广东省汕头市潮阳区20222022学年高一（上）期末数学试卷（解析版）一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）2ሼ11.已知集合ൌሼݔൌlnሼ2ሼd，集合ൌሼd，则ൌdA.d䁥B.d䁥C.䁥1d，D.䁥1d䁥【答案】A【解析】解：ൌሼ1൏ሼ൏dൌሼሼ1；ൌd䁥．故选：A．可解出集合A，B，然后进行补集的运算即可．考查描述法、区间表示集合的概念，对数函数的定义域，以及指数函数的单调性，补集的运算．2.在平面直角坐标系中，已知角始边与x轴非负半轴重合，顶点与原点重合，且终边上有一点P坐标为2䁥d，则2sincosൌ1d1d1dA.B.C.D.11d1d1d【答案】C【解析】解：已知角始边与x轴非负半轴重合，顶点与原点重合，且终边上有一点P坐标为2䁥d，dd1d221d1d21d1d则sinൌൌ，cosൌൌ，2sincosൌൌ，䁕1d䁕1d1d1d1d故选：C．由题意利用任意角的三角函数的定义，求得2sincos．本题主要考查任意角的三角函数的定义，属于基础题．d.设ൌlog12，ൌlogd，ൌ1.d，则2d2A.൏൏B.൏൏C.൏൏D.൏൏【答案】B【解析】解：由对数函数的图象和性质可得ൌlog12൏log11ൌ，ൌlog2dlog22ൌ1dd由指数函数的图象和性质可得1/1211൏ൌ.d൏ൌ122൏൏故选：B．根据对数函数的图象和性质可得൏，1，根据指数函数的图象和性质可得൏൏1，从而可得a、b、c的大小关系．本题主要考查指对数函数的图象和性质在比较大小中的应用，一般来讲，考查函数的单调性，以及图象的分布，属中档题．.若ሼൌ2ሼlogሼ，则2ൌ䁕A.2B.C.logdD.172【答案】B【解析】解：ሼൌ2ሼlogሼ，221䁕2ൌൌ2log2ൌൌ．22故选：B．由ሼൌ2ሼlogሼ，2ൌ2，能求出结果．本题考查函数值的求法，考查实数性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．.若向量，满足ൌ，当，不共线时，与的关系是A.相等B.平行C.垂直D.相交但不垂直【答案】C【解析】解：ൌ；22ൌൌ；又䁥不共线；和都是非零向量；．故选：C．根据ൌ即可得出ൌ，而根据题意可判断和都是非零向量，从而得出．考查向量垂直的充要条件，以及向量数量积的运算，平面向量基本定理．.下列函数中，在其定义域内是增函数而且又是奇函数的是A.ݔ.Dሼ2ሼ2ൌݔ.Cሼ2ൌݔ.Bሼ2ൌݔൌ2ሼ2ሼ【答案】C【解析】解：A虽增却非奇非偶，B、D是偶函数，C由奇偶函数定义可知是奇函数，由复合函数单调性可知在其定义域内是增函数或0)'/>，故选：C．根据函数奇偶性和单调性的定义和性质进行判断．本题主要考查函数奇偶性和单调性的判断，要求熟练掌握常见函数的奇偶性和单调性的性质．7.已知D，E分别是的边BC，AC上的中点，AD、BE交于点F，则ൌ11211222A.B.C.D.dddddddd【答案】A【解析】解：，E为中点，为重心，2ൌ，d2ൌd21ൌd211ൌ，dd故选：A．21利用重心定理得到ൌ，再结合四边形法则转化为即可得解．d2此题考查了向量加法法则，重心定理等，难度不大．sin2ሼ.函数ݔൌ的部分图象大致为1cosሼA.B.C.D.【答案】Cd/12sin2ሼ【解析】解：函数ݔൌ，1cosሼ可知函数是奇函数，排除选项B，d当ሼൌ时，2dൌ1ൌd，排除A，d12ሼൌ时，ൌ，排除D．故选：C．判断函数的奇偶性排除选项，利用特殊值判断即可．本题考查函数的图形的判断，三角函数化简，函数的奇偶性以及函数的特殊点是判断函数的图象的常用方法．䁕.设ሼൌሼ2ሼ满足ൌd，且对任意ሼ，有ሼൌ2ሼ，则A.ሼሼB.ሼ൏ሼC.ሼሼD.ሼ与ሼ不可比较【答案】A【解析】解：ൌd，ൌd，ሼൌ2ሼ，ൌ1，即ൌ2．2当ሼ൏时，൏dሼ൏2ሼ൏1，ሼ在䁥1上单调递减，2ሼ൏dሼ.当ሼ时，dሼ2ሼ1，ሼ在1䁥上单调递增，2ሼ൏dሼ.当ሼൌ时，dሼൌ2ሼൌ1，2ሼൌdሼ.综上，ሼሼ.故选：A．由ൌd得出ൌd，由ሼൌ2ሼ可知对称轴为ሼൌ1，可求出ൌ2，从而得出ሼ和ሼ的大小关系，结合ሼ的单调性得出结论．本题考查了二次函数与指数函数的性质，比较2ሼ和dሼ的大小关系和范围是关键．1.在直角三角形ABC中，ൌ，ൌd，对于平面ABC内的任一点M，平面ABC2内总有一点D使得dൌ2，则ൌA.1B.2C.4D.6【答案】D【解析】解：对于平面ABC内的任一点，平面ABC内总有一点D使得dൌ2，12即对于平面ABC内的任一点M，平面ABC内总有一点D使得ൌdd所以D为线段AB上的点且ൌ2122222所以ൌൌൌൌ䁕ൌddddd故选：D．12dൌ2ൌ所以D为线段AB上的点且ൌ2，再dd将转化为，后代入相乘即可．本题考查了平面向量数量积的性质及其运算，属基础题．11.已知将函数ݔ得可݉度长位单个m移平右向象图的ሼ2cosൌݔൌsin2ሼd的图象，则正实数m的最小值为77A.B.C.D.1212【答案】D【解析】解：将函数ݔ得可݉度长位单个移平右向少至象图的ሼ2cosൌݔൌd12sin2ሼൌcos2ሼ的图象，2则正实数m的最小值为，12故选：D．利用函数ݔൌsinሼ的图象变换规律，诱导公式，得出结论．本题主要考查函数ݔൌsinሼ的图象变换规律，诱导公式，属于基础题．12.在R上定义运算：ሼݔ1ሼൌݔ，若ሼ使得ሼሼ1成立，则实数a的取值范围是1d1dA.䁥䁥B.䁥2222d1d1C.䁥D.䁥䁥2222【答案】A【解析】解：由题知ሼሼൌሼ1ሼܽൌሼ2ሼ2ൌ1221ሼ．2ሼ，使得不等式ሼሼ1成立，1221转化为函数ݔൌሼ的最大值大于1，21211d即ൌ1成立，解之可得൏或．222故选：A．1221先利用定义把ሼሼ整理成ሼ，结合题中不等式解集不21221是空集，可得函数ݔൌሼ的最大值大于1，由二次函数的性质得：21211dൌ1成立，解之可得൏或．222/12本题考查了在新定义下对函数恒成立问题的应用.关于新定义型的题，关键是理解定义，并会用定义来解题．二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）sincos1d.已知tanൌ2，则的值为______．sincos1【答案】d【解析】解：tanൌ2，sincostan1211ൌൌൌ，sincostan121d1故答案为：．d将所求关系式“切”化“弦”，将tanൌ2代入计算即可．本题考查同角三角函数基本关系的运用，“切”化“弦”是关键，属于基础题．2ሼ12䁥ሼ11.已知ሼൌ，且ൌd，则ൌ______．log2ሼ1䁥ሼ1【答案】72ሼ12䁥ሼ1【解析】解：ሼൌ，且ൌd，log2ሼ1䁥ሼ1当1时，ൌ212ൌd，无解；当1时，ൌlog2ሼ1ൌd，解得ൌ7．综上，ൌ7．故答案为：7．当1时，ൌ212ൌd；当1时，ൌlog2ሼ1ൌd.由此能求出a．本题考查实数值的求法，考查函数性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．21.设M是线段BC的中点，点A在直线BC外，ൌ1，ൌ，则ൌ______．【答案】2【解析】解：ൌ以AB、AC为邻边作平行四边形，可得对角线AD与BC长度相等因此，四边形ABDC为矩形是线段BC的中点，1是斜边BC上的中线，可得ൌ222ൌ1，得ൌ1，即ൌ1ൌൌ22故答案为：2根据向量加法的平行四边形形法则和减法的三角形法则，可得以AB、AC为邻边的平行1四边形ABDC为矩形，可得AM是斜边BC上的中线，可得ൌ，2结合题中数据即可算出的值．本题给出向量、满足的等式和向量的模，求另一个向量的模.着重考查了向量的加法、减法法则和模的计算公式等知识，属于基础题．logdሼ䁥൏ሼ൏d1.已知函数ሼൌ，若方程ሼൌ有四个不同的实数根，cosሼ䁥dሼ䁕d则实数的取值范围是______．【答案】䁥1【解析】解：函数ሼൌlogdሼ䁥൏ሼ൏d，cosሼ䁥dሼ䁕d函数的图象如图：方程ሼൌ有四个不同的实数根，转化为ݔ，ሼൌݔൌ由4个交点．可得䁥1．故答案为：䁥1．利用分段函数画出函数的图象，然后求解a的范围即可．本题考查函数与方程的应用，考查数形结合以及计算能力．三、解答题（本大题共6小题，共70.0分）17.已知点A在平面直角坐标系中的坐标为1䁥1，平面向量ൌ1䁥2，ൌ䁥݉，1ൌ䁥‶且，//，ൌ݉䁥‶．21求实数m，n及点B的坐标；2求向量与向量夹角的余弦值．【答案】解：1ൌ2݉ൌ，݉ൌ2，1//‶ൌ2ൌ1，2所以ൌ݉䁥‶ൌ2䁥1，因为1䁥1，所以ൌൌ1䁥12䁥1ൌd䁥，所以d䁥；2䁥11䁥22由1可知cos൏，ൌൌൌ．【解析】1根据得到݉ൌ2，根据//得到‶ൌ1，从而得ൌ2䁥1，再根据1䁥1可得d䁥；2根据向量的夹角公式可求得．本题考查了平面向量数量积的性质及其运算，属基础题．7/1211.1求值：lg2log1log27log7d2；2sin222costan12已知为第四象限角，且ൌ，求sin的值．tancosd211lg7lgd21lg211【答案】解：1lg2log1log27log7d2ൌlg2lgൌൌ．22lg2lg72lg22sin222costan12ൌ，tancosd2sincostan11可得：ൌcosൌ，cosൌ，tansindd为第四象限角，sinൌ1cos222．ൌd【解析】1通过对数的运算法则化简求解即可．2利用诱导公式化简求解即可．本题考查对数运算法则的应用，诱导公式的应用，三角函数化简求值，考查计算能力．1䁕.已知定义在R上的函数ሼൌsinሼ䁥䁥的最大值和最小2值分别为m、n，且函数ሼ同时满足下面三个条件：相邻两条对称轴相距d；‶݉ൌ；2ൌ2．1求函数ሼ的解析式；2求函数ሼ的单调递减区间及其对称轴；d求函数ሼ在区间䁥d上的值域．【答案】解：1相邻两条对称轴相距d，周期ൌ，21ൌ，又，ൌ，d又‶݉ൌൌ2，ൌ2，2ሼൌ2sin，d22由2ൌ2sinൌ2，可知sinൌ1，dd2即ൌ2൭，൭，d2解得ൌ2൭，൭，又，ൌ，21ሼൌ2sinሼ.d1d2由2൭ሼ2൭，൭，2d22൭ሼ൭，函数的单调性减区间为2൭䁥൭ܽ，൭．11由sinሼൌ1，得ሼൌ൭，൭，dd2解得ሼൌ2d൭，൭，函数的对称轴为ሼൌ2d൭，൭．1dሼ䁥d，ሼ䁥，d11sinሼ䁥1ܽ.d2函数ሼ在区间䁥d上的值域为1䁥2ܽ．1【解析】1相邻两条对称轴相距d，从而周期ൌ，求出ൌ，由‶݉ൌൌ2，d22得ൌ2，从而ሼൌ2sin，由2ൌ2sinൌ2，求出ൌ，由dd此能求出ሼ．1d12由2൭ሼ2൭，൭，能求出函数的单调性减区间；由sinሼ2d2dൌ1，能求出函数的对称轴．1d由ሼ䁥d，得ሼ䁥，由此能求出函数ሼ在区间䁥d上的值域．d本题考查三角函数的解析式、减区间、对称轴、值域的求法，考查三角函数的性质等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．2.2022年汕头市开展了一场创文行动.一直以来，汕头市部分市民文明素质有待提高、环境脏乱差现象突出、交通秩序混乱、占道经营和违章搭建问题严重，为了解决这一老大难问题，汕头市政府打了一场史无前例的“创文”仗，目的是全力改善汕头市环境、卫生道路、交通各方面不文明现象，同时争夺2022年“全国文明城市”称号.随着创文活动的进行，我区生活环境得到了很大的改善，但因为违法出行的三轮车减少，市民出行偶有不便.有一商人从中看到商机，打算开一家汽车租赁公司，他委托一家调查公司进行市场调查，调查公司的调查结果如表：每辆车月租金定价元300030503100315032003250能出租的车辆数辆1009998979695若他打算购入汽车100辆用于租赁业务，通过调查发现租出的车每辆每月需要维护费150元，未租出的车每辆每月需要维护费50元.由上表，他决定每辆车月租金定价满足：为方便预测，月租金定价必须为50的整数倍；不低于3000元；定价必须使得公司每月至少能出租10辆汽车.设租赁公司每辆车月租金定价为x元时，每月能出租的汽车数量为y辆．1按调查数据，请将y表示为关于x的函数．2当x何值时，租赁公司月收益最大？最大月收益是多少？【答案】解：1由表格可知，当定价为3000元时，能出租100辆，当定价每提升50元时能出租的车辆将减少1辆，11则ݔൌ1ሼdൌሼ1，䁕/1211令ݔ1，得ሼ11，得ሼ1，得ሼ7，1所以所求函数ݔൌሼ1，dሼ7，且ሼൌ൭，൭，2由1知，租赁公司的月收益为ሼ，1112则ሼൌ1ሼሼ111ሼൌሼ12ሼ2112ൌሼd7，dሼ7，当ሼൌ时，ሼ取得最大值为307050，即月租金定为4050时，租赁公司的月收益最大，最大月收益为307050元．【解析】1根据表示得到当定价为3000元时，能出租100辆，当定价每提升50元时能出租的车辆将减少1辆，根据变化关系，设出函数关系即可2利用配方法结合一元二次函数最值的性质进行求解本题主要考查函数的应用问题，根据条件建立函数关系，利用一元二次函数对称轴与最值的关系是解决本题的关键．2ሼ121.已知函数ሼൌ．2ሼ11若ൌd22，求a的值．2判断函数ሼ的奇偶性，并证明你的结论．12d求不等式的解集．2ሼሼ1212122【答案】解：1若ൌd22，则ൌൌ1ൌd22，2121212得ൌ222，2121即21ൌൌൌ21，222211则2ൌ2，ൌ．22函数的定义域为R，2ሼ112ሼ2ሼ1ሼൌൌൌൌሼ，即函数ሼ是奇函数．2ሼ112ሼ2ሼ112122d由不等式得ൌ，2ሼሼ12ሼሼ1ሼ12ሼ12ሼ122ሼൌൌൌ1，2ሼ12ሼ12ሼ1ሼ在R上是增函数，12不等式等价为，2ሼሼ1ሼ22ሼ1即2ൌ2，22ሼ2即ሼ2ሼ1，得ሼ1．即不等式的解集为1䁥．【解析】1根据条件建立方程进行求解即可2根据函数奇偶性的定义进行证明d利用函数奇偶性和单调性的性质将不等式进行转化求解即可本题主要考查函数奇偶性和单调性的应用，结合函数单调性和奇偶性的定义，进行转化是解决本题的关键．22.已知函数ሼൌlnሼ2lnሼ212ሼ．1当ൌ1时，求不等式ሼ൏的解集．2讨论不等式ሼ൏的解集．【答案】解：1当ൌ1时，ሼൌlnሼ2lnሼd2ൌlnሼ2dlnሼ2ൌlnሼ1lnሼ2，由ሼ൏得lnሼ1lnሼ2൏，得1൏lnሼ൏2，即൏ሼ൏2，即不等式的解集为䁥2.2由ሼ൏得lnሼ2lnሼ212൏，即lnሼ221lnሼ2൏，若ൌ，则不等式等价为lnሼ2൏得lnሼ2，得ሼ2，若，则不等式等价为lnሼ1lnሼ2൏，令ൌlnሼ，则不等式等价为12൏，1若，抛物线ݔൌ12开口向上，有两个零点2，，11112若൏൏，则2൏，此时不等式的解为2൏൏，即2൏lnሼ൏，得൏ሼ൏，211若ൌ，则2ൌ，此时不等式12൏的无解，211112若，则2，此时不等式的解为൏൏2，即൏lnሼ൏2，得൏ሼ൏，211若൏，抛物线ݔൌ12开口向下，有两个零点2，，且2，112此时不等式的解为或൏，即lnሼ或lnሼ൏，得൏ሼ൏或ሼ，2综上若൏，不等式的解集为ሼ൏ሼ൏或ሼ，若ൌ，不等式的解集为ሼሼ2，12若൏൏，不等式的解集为ሼ൏ሼ൏，21若ൌ，不等式的解集为空集，212若，不等式的解集为ሼ൏ሼ൏.2【解析】1当ൌ1时，先求出ሼ，结合一元二次不等式的解法进行求解即可2分别讨论a的取值范围，结合一元二次不等式的解法进行求解即可本题主要考查不等式的解法，结合一元二次不等式的解法，利用分类讨论法是解决本题11/12的关键．
