山西省大同市第一中学2022-2022学年高二数学上学期12月月考试题理一、选择题（共12小题，每小题3分，共36分）1．下列命题中的假命题是 ( )A．∃x∈R，lgx＝0B．∃x∈R，tanx＝1C．∀x∈R，x3>0D．∀x∈R,2x>02．命题“∀x>0，x2＋x>0”的否定是( )A．∃x>0，x2＋x>0B．∃x>0，x2＋x≤0C．∀x>0，x2＋x≤0D．∀x≤0，x2＋x>03．下列有关命题的说法正确的是( )A．命题“若x2＝1，则x＝1”的否命题为：“若x2＝1，则x≠1”B．“x＝－1”是“x2－5x－6＝0”的必要不充分条件C．命题“x∈R，使得x2＋x＋1<0”的否定是：“x∈R，均有x2＋x＋1<0”D．命题“若x＝y，则sinx＝siny”的逆否命题为真命题4．已知p：|x－a|<4；q：(x－2)·(3－x)>0，若非p是非q的充分不必要条件，则a的取值范围为( )A．a<－1或a>6B．a≤－1或a≥6C．－1≤a≤6D．－1<a<65．已知命题p：x∈，x2－a≥0，命题q：x∈R，x2＋2ax＋2－a＝0，若“p且q”为真命题，则实数a的取值范围是( )A．a＝1或a≤－2B．a≤－2或1≤a≤2C．a≥1D．－2≤a≤16．已知F1，F2是椭圆＋＝1的两焦点，过点F2的直线交椭圆于A，B两点．在△AF1B中，若有两边之和是10，则第三边的长度为( )A．6 B．5C．4D．37．若直线mx＋ny＝4和圆O：x2＋y2＝4没有交点，则过点(m，n)的直线与椭圆＋＝1 的交点个数为( )A．至多一个B．2个C．1个D．0个8．已知椭圆C1：＋＝1(a>b>0)与双曲线C2：x2－＝1有公共的焦点，C2-7-\n的一条渐近线与以C1的长轴为直径的圆相交于A，B两点．若C1恰好将线段AB三等分，则（ ）A．a2＝B．a2＝13C．b2＝D．b2＝29．已知椭圆＋y2＝1的左、右焦点分别为F1、F2，点M在该椭圆上，且·＝0，则点M到y轴的距离为 ( )A.B.C.D.10．方程为＋＝1(a>b>0)的椭圆的左顶点为A，左、右焦点分别为F1、F2，D是它短轴上的一个端点，若3＝＋2，则该椭圆的离心率为 ( )A.B.C.D.11．已知椭圆E：＋＝1，对于任意实数k，下列直线被椭圆E截得的弦长与l：y＝kx＋1被椭圆E截得的弦长不可能相等的是( )A．kx＋y＋k＝0B．kx－y－1＝0C．kx＋y－k＝0D．kx＋y－2＝012．设F1、F2分别是椭圆＋＝1的左、右焦点，P为椭圆上任一点，点M的坐标为(6,4)，则|PM|＋|PF1|的最大值为 （ ） Ａ．１３ Ｂ．１４ Ｃ．１５ Ｄ．１６二、填空题（共4小题，每小题4分，共16分）13．若命题“x∈R,2x2－3ax＋9<0”为假命题，则实数a的取值范围是_____________．14．已知命题p：x2＋2x－3>0；命题q：>1，若綈q且p为真，则x的取值范围是_________________．15．设F1，F2分别为椭圆＋y2＝1的左、右焦点，点A，B在椭圆上，若＝5，则点A的坐标是________．16．如图，在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆＋＝1(a>b>0)的左顶点为A，左焦点为F，上顶点为B，若∠BAO＋∠BFO＝90°，则椭圆的离心率是________．-7-\n三、解答题(共5小题，共48分)17.(8分)已知命题p：x∈，x2－a≥0.命题q：x0∈R，使得x＋(a－1)x0＋1<0.若p或q为真，p且q为假，求实数a的取值范围．18．(10分)已知命题p：方程2x2＋ax－a2＝0在上有解；命题q：只有一个实数x0满足不等式x＋2ax0＋2a≤0，若命题“p或q”是假命题，求a的取值范围．19.(10分)设椭圆C∶＋＝1(a>b>0)过点(0,4)，离心率为.(1)求C的方程；(2)求过点(3,0)且斜率为的直线被C所截线段的中点坐标．20．(10分)如图，在平面直角坐标系xOy中，M、N分别是椭圆＋＝1的顶点， 过坐标原点的直线交椭圆于P、A两点，其中点P在第一象限，过P作x轴的垂线，垂足为C.连接AC，并延长交椭圆于点B.设直线PA的斜率为k.(1)当直线PA平分线段MN时，求k的值；(2)当k＝2时，求点P到直线AB的距离d；(3)对任意的k>0，求证：PA⊥PB.21．(10分)已知椭圆G∶＋y2＝1.过点(m,0)作圆x2＋y2＝1的切线l交椭圆G于A，B两点．(1)求椭圆G的焦点坐标和离心率； (2)将|AB|表示为m的函数，并求|AB|的最大值．-7-\n高二数学(理)12月考答案一、选择题 CBDCA ABCBD DＣ二、填空题 １３．－2≤a≤2 １４．(－∞，－3)∪(1,2] １５．(0，±1)１６．三、解答题１７．解 ∵∀x∈，x2－a≥0恒成立，即a≤x2恒成立，∴a≤1.即p：a≤1，∴非p：a>1.又∃x0∈R，使得x＋(a－1)x0＋1<0.∴Δ＝(a－1)2－4>0，∴a>3或a<－1，即q：a>3或a<－1，∴非q：－1≤a≤3.又p或q为真，p且q为假，∴p真q假或p假q真．当p真q假时，{a|a≤1}∩{a|－1≤a≤3}＝{a|－1≤a≤1}．当p假q真时，{a|a>1}∩{a|a<－1或a>3}＝{a|a>3}．综上所述，a的取值范围为{a|－1≤a≤1}∪{a|a>3}．１８．解 由2x2＋ax－a2＝0得(2x－a)(x＋a)＝0,∴x＝或x＝－a，∴当命题p为真命题时≤1或|－a|≤1，∴|a|≤2.又“只有一个实数x0满足x＋2ax0＋2a≤0”，即抛物线y＝x2＋2ax＋2a与x轴只有一个交点，∴Δ＝4a2－8a＝0，∴a＝0或a＝2.∴当命题q为真命题时，a＝0或a＝2.∴命题“p或q”为真命题时，|a|≤2.∵命题“p或q”为假命题，∴a>2或a<－2.即a的取值范围为{a|a>2或a<－2}．１９．解：(1)将(0,4)代入C的方程得＝1，∴b＝4，由e＝＝得＝，-7-\n即1－＝，∴a＝5，∴C的方程为＋＝1.(2)过点(3,0)且斜率为的直线方程为y＝(x－3)，设直线与C的交点为A(x1，y1)，B(x2，y2)，将直线方程y＝(x－3)代入C的方程，得＋＝1，即x2－3x－8＝0，解得x1＝，x2＝，∴AB的中点坐标＝＝，＝＝(x1＋x2－6)＝－，即中点坐标为(，－)．２０．解：由题设知，a＝2，b＝，故M(－2,0)，N(0，－)，所以线段MN中点的坐标为(－1，－)．由于直线PA平分线段MN，故直线PA过线段MN的中点，又直线PA过坐标原点，所以k＝＝.(2)直线PA的方程为y＝2x，代入椭圆方程得＋＝1，解得x＝±，因此P(，)，A(－，－)．于是C(，0)，直线AC的斜率为＝1，故直线AB的方程为x－y－＝0.因此，d＝＝.(3)证明：法一：将直线PA的方程y＝kx代入＋＝1，解得x＝±记μ＝，则P(μ，μk)，A(－μ，－μk)．于是C(μ，0)．故直线AB的斜率为＝，-7-\n其方程为y＝(x－μ),代入椭圆方程并由μ＝得(2＋k2)x2－2μk2x－μ2(3k2＋2)＝0，解得x＝或x＝－μ.因此B(，)．于是直线PB的斜率k1＝＝＝－.因此k1k＝－1，所以PA⊥PB.法二：设P(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1>0，x2>0，x1≠x2，A(－x1，－y1)，C(x1,0)．设直线PB，AB的斜率分别为k1，k2.因为C在直线AB上，所以k2＝＝＝.从而k1k＋1＝2k1k2＋1＝2··＋1＝＋1＝＝＝0.因此k1k＝－1，所以PA⊥PB.２１．解：(1)由已知得a＝2，b＝1，所以c＝＝.所以椭圆G的焦点坐标为(－，0)，(，0)，离心率为e＝＝.(2)由题意知，|m|≥1.当m＝1时，切线l的方程为x＝1，点A，B的坐标分别为(1，)，(1，－)，此时|AB|＝.当m＝－1时，同理可得|AB|＝.当|m|＞1时，设切线l的方程为y＝k(x－m)．由得(1＋4k2)x2－8k2mx＋4k2m2－4＝0.设A，B两点的坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)，则x1＋x2＝，x1x2＝.又由l与圆x2＋y2＝1相切，得＝1，即m2k2＝k2＋1.所以|AB|＝＝-7-\n＝＝.由于当m＝±1时，|AB|＝，所以|AB|＝，m∈(－∞，－1]∪[1，＋∞)．因为|AB|＝＝≤2，且当m＝±时，|AB|＝2，所以|AB|的最大值为2.-7-
