广东省2022学年梅州市高一上学期期末考试数学试题

广东省梅州市2022-2022学年高一上学期期末考试数学试题（解析版）一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.已知集合ൌሼ2rሼrsi，集合ൌሼሼr1i，则ൌ䁧A.䁧2㌳1B.䁧2㌳sC.䁧㌳1D.䁧㌳s【答案】D【解析】解：集合ൌሼ2rሼrsi，集合ൌሼሼr1i，ൌሼሼrsiൌ㌳s．故选：D．利用并集定义直接求解．本题考查并集的求法，考查并集定义等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题．2.cos21sൌ䁧11ssA.B.C.D.2222【答案】D【解析】解：cos21ss．ൌcos䁧1㌳sssൌcosssൌ2故选：D．原式中的角度变形后，利用诱导公式及特殊角的三角函数值计算即可得到结果．此题考查了运用诱导公式化简求值，熟练掌握诱导公式是解本题的关键．s.如图所示，D是䁨的边AB的中点，则向量䁨ൌ䁧1A.䁨21B.䁨21C.䁨21D.䁨2【答案】A1/12\n【解析】解：由三角形法则和D是䁨的边AB的中点得，1ൌ，21䁨ൌ䁨ൌ䁨．2故选：A．根据向量加法的三角形法则知，䁨ൌ䁨，由D是中点和相反向量的定义，对向量进行转化．本题主要考查了向量加法的三角形法则，结合图形和题意找出向量间的联系，再进行化简．4.函数ൌtan䁧2ሼ的图象的一个对称中心为䁧sA.䁧㌳sB.䁧㌳sC.䁧㌳sD.䁧㌳s4s2【答案】C【解析】解：令2ሼൌ，；s2解得ሼൌ，；4当ൌ2时，ሼൌൌ，2s函数ൌtan䁧2ሼ的图象的一个对称中心为䁧㌳s．ss故选：C．根据正切函数的对称中心为䁧㌳s，可求得函数y图象的一个对称中心．2本题考查了正切函数的图象与性质的应用问题，是基础题．5.要得到函数ൌsin䁧2ሼ的图象，只需将函数ൌsin2ሼ的图象䁧A.向左平移个单位长度B.向右平移个单位长度1212C.向左平移个单位长度D.向右平移个单位长度【答案】A【解析】解：将函数ൌsin2ሼ的图象向左平移个单位长度，可得函数ൌsin2䁧ሼ12ൌsin䁧2ሼ的图象，12故选：A．根据函数ൌsin䁧ሼ的图象变换规律，得出结论．\n本题主要考查函数ൌsin䁧ሼ的图象变换规律，属于中档题．.设ൌss.s，ൌlogs，ൌlogs.s，则a，b，c的大小关系是䁧A.൐൐B.൐൐C.൐൐D.൐൐【答案】A【解析】解：ൌsሼ是定义域上的增函数，ൌss.s൐ssൌ1，又ൌlogሼ是定义域上的增函数，sൌlog1rlogsrlogൌ1，又ൌlogs.sሼ是定义域上的减函数，ൌlogs.srlogs.s1ൌs，൐൐；故选：A．考查函数ൌsሼ，ൌlogሼ，ൌlogሼ的单调性，借助于0和1，对a、b、c比较大s.s小．本题考查了函数数值大小的比较，解题时借助指数函数对数函数的单调性进行判定，是基础题．s7.若cosሼൌ，且rሼr，则tanሼsinሼ的值是䁧52s2㌳㌳s2A.B.C.D.15151515【答案】Bs【解析】解：cosሼൌ，且rሼr，5224sinሼ4sinሼൌ1cosሼൌ，tanሼൌൌ，5cosሼs44㌳tanሼsinሼൌൌ．s515故选：B．由已知利用同角三角函数基本关系式可求sinሼ，tanሼ的值，即可得解．本题主要考查了同角三角函数基本关系式在三角函数化简求值中的应用，属于基础题．㌳.函数䁧ሼൌሼsinሼ的图象大致是䁧s/12\nA.B.C.D.【答案】A【解析】解：函数䁧ሼൌሼsinሼ满足䁧ሼൌሼsin䁧ሼൌሼsinሼൌ䁧ሼ，函数的偶函数，排除B、C，因为ሼ䁧㌳2时，sinሼrs，此时䁧ሼrs，所以排除D，故选：A．利用函数的奇偶性排除选项，然后利用特殊值判断即可．本题考查函数的图象的判断，函数的奇偶性以及函数值的应用，考查分析问题解决问题的能力．9.函数ൌcos2ሼsinሼ的值域为䁧555A.1㌳1B.㌳1C.㌳1D.1㌳444【答案】C【解析】解：ൌcos2ሼsinሼ，ൌsin2ሼsinሼ1，125ൌ䁧sinሼ，2415当sinሼൌ时，䁞ൌ．2495当sinሼൌ1时．ሼൌൌ1，445故函数的值域为：㌳1．4故选：C．首先通过三角函数关系式的恒等变换，把函数的关系式变形成二次函数的顶点式，进一步利用函数的定义域求出函数的值域．本题考查的知识要点：三角函数关系式的恒等变换，二次函数的性质的应用．1s.已知函数䁧ሼൌsinሼlg䁧ሼሼ212，且䁧1ൌ1，则䁧1ൌ䁧A.4s1B.0C.sD.3【答案】D\n【解析】解：䁧ሼൌsinሼlg䁧ሼሼ212，且䁧1ൌ1，䁧1ൌsin1lg䁧122ൌ1，则䁧1ൌsinlg䁧122，两式相加得且䁧11ൌlg䁧12lg䁧124，即䁧11ൌlg䁧12䁧124，ൌlg䁧214ൌ4lg1ൌ4，则䁧1ൌ41ൌs，故选：D．根据条件，建立方程组进行求解即可．本题主要考查函数值的计算，结合函数奇偶性的性质建立方程组是解决本题的关键．11.已知䁨是边长为1的等边三角形，点D、E分别是边AB、BC的中点，连接DE并延长到点F，使得ൌ2쳌，则쳌䁨的值为䁧51111A.B.C.D.㌳4㌳㌳【答案】C【解析】解：如图，、E分别是边AB、BC的中点，且ൌ2쳌，1s쳌䁨ൌ䁧쳌䁨ൌ䁧䁨221s1ssൌ䁧䁨䁨ൌ䁧䁨䁨242445s5s25sൌ䁧䁨䁨ൌ䁨䁨ൌ䁨coss1244444451s1ൌ11ൌ．424㌳故选：C．由题意画出图形，把쳌、䁨都用、䁨表示，然后代入数量积公式得答案．本题考查平面向量的数量积运算，考查向量加减法的三角形法则，是中档题．lgሼ2㌳ሼ2212.定义域为R的函数䁧ሼൌ㌳若关于ሼ的方程䁧ሼ䁧ሼൌs恰有51㌳ሼൌ2个不同的实数解ሼ1，ሼ2，ሼs，ሼ4，ሼ5，则䁧ሼ1ሼ2ሼ2ሼ4ሼ5等于䁧A.0B.21g2C.31g2D.1【答案】C5/12\n【解析】解：当ሼൌ2时，䁧ሼൌ1，则由2䁧ሼ䁧ሼൌs得1ൌs.ሼ1ൌ2，ൌ1．当ሼ൐2时，䁧ሼൌlg䁧ሼ2，由2䁧ሼ䁧ሼൌs得lg䁧ሼ22lg䁧ሼ21ൌs，解得lg䁧ሼ2ൌ1，ሼ2ൌ12或lg䁧ሼ2ൌ，ሼsൌ21s．当ሼr2时，䁧ሼൌlg䁧2ሼ，由2䁧ሼ䁧ሼൌs得lg䁧2ሼ2lg䁧2ሼ1ൌs，解得lg䁧2ሼൌ1，ሼ4ൌ㌳或lg䁧2ሼൌ，ሼ5ൌ21s．䁧ሼ1ሼ2ሼsሼ4ሼ5ൌ䁧21221s㌳21sൌ䁧1sൌlg1s2ൌlg㌳ൌslg2．故选：C．分情况讨论，当ሼൌ2时，䁧ሼൌ1，则由2䁧ሼ䁧ሼൌs得1ൌs，求出ሼ1ൌ1；当ሼ൐2时，䁧ሼൌlg䁧ሼ2，由2䁧ሼ䁧ሼൌs得lg䁧ሼ22lg䁧ሼ21ൌs，解得lg䁧ሼ2ൌ1，或lg䁧ሼ2ൌ，从而求出ሼ2和ሼs；当ሼr2时，䁧ሼൌlg䁧2ሼ，由2䁧ሼ䁧ሼൌs得lg䁧2ሼ2lg䁧2ሼ1ൌs，解得lg䁧2ሼൌ1，或lg䁧2ሼൌ，从而求出ሼ4和ሼ5，5个不同的实数解ሼ1、ሼ2、ሼs、ሼ4、ሼ5都求出来后，就能求出䁧ሼ1ሼ2ሼsሼ4ሼ5的值．这是一道比较难的对数函数综合题，解题时按照题设条件分别根据ൌs、൐s和rs三种情况求出关于x的方程2䁧ሼ䁧ሼൌs的5个不同的实数解ሼ1、ሼ2、ሼs、ሼ4、ሼ5，然后再求出䁧ሼ1ሼ2ሼsሼ4ሼ5的值．二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）1s.函数䁧ሼൌlog2ሼ1的定义域为______．【答案】2㌳【解析】解：由题意得：log2ሼ1，解得：ሼ2，函数䁧ሼ的定义域是2㌳．故答案为：2㌳．解关于对数函数的不等式，求出x的范围即可．本题考查了对数函数的性质，考查求函数的定义域问题，是一道基础题．14.已知平面向量ൌ䁧2㌳s，ൌ䁧ሼ㌳4，若䁧，则ሼൌ______．1【答案】2【解析】解：ൌ䁧2ሼ㌳1；䁧；䁧ൌ2䁧2ሼsൌs；1解得ሼൌ．21故答案为：．2可求出ൌ䁧2ሼ㌳1，根据䁧即可得出䁧ൌs，进行数量积的坐标运算即可求出x．\n考查向量垂直的充要条件，向量坐标的减法和数量积运算．15.若幂函数䁧ሼൌ䁧21ሼ22s在䁧s㌳上是减函数，则实数ൌ______．【答案】2【解析】解析䁧ሼൌ䁧21ሼ22s为幂函数，21ൌ1，ൌ2或ൌ1．当ൌ2时，䁧ሼൌሼs在䁧s㌳上是减函数，当ൌ1时，䁧ሼൌሼsൌ1不符合题意．综上可知ൌ2．故答案为：2．根据幂函数的系数一定为1可先确定参数m的值，再根据单调性进行排除，可得答案．本题主要考查幂函数的表达形式以及幂函数的单调性，属于基础题．1.已知实数൐s，函数䁧ሼൌsin䁧在䁧㌳上是单调递减函数，则的取值42范围是______．15【答案】24【解析】解：ሼ䁧㌳，൐s，21ሼ䁧㌳4244函数䁧ሼൌsin䁧ሼ在䁧㌳上单调递减，422周期ൌ，解得2s䁧ሼൌsin䁧ሼ的减区间满足：2rሼr2，4242124215取ൌs，得，解之得s244215故答案为：242根据题意，得函数的周期ൌ，解得2.又因为䁧ሼൌsin䁧ሼ的减区间4s1满足：2rሼr2䁧，而题中ሼ䁧㌳.由此建2424244立不等关系，解之即得实数的取值范围．本题给出函数ൌsin䁧ሼ的一个单调区间，求的取值范围，着重考查了正弦函数的单调性和三角函数的图象变换等知识，属于基础题．三、解答题（本大题共6小题，共70.0分）7/12\n117.已知集合ൌሼrሼr2i，集合ൌሼ1ሼs2i．4䁧1当ൌ1时，求及；䁧2若ൌ，求实数m的取值范围．【答案】解：（1）当m=1时，Q=，所以PQ=，CRQ=，（2）因为P∩Q=Q，所以Q⊆P，1①当m-1＞3m-2，即m＜时，Q=∅，满足题意，2111＞②当m-1≤3m-2，即m时，4，2s2＜254解得：＜＜，4s综合①②可得：实数m的取值范围，【解析】（1）由集合的交、并、补运算得：当m=1时，Q=，即PQ=，CRQ=，（2）集合的包含关系，得Q⊆P，讨论①Q=∅，②Q≠∅，运算可得解．本题考查了集合的交、并、补运算及集合的包含关系，属简单题．5sin䁧cos䁧1㌳.䁧1已知角的终边经过点䁧1㌳2，求22的值；cos䁧sin4cos䁧2已知tanൌ2，求的值．5sin2cos1152【答案】解：䁧1角的终边经过点䁧1㌳2，cosൌൌൌ，sinൌൌ14551425，55sin䁧2cos䁧2cossin25．ൌൌsinൌcos䁧cos5sin4costan4241䁧2已知tanൌ2，ൌൌൌ．5sin2cos5tan21s2【解析】䁧1由题意利用任意角的三角函数的定义，诱导公式，求得要求式子的值．䁧2利用查同角三角函数的基本关系，求得要求式子的值．本题主要考查任意角的三角函数的定义，诱导公式，查同角三角函数的基本关系，属于基础题．19.已知平面向量ൌ䁧s㌳4，ൌ䁧9㌳ሼ，ൌ䁧4㌳，且//，䁧1求与䁧2若ൌ2，䁞ൌ，求向量、䁞的夹角的大小．\n【答案】解：䁧1由//得sሼ49ൌs，解得ሼൌ12；由得94ሼൌs，ss解得ൌൌൌs；ሼ12所以ൌ䁧9㌳12，ൌ䁧4㌳s；䁧2ൌ2ൌ䁧s㌳4，䁞ൌൌ䁧7㌳1；所以䁞ൌs741ൌ25，ൌ䁧s2䁧42ൌ5，䁞ൌ7212ൌ52；䁞252所以cosr，䁞൐ൌൌൌ，䁞5522s所以向量、䁞的夹角为．4【解析】䁧1由//求出x的值，由求出y的值，从而得出、；䁧2计算、䁞，利用平面向量夹角的公式求出cosr，䁞൐，即得夹角的大小．本题考查了数量积表示两个向量的夹角，平行向量与共线向量，数量积判断两个平面向量的垂直关系，其中根据“两个向量平行，坐标交叉相乘差为零，两个向量若垂直，对应相乘和为零”构造方程是解答本题的关键．12s.已知函数䁧ሼൌ2sin䁧ሼ.2䁧1求䁧ሼ的最小正周期及其单调递增区间；䁧2若ሼ㌳，求䁧ሼ的值域．1【答案】解：䁧1䁧ሼൌ2sin䁧ሼ，22䁧ሼ的最小正周期ൌ1ൌ4．2142由2ሼ2，得4ሼ4，．222ss42䁧ሼ的单调递增区间为4㌳4，；ss112䁧2ሼ，ሼ，则ሼ，222s2ss1sin䁧ሼ1，221s2sin䁧ሼ2．2即s䁧ሼ2．䁧ሼ的值域为s㌳2.【解析】䁧1由三角函数的周期公式求周期，再由复合函数的单调性求函数的单调区间；䁧2由x的范围求得相位的范围，则函数的值域可求．本题考查三角函数的恒等变换应用，考查ൌsin䁧ሼ型函数的图象和性质，是基9/12\n础题．21.一种药在病人血液中的含量不低于2克时，它才能起到有效治疗的作用，已知每服用䁧112且克的药剂，药剂在血液中的含量䁧克随着时间ሼ䁧小1s㌳sሼr时变化的函数关系式近似为ൌ䁧ሼ，其中䁧ሼൌ4ሼ．sሼ4㌳ሼ㌳2䁧1若病人一次服用9克的药剂，则有效治疗时间可达多少小时？䁧2若病人第一次服用6克的药剂，6个小时后再服用3m克的药剂，要使接下来的2小时中能够持续有效治疗，试求m的最小值．ss㌳sሼr4ሼ【答案】解：䁧1由ൌ9可得ൌs䁧ሼൌ，sሼ12㌳ሼ㌳2ss当sሼr时，2，解得ሼ11，此时sሼr；4ሼsሼ2s2s当ሼr㌳时，122，解得ሼ，此时ሼ，2ss2s综上可得sሼ，s2s病人一次服用9克的药剂，则有效治疗时间可达小时；sሼ1s1s䁧2当ሼ㌳时，ൌ2䁧4䁧ൌ㌳ሼ，24䁧ሼሼ21s由ൌ㌳ሼ，ൌ䁧1在㌳㌳均为减函数，ሼ21s可得ൌ㌳ሼ在㌳㌳递减，ሼ21s5即有㌳㌳ൌ，㌳2s5由2，可得，s5可得m的最小值为．5【解析】䁧1由ൌ9可得函数y的解析式，可令2，分段解不等式求并集即可；䁧2由当ሼ㌳，可得函数y的解析式，化简，结合函数的单调性，可得最小值．本题考查函数在实际问题中的运用，考查函数的单调性的运用：求最值，考查化简变形能力和运算能力，属于中档题．122.已知函数䁧ሼൌln䁧4ሼ25，䁧ሼൌln䁧，其中a为常数．ሼ䁧1当ൌs时，设函数䁧ሼൌ䁧2ሼ21䁧ሼ2，判断函数䁧ሼ在䁧s㌳上是增函数还是减函数，并说明理由；䁧2设函数쳌䁧ሼൌ䁧ሼ䁧ሼ，若函数쳌䁧ሼ有且仅有一个零点，求实数a的取值范围．\n【答案】解：䁧1ൌs时，䁧ሼൌln䁧ሼ1，2ሼ2故䁧ሼൌln䁧ሼs，ሼ21䁧ሼ在䁧s㌳递增，2ሼ22ൌ2，ሼ21ሼ2122在䁧s㌳递减，ሼ1222在䁧s㌳递增，ሼ1故䁧ሼ在䁧s㌳递增；1䁧2由쳌䁧ሼൌs，得䁧ሼൌ䁧ሼ，即ln䁧4ሼ25ൌln䁧，ሼ若函数쳌䁧ሼ有且只有1个零点，1则方程ln䁧4ሼ25ൌln䁧有且只有1个实数根，ሼ1化简得䁧4ሼ25ൌ，ሼ即䁧4ሼ2䁧5ሼ1ൌs有且只有1个实数根，ൌ4时，䁧4ሼ2䁧5ሼ1ൌs可化为ሼ1ൌs，即ሼൌ1，䁧4125ൌs൐s此时，满足题意，1ൌs൐s当4时，由䁧4ሼ2䁧5ሼ1ൌs得：1䁧4ሼ1䁧ሼ1ൌs，解得：ሼൌ或ሼൌ1，412䁧当ൌ1即ൌs时，方程䁧4ሼ䁧5ሼ1ൌs有且只有1个实数根，4䁧4125ൌ2൐s此时，满足题意，1ൌ2൐s1䁧当1即s时，4若ሼൌ1是쳌䁧ሼ的零点，䁧4125൐s则，解得：൐1，1൐s1䁧425൐s14若ሼൌ是쳌䁧ሼ的零点，则1，解得：൐2，41൐s4函数쳌䁧ሼ有且只有1个零点，൐11或2൐21r2，综上，a的范围是䁧1㌳2s，4i．【解析】䁧1代入a的值，求出䁧ሼ的解析式，判断函数的单调性即可；䁧2问题转化为䁧4ሼ2䁧5ሼ1ൌs有且只有1个实数根，通过讨论a的范围，结合二次函数的性质得到关于a的不等式组，解出即可．11/12\n本题考查了函数的单调性，零点问题，考查二次函数的性质以及分类讨论思想，转化思想，是一道综合题．