Ⅱ）同理列出总的基本事件有共16个，由直线和圆的位置关系可得满足的条件为a2+b2≥16，所包含的基本事件共有8个，代入公式可得．解答：解：（Ⅰ）用（a，b）（a，b分别表示第一、二次取到球的编号）表示先后两次取球构成的基本事件，则基本事件有：（1，2），（1，3），（1，4），（2，1），（2，3），（2，4），（3，1），（3，2），（3，4），（4，1），（4，2），（4，3）共12个…（3分）设“第一次球的编号为偶数且两个球的编号之和能被3整除”为事件A，则事件A包含的基本事件有：（2，1），（2，4），（4，2）共有3个；…（5分）∴P（A）==…（6分）（Ⅱ）基本事件有：（1，1），（1，2），（1，3），（1，4），（2，1），（2，2），（2，3），（2，4），（3，1），（3，2），（3，3），（3，4），（4，1），（4，2），（4，3），（4，4）共16个…（8分）设“直线ax+by+1=0与圆x2+y2=有公共点”为事件B，由题意知：，即a2+b2≥16，则事件B包含的基本事件有：（1，4），（2，4），（3，3），（3，4），（4，1），（4，2），（4，3），（4，4）共有8个；…（11分）∴P（B）=…（12分）点评：本题考查列举法计算基本事件数即事件发生的概率，准确列举是解决问题的关键，属基础题． 20．（12分）（2022•菏泽二模）已知数列{an}的首项为a1=5，前n项和为Sn，且Sn+1=2Sn+n+5（n∈N*）．（1）证明数列{an+1}是等比数列；（2）令f（x）=a1x+a2x2+…+anxn，f′（x）是函数f（x）的导函数，令bn=f′（1）．求数列{bn}的通项公式．考点：等比关系的确定；等差数列的通项公式；等比数列的通项公式．专题：等差数列与等比数列．分析：（1）利用递推式，再写一式，两式相减，利用等比数列的定义，即可得到结论；（2）先确定数列{an}的通项，再求导，赋值，再用错位相减法，即可求得数列{bn}的通项公式．解答：（1）证明：∵Sn+1=2Sn+n+5，∴n≥2时，Sn=2Sn﹣1+n+4，两式相减可得an+1+1=2（an+1）当n=1时，a2=2a1+1=11，∴a2+1=12，15∵a1=5，∴a1+1=6，∴数列{an+1}是以6为首项，2为公比的等比数列；（2）由（1）知an+1=6×2n﹣1，∴an=3×2n﹣1，∵f（x）=a1x+a2x2+…+anxn，∴f′（x）=a1+2a2x+…+nanxn﹣1，∴f′（1）=a1+2a2+…+nan=（3×2﹣1）+2（3×22﹣1）+…+n（3×2n﹣1）=3（2+2×22+…+n×2n）﹣（1+2+3+…+n）令S=2+2×22+…+n×2n，则2S=22+2×23+…+n×2n+1两式相减可得S=（n﹣1）×2n+1+2∴bn=f′（1）=．点评：本题考查等比数列的证明，考查数列的通项与求和，确定数列的通项，正确运用求和方法是关键． 21．（13分）（2022•菏泽二模）已知椭圆C：+=1（a＞b＞0）的离心率为，以原点O为圆心，以椭圆的短半轴长为半径的圆与直线x﹣y+=0相切；若直线l：y=kx+m与椭圆C相交于A，B两点．直线OA和OB的斜率分别为kOA和kOB，且kOA•kOB=﹣．（1）求椭圆C的方程；（2）求证：△OAB的面积为定值．考点：直线与圆锥曲线的关系；椭圆的标准方程．专题：圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：（1）由椭圆的离心率为，圆心到直线x﹣y+=0的距离等于b及c2=a2﹣b2联立方程组求解a2，b2，则椭圆的方程可求；（2）把直线l的方程和椭圆方程联立，利用根与系数的关系求出直线和椭圆两个交点的横坐标的和与积，代入直线方程求出两交点的纵坐标的积，结合kOA•kOB=﹣得到k与m的关系，借助于弦长公式求出|AB|的长度，由点到直线的距离公式求出O到直线y=kx+m的距离，写出三角形AOB的面积后转化为含有k的代数式，整理后得到结果为定值．解答：（1）解：由题意得，解得a2=4，b2=3．所以椭圆的方程为；15（2）证明：设A（x1，y1），（x2，y2），则A，B的坐标满足，整理得，（3+4k2）x2+8kmx+4m2﹣12=0．∴，．由△＞0，得4k2﹣m2+3＞0．y1y2=（kx1+m）（kx2+m）===．∵，∴，即，∴，即2m2﹣4k2=3．∵==．O到直线y=kx+m的距离d=，∴==．为定值．点评：本题考查了椭圆的标准方程，考查了直线与圆锥曲线的关系，直线与圆锥曲线联系在一起的综合题在高考中多以高档题、压轴题出现，主要涉及位置关系的判定，弦长问题、最值问题、对称问题、轨迹问题等．突出考查了数形结合、分类讨论、函数与方程、等价转化等数学思想方法．属难题． 22．（13分）（2022•菏泽二模）已知函数f（x）=alnx+x2（a为实常数）．（Ⅰ）若a=﹣2，求证：函数f（x）在（1，+∞）上是增函数；（Ⅱ）求函数f（x）在[1，e]上的最小值及相应的x值．考点：利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究函数的单调性．专题：计算题；证明题．分析：15（Ⅰ）将a=﹣2代入，然后求出导函数f'（x），欲证函数f（x）在（1，+∞）上是增函数只需证导函数在（1，+∞）上恒大于零即可；（Ⅱ）先求出导函数f'（x），然后讨论a研究函数在[1，e]上的单调性，将f（x）的各极值与其端点的函数值比较，其中最小的一个就是最小值．解答：解：（Ⅰ）当a=﹣2时，f（x）=x2﹣2lnx，当x∈（1，+∞），，故函数f（x）在（1，+∞）上是增函数．（Ⅱ），当x∈[1，e]，2x2+a∈[a+2，a+2e2]．若a≥﹣2，f'（x）在[1，e]上非负（仅当a=﹣2，x=1时，f'（x）=0），故函数f（x）在[1，e]上是增函数，此时[f（x）]min=f（1）=1．若﹣2e2＜a＜﹣2，当时，f'（x）=0；当时，f'（x）＜0，此时f（x）是减函数；当时，f'（x）＞0，此时f（x）是增函数．故[f（x）]min==若a≤﹣2e2，f'（x）在[1，e]上非正（仅当a=﹣2e2，x=e时，f'（x）=0），故函数f（x）在[1，e]上是减函数，此时[f（x）]min=f（e）=a+e2．综上可知，当a≥﹣2时，f（x）的最小值为1，相应的x值为1；当﹣2e2＜a＜﹣2时，f（x）的最小值为，相应的x值为；当a≤﹣2e2时，f（x）的最小值为a+e2，相应的x值为e点评：本题主要考查了利用导数研究函数的单调性，以及利用导数求闭区间上函数的最值，属于中档题．15
