景胜中学2022--2022学年度第一学期月考（12月）高二数学试题（理）时间120分钟满分150分一．选择题1.全称命题“所有被5整除的整数都是奇数”的否定是（）A．所有被5整除的整数都不是奇数 Ｂ.所有奇数都不能被5整除 Ｃ．存在一个被5整除的整数不是奇数 Ｄ．存在一个奇数，不能被5整除2.下列命题：(1)“若”的逆命题；(2)“全等三角形面积相等”的否命题；(3)“若a>1,则关于x的不等式的解集为R”的逆否命题；(4)“命题“为假”是命题“为假”的充分不必要条件”.其中正确命题的个数是（）A.1 Ｂ．2 Ｃ．3 Ｄ．43.在平面直角坐标系中，已知点，沿x轴把坐标平面折成的二面角后线段AB的长度为（）A.5 Ｂ．7 Ｃ． Ｄ．4.设是两条不同的直线,是两个不同的平面,下列命题中正确的是（ ）A．若,,,则B．若,,,则C．若,,,则D．若,,,则5.一个四面体的顶点在空间直角坐标系中的坐标分别是,画该四面体三视图中的正视图时,以平面为投影面,则得到正视图可以为A．B．C．D．6.已知为平面内两个不重合的定点,过该平面内动点作直线的垂线,垂足为.若,其中为常数,则动点的轨迹不可能是（ ）A．圆B．椭圆C．抛物线D．双曲线7.已知a>b>0，椭圆的方程为，双曲线的方程为，的离心率之积为，则的渐进线方程为（）15\nA. Ｂ． Ｃ． Ｄ．8.在正方体中，点O为底面ABCD的中心，点P为线段的中点，则直线OP与平面所成角的大小为（）A. Ｂ． Ｃ． Ｄ．9.已知边长都为1的正方形ABCD与DCFE所在的平面相互垂直，点P、Q分别是线段BC、DE上的动点（包括端点），PQ=.设线段PQ中点的轨迹为，则的长度为（）A.2 Ｂ． Ｃ． Ｄ．10.已知点M为直线上任意给定的一点，点N，则过点M、N且与直线相切的圆可能有（）个.A.0或1 Ｂ．1或2 Ｃ．0，1或2 Ｄ．211.如图,是椭圆与双曲线的公OxyABF1F2（第11题图）共焦点,分别是,在第二、四象限的公共点.若四边形为矩形,则的离心率是A．B．C．D．12.设抛物线的焦点为,点在上,,若以为直径的圆过点,则的方程为A．或B．或C．或D．或一．填空题13.若双曲线C经过点，且与具有相同的渐近线，则C的标准方程为_________.14.在三棱锥P-ABC中，，AB=AC=PA，，点E满足，则直线AE和PC所成角的余弦值是_________.15.已知p:,q:,若成立的一个充分而不必要条件是，则实数a的取值范围为_________.15\n16.已知椭圆上一点A关于原点的对称点为B，F为其左焦点，若，设，且，则该椭圆离心率e的取值范围为_________.一．解答题17.已知，命题P：对任意，不等式恒成立；命题q：存在，使得成立。（Ⅰ）当a=1,p且q为假，p或q为真时，求m的取值范围；（Ⅱ）若p是q的充分不必要条件，求实数a的取值范围。18.已知两点，满足条件的动点P的轨迹是曲线E，直线与曲线E交于不同两点A、B：（Ⅰ）求k的取值范围；(Ⅱ)若，求直线的方程。19.已知抛物线，点P（a,0)是x轴上一点，过点P作直线与该抛物线相交于不同的两点A、B（Ⅰ）若直线的斜率为1，当点P在x轴上运动时，求线段AB中点M的轨迹方程；（Ⅱ）点F为该抛物线的焦点，若，求直线的方程。20.如图所示，已知三棱柱的侧棱与底面垂直，，，M是线段的中点，N是线段BC的中点，点P在直线上，且满足（Ⅰ）证明；（Ⅱ）是否存在实数λ，使得平面PMN与平面ABC所成的锐二面角的大小为？右存在，求出λ的值；否则说明理由．21.如图,是圆的直径,点是圆上异于的点,直线平面,,分别是,的中点.第21题图(I)记平面与平面的交线为,试判断直线与平面的位置关系,并加以证明;15\n(II)设(I)中的直线与圆的另一个交点为,且点满足.记直线与平面所成的角为,异面直线与所成的角为,二面角的大小为,求证:.22.如图所示，已知点A是离心率为的椭圆C：上的一点，斜率为的直线BD交椭圆C于B、D两点，且A、B、D三点不重合。(Ⅰ)求椭圆C的方程；(Ⅱ)求面积的最大值；(Ⅲ)设直线AB、AD的斜率分别为k1，k2，试问：是否存在实数λ，使得成立？若存在，求出λ的值；否则说明理由．考生注意：只交答题纸卷！一学校__________________班级_________________姓名_________________考号___________________**********************密*********************************封***********************************线*********************景胜中学2022--2022学年度第一学期月考（12月）高二数学答题纸（理）时间120分钟满分150分考生注意：请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）题号123456789101112答案二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13、__________14、_________15、__________16、_________三、计算题（本大题共6题，共70分）17、15\n15\n18、19、15\n20、21、15\n22、15\n请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！景胜中学2022-2022学年度第一学期月考（12月）高二数学试题答案2022.12.17参考答案（理科）一．选择题123456789101112CBADACCDDCDC二．填空题13.14.15.16.三．解答题17．解（Ⅰ）∵对任意xÎ[-1,1]，不等式x-1³m2-3m恒成立∴(x-1)min³m2-3m即m2-3m£-2解得1£m£2即p为真命题时，m的取值范围是[1,2]。∵a=1，且存在xÎ[-1,1]，使得m£ax成立∴m£1即命题q为真时，m£1∵p且q为假，p或q为真∴p、q一真一假当p真q假时，则当p假q真时，则综上所述，（也可写为）…………………5分（Ⅱ）当a=0时显然不合题意，当a>0时，存在xÎ[-1,1]，使得m£ax成立命题q为真时m£a∵p是q的充分不必要条件∴a³2当a<0时，存在xÎ[-1,1]，使得m£ax成立命题q为真时m£-a∵p是q的充分不必要条件∴a£-2综上所述，…………………10分18.解（Ⅰ）由双曲线的定义可知，曲线E是以为焦点的双曲线的右支，且c=,a=1，易知b=1.故曲线E的方程为x2-y2=1(x>0)设，由题意建立方程组消去，得 15\n又已知直线与双曲线左支交于两点，则 解得 即k的取值范围是 …………6分（Ⅱ）∵ 依题意得，整理后得，解得又，，故直线AB的方程为 …………12分19解：（Ⅰ）设,法一：联立又故线段AB中点M的轨迹方程为法二：15\n线段AB中点M的轨迹方程为 …………6分(Ⅱ)过A、B作准线的垂线，垂足分别为，由，则点B为PA的中点，连接OB，故，B点的横坐标为，代抛物线的方程中得B的纵坐标为，由B和P知直线的方程为此时该直线与抛物线有两个交点，符合题意。（该题方法较多，其它方法同样给分） …………12分20.解：（Ⅰ）以A为原点．AB、AC、AA1为x，y，z轴，建立空间直角坐标系．P(λ，0,1)，则，……………6分（2）已知给出了平面PMN与平面ABC所成的二面角为，即可得到平面ABC的一个法向量为，设平面PMN的一个法向量为，.由得 ，解得令于是由15\n，解得的延长线上，且，满足题意……………12分15\n21.解:15\n22．解：（Ⅰ）， ∴椭圆方程为 又点在椭圆上 ， ，， 椭圆方程为 ……………………3分（Ⅱ）设直线BD方程为 ， 15\n ， 设为点到直线的距离， 当且仅当时，的面积最大，最大值为 ……………………8分（Ⅲ）当直线BD过椭圆左顶点时，此时，猜想时成立。证明如下：当，，故当且仅当时满足条件（其它方法也同样给分）……………………12分15
