2022-2022学年广东省惠州市惠东中学高二（上）期中数学试卷 一、选择题（本大题共12小题，每题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，将答案填入答卷指定位置）1．若A、B是互斥事件，P（A）=0.2，P（A∪B）=0.5，则P（B）=（ ）A．0.3B．0.7C．0.1D．1 2．若将两个数a=8，b=17交换，使a=17，b=8，下面语句正确的一组是（ ）A．B．C．D． 3．要从已编号（1﹣60）的60名学生中随机抽取6人，现用系统抽样方法确定所选取的6个同学的编号可能是（ ）A．5，10，15，20，25，30B．2，4，8，16，32，48C．1，2，3，4，5，6D．3，13，23，33，43，53 4．盒中装有大小形状都相同的5个小球，分别标以号码1，2，3，4，5，从中随机取出一个小球，其号码为偶数的概率是（ ）A．B．C．D． 5．对一个容量为N的总体抽取容量为n的样本，当选取简单随机抽样、系统抽样和分层抽样三种不同方法抽取样本时，总体中每个个体被抽中的概率分别为p1，p2，p3，则（ ）A．p1=p2＜p3B．p2=p3＜p1C．p1=p3＜p2D．p1=p2=p3 6．如图所示，程序框图（算法流程图）输出的结果是（ ）-16-\nA．2B．4C．8D．16 7．下列对一组数据的分析，不正确的说法是（ ）A．数据极差越小，样本数据分布越集中、稳定B．数据平均数越小，样本数据分布越集中、稳定C．数据标准差越小，样本数据分布越集中、稳定D．数据方差越小，样本数据分布越集中、稳定 8．某小组有3名男生和2名女生，从中任选2名同学参加演讲比赛，那么互斥不对立的两个事件是（ ）A．恰有1名男生与恰有2名女生B．至少有1名男生与全是男生C．至少有1名男生与至少有1名女生D．至少有1名男生与全是女生 9．若圆C1：x2+y2=1与圆C2：x2+y2﹣6x﹣8y+m=0外切，则m=（ ）A．21B．19C．9D．﹣11 10．设样本数据x1，x2，…，x10的均值和方差分别为1和4，若yi=xi+a（a为非零常数，i=1，2，…，10），则y1，y2，…，y10的均值和方差分别为（ ）A．1+a，4B．1+a，4+aC．1，4D．1，4+a 11．如图，边长为1正方形ABCD中，分别在边BC、AD上各取一点M与N，下面用随机模拟的方法计算|MN|＞1.1的概率．利用计算机中的随机函数产生两个0～1之间的随机实数x，y，设BM=x，AN=y，则可确定M、N点的位置，进而计算线段MN的长度．设x，y组成数对（x，y），经随机模拟产生了20组随机数：（0.82，0.28）（0.47，0.38）（0.71，0.62）（0.68，0.83）（0.66，0.63）（0.66，0.18）（0.01，0.35）（0.59，0.06）（0.28，0.22）（0.27，0.05）（0.98，0.32）（0.92，0.99）（0.70，0.49）（0.38，0.60）（0.06，0.78）（0.24，0.46）（0.17，0.75）（0.77，0.59）（0.15，0.98）（0.63，0.78）通过以上模拟数据，可得到“|MN|＞1.1”的概率是（ ）A．0.3B．0.35C．0.65D．0.7 12．已知圆C：x2+y2=12，直线l：4x+3y=25，圆C上任意一点A到直线l的距离小于2的概率为（ ）A．B．C．D． -16-\n 二．填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分；.将答案填入答卷指定位置）13．某学校有教师132人，职工33人，学生1485人．为了解食堂情况，拟采用分层抽样的方法从以上人员中抽取50人进行抽查，则在学生中应抽取 人． 14．高考数学有三道选做题，要求每个学生从中选择一题作答．已知甲、乙两人各自在这三题中随机选做了其中的一题，则甲乙两人选做的是同一题的概率是 ． 15．已知实数a∈[0，10]，那么方程x2﹣ax+16=0有实数解的概率是 ． 16．已知圆O：x2+y2=1及点A（2，0），点P（x0，y0）（y0≠0）是圆O上的动点，若∠OPA＜60°，则x0的取值范围是 ． 三、解答题（本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤，.请在答卷指定位置作答）17．（10分）（2022秋•惠州校级期中）已知点M（x，y）的横坐标x∈{﹣2，﹣1，2}，纵坐标y∈{﹣2，2}．（1）列出所有符合条件的点M的坐标；（2）求点M落在第二象限内的概率． 18．（12分）（2022秋•惠州校级期中）编号分别为A1，A2，A3，…，A12的12名篮球运动员在某次篮球比赛中的得分记录如下：运动员编号A1A2A3A4A5A6A7A8A9A10A11A12得分5101216821271562218（1）完成如下的频率分布表：得分区间频数频率[0，10）3[10，20）[20，30）合计121.00（2）从得分在区间[10，20）内的运动员中随机抽取2人，求这2人得分之和大于30的概率． 19．（12分）（2022秋•惠州校级期中）假设关于某设备的使用年限x（年）和所支出的维修费用y（万元）有如下统计资料：x（年）23456y（万元）2.23.85.56.57.0若由资料知，y对x呈线性相关关系，试求：（1）求回归直线方程，并解释斜率的含义．（2）估计使用年限为10年时，维修费用约是多少？-16-\n（参考公式：用最小二乘法求线性回归方程系数公式=，=﹣b） 20．（12分）（2022秋•惠州校级期中）为了解某省去年高三考生英语听力成绩，现从某校高三年级随机抽取50名考生的成绩，发现全部介于[6，30]之间，将成绩按如下方式分成6组：第1组[6，10），第2组[10，14），…，第6组[26，30]，如图是按上述分组方法得到的频率分布直方图．（1）在这50人中，分数不低于18分的有多少人？（2）估计此次考试成绩的平均数和中位数． 21．（12分）（2022秋•惠州校级期中）已知定圆C：x2+（y﹣3）2=4，过M（﹣1，0）的直线l与圆C相交于P，Q两点，（1）当|PQ|=2时，求直线l的方程；（2）求△CPQ（C为圆心）面积的最大值，并求出当△CPQ面积取得最大值时的直线l方程． 22．（12分）（2022秋•惠州校级期中）点P（x0，y0）是圆C：x2+y2=1上的一个动点，过点P的直线l与圆C相切（1）求证：直线l的方程为x0x+y0y=1；（2）若直线l与x轴、y轴的交点分别为点A、B，且|PB|，|PA|，|AB|成等比数列，求点P的坐标． 2022-2022学年广东省惠州市惠东中学高二（上）期中数学试卷参考答案与试题解析 一、选择题（本大题共12小题，每题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，将答案填入答卷指定位置）1．若A、B是互斥事件，P（A）=0.2，P（A∪B）=0.5，则P（B）=（ ）A．0.3B．0.7C．0.1D．1【考点】互斥事件的概率加法公式．-16-\n【专题】概率与统计．【分析】根据两个事件是互斥事件，得到两个事件的和事件的概率等于两个事件的概率的和，根据所给的两个事件的概率，相减得到要求事件的概率．【解答】解：∵随机事件A、B是互斥事件，∴P（A∪B）=P（A）+P（B）=0.5，∵P（A）=0.2，∴P（B）=0.5﹣0.2=0.3，故选：A．【点评】本题考查互斥事件的概率加法公式，是一个基础题，解题时利用两个互斥事件的和事件的概率，和一个事件的概率，做出未知事件的概率，是一个送分题． 2．若将两个数a=8，b=17交换，使a=17，b=8，下面语句正确的一组是（ ）A．B．C．D．【考点】赋值语句．【专题】图表型．【分析】要实现两个变量a，b值的交换，需要借助中间量c，先把b的值赋给中间变量c，再把a的值赋给变量b，把c的值赋给变量a．【解答】解：先把b的值赋给中间变量c，这样c=17，再把a的值赋给变量b，这样b=8，把c的值赋给变量a，这样a=17．故选B【点评】本题考查的是赋值语句，考查逻辑思维能力，属于基础题． 3．要从已编号（1﹣60）的60名学生中随机抽取6人，现用系统抽样方法确定所选取的6个同学的编号可能是（ ）A．5，10，15，20，25，30B．2，4，8，16，32，48C．1，2，3，4，5，6D．3，13，23，33，43，53【考点】系统抽样方法．【专题】计算题；概率与统计．【分析】根据系统抽样的定义，求出样本间隔即可．【解答】解：样本间隔为60÷6=10，则满足条件的编号为3，13，23，33，43，53，故选：D．【点评】本题主要考查系统抽样的应用，比较基础． 4．盒中装有大小形状都相同的5个小球，分别标以号码1，2，3，4，5，从中随机取出一个小球，其号码为偶数的概率是（ ）A．B．C．D．【考点】古典概型及其概率计算公式．【专题】计算题．-16-\n【分析】从5个球中随机取出一个小球共有5种方法，其中号码为偶数的为：2，4，共两种，由古典概型的概率公式可得答案．【解答】解：从5个球中随机取出一个小球共有5种方法，其中号码为偶数的为：2，4，共两种由古典概型的概率公式可得：其号码为偶数的概率是故选B【点评】本题考查古典概型的求解，数准事件数是解决问题的关键，属基础题． 5．对一个容量为N的总体抽取容量为n的样本，当选取简单随机抽样、系统抽样和分层抽样三种不同方法抽取样本时，总体中每个个体被抽中的概率分别为p1，p2，p3，则（ ）A．p1=p2＜p3B．p2=p3＜p1C．p1=p3＜p2D．p1=p2=p3【考点】等可能事件的概率．【分析】根据简单随机抽样、系统抽样和分层抽样的定义即可得到结论．【解答】解：根据简单随机抽样、系统抽样和分层抽样的定义可知，无论哪种抽样，每个个体被抽中的概率都是相等的，即P1=P2=P3，故选：D【点评】本题主要考查简单随机抽样、系统抽样和分层抽样的性质，比较基础． 6．如图所示，程序框图（算法流程图）输出的结果是（ ）A．2B．4C．8D．16【考点】程序框图．【专题】算法和程序框图．【分析】解答算法框图的问题，要依次执行各个步骤，特别注意循环结构的终止条件，本题中是x＞3就终止循环，因此累加变量累加到值3，于是计算得到结果．【解答】解：模拟执行程序框图，可得：x=1，y=1，-16-\n满足条件x≤3，x=2，y=2；满足条件x≤3，x=3，y=4；满足条件x≤3，x=4，y=8；不满足条件x≤3，退出循环，输出y的值为8．故选：C．【点评】本题考查了循环结构、流程图的识别、条件框等算法框图的应用，还考查了对计数变量、累加变量的理解与应用．属于基础题． 7．下列对一组数据的分析，不正确的说法是（ ）A．数据极差越小，样本数据分布越集中、稳定B．数据平均数越小，样本数据分布越集中、稳定C．数据标准差越小，样本数据分布越集中、稳定D．数据方差越小，样本数据分布越集中、稳定【考点】极差、方差与标准差；众数、中位数、平均数．【专题】阅读型．【分析】根据极差、平均数、标准差、方差的意义即可判断．【解答】极差反映了最大值与最小值差的情况，极差越小，数据越集中．方差、标准差是用来衡量一组数据波动大小的量，方差标准差越大，表明这组数据偏离平均数越大，即波动越大，数据越不稳定．方差较小的数据波动较小，稳定程度高．平均数越小，说明数据整体上偏小，不能反映数据稳定与否．故选B【点评】本题考查极差、平均数、标准差、方差的意义，属于基础题． 8．某小组有3名男生和2名女生，从中任选2名同学参加演讲比赛，那么互斥不对立的两个事件是（ ）A．恰有1名男生与恰有2名女生B．至少有1名男生与全是男生C．至少有1名男生与至少有1名女生D．至少有1名男生与全是女生【考点】互斥事件与对立事件．【专题】阅读型．【分析】互斥事件是两个事件不包括共同的事件，对立事件首先是互斥事件，再就是两个事件的和事件是全集，由此规律对四个选项逐一验证即可得到答案．【解答】解：A中的两个事件符合要求，它们是互斥且不对立的两个事件；B中的两个事件之间是包含关系，故不符合要求；C中的两个事件都包含了一名男生一名女生这个事件，故不互斥；D中的两个事件是对立的，故不符合要求．故选A【点评】本题考查互斥事件与对立事件，解题的关键是理解两个事件的定义及两事件之间的关系．属于基本概念型题． 9．若圆C1：x2+y2=1与圆C2：x2+y2﹣6x﹣8y+m=0外切，则m=（ ）A．21B．19C．9D．﹣11【考点】圆的切线方程．-16-\n【专题】直线与圆．【分析】化两圆的一般式方程为标准方程，求出圆心和半径，由两圆心间的距离等于半径和列式求得m值．【解答】解：由C1：x2+y2=1，得圆心C1（0，0），半径为1，由圆C2：x2+y2﹣6x﹣8y+m=0，得（x﹣3）2+（y﹣4）2=25﹣m，∴圆心C2（3，4），半径为．∵圆C1与圆C2外切，∴，解得：m=9．故选：C．【点评】本题考查两圆的位置关系，考查了两圆外切的条件，是基础题． 10．设样本数据x1，x2，…，x10的均值和方差分别为1和4，若yi=xi+a（a为非零常数，i=1，2，…，10），则y1，y2，…，y10的均值和方差分别为（ ）A．1+a，4B．1+a，4+aC．1，4D．1，4+a【考点】极差、方差与标准差；众数、中位数、平均数．【专题】概率与统计．【分析】方法1：根据变量之间均值和方差的关系直接代入即可得到结论．方法2：根据均值和方差的公式计算即可得到结论．【解答】解：方法1：∵yi=xi+a，∴E（yi）=E（xi）+E（a）=1+a，方差D（yi）=D（xi）+E（a）=4．方法2：由题意知yi=xi+a，则=（x1+x2+…+x10+10×a）=（x1+x2+…+x10）=+a=1+a，方差s2=[（x1+a﹣（+a）2+（x2+a﹣（+a）2+…+（x10+a﹣（+a）2]=[（x1﹣）2+（x2﹣）2+…+（x10﹣）2]=s2=4．故选：A．【点评】本题主要考查样本数据的均值和方差之间的关系，若变量y=ax+b，则Ey=aEx+b，Dy=a2Dx，利用公式比较简单或者使用均值和方差的公式进行计算． 11．如图，边长为1正方形ABCD中，分别在边BC、AD上各取一点M与N，下面用随机模拟的方法计算|MN|＞1.1的概率．利用计算机中的随机函数产生两个0～1之间的随机实数x，y，设BM=x，AN=y，则可确定M、N点的位置，进而计算线段MN的长度．设x，y组成数对（x，y），经随机模拟产生了20组随机数：（0.82，0.28）（0.47，0.38）（0.71，0.62）（0.68，0.83）（0.66，0.63）（0.66，0.18）（0.01，0.35）（0.59，0.06）（0.28，0.22）（0.27，0.05）（0.98，0.32）（0.92，0.99）（0.70，0.49）（0.38，0.60）（0.06，0.78）（0.24，0.46）（0.17，0.75）（0.77，0.59）（0.15，0.98）（0.63，0.78）通过以上模拟数据，可得到“|MN|＞1.1”的概率是（ ）-16-\nA．0.3B．0.35C．0.65D．0.7【考点】模拟方法估计概率．【专题】应用题；概率与统计．【分析】由题意，经随机模拟产生了如下20组随机数，满足题意，可以通过列举得到共7组随机数，根据概率公式，得到结果．【解答】解：由题意，|MN|=＞1.1，∴（y﹣x）2＞0.21，20组随机数，满足题意的有（0.82，0.28），（0.66，0.18），（0.59，0.06），（0.98，0.32），（0.06，0.78），（0.17，0.75），（0.15，0.98），共7个，∴“|MN|＞1.1”的概率是=0.35，故选：B．【点评】本题考查模拟方法估计概率，是一个基础题，解这种题目的主要依据是等可能事件的概率，注意列举法在本题的应用． 12．已知圆C：x2+y2=12，直线l：4x+3y=25，圆C上任意一点A到直线l的距离小于2的概率为（ ）A．B．C．D．【考点】几何概型．【专题】计算题；空间位置关系与距离．【分析】试验发生包含的事件是从这个圆上随机的取一个点，对应的圆上整个圆周的弧长，根据题意做出符合条件的弧长对应的圆心角是60°，根据几何概型概率公式得到结果．【解答】解：由题意知本题是一个几何概型，试验发生包含的事件是从这个圆上随机的取一个点，对应的圆上整个圆周的弧长，满足条件的事件是到直线l的距离小于2，过圆心做一条直线交直线l与一点，∵圆心到直线的距离是=5，∴在这条垂直于直线l的半径上找到圆心的距离为3的点做半径的垂线，根据弦心距，半径，弦长之间组成的直角三角形得到符合条件的弧长对应的圆心角是60°根据几何概型的概率公式得到P==故选A．【点评】本题考查几何概型，考查学生的计算能力，确定测度是关键． 二．填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分；.将答案填入答卷指定位置）13．某学校有教师132人，职工33人，学生1485人．为了解食堂情况，拟采用分层抽样的方法从以上人员中抽取50人进行抽查，则在学生中应抽取 45 人．-16-\n【考点】分层抽样方法．【专题】计算题；概率与统计．【分析】本题是一个分层抽样方法，根据总体数和要抽取的样本数，得到每个个体被抽到的概率，利用这个概率乘以学生人数，得到学生要抽取的人数．【解答】解：由题意知本题是一个分层抽样方法，∵学校有教师132人，职工33人，学生1485人，采用分层抽样的方法从以上人员中抽取50人进行抽查，∴每个个体被抽到的概率是=∵学生1485人，∴在学生中应抽取1485×=45故答案为：45【点评】本题考查分层抽样方法，本题解题的关键是在抽样过程中每个个体被抽到的概率相等，本题是一个基础题． 14．高考数学有三道选做题，要求每个学生从中选择一题作答．已知甲、乙两人各自在这三题中随机选做了其中的一题，则甲乙两人选做的是同一题的概率是 ．【考点】相互独立事件的概率乘法公式．【专题】概率与统计．【分析】两个任意选择，共有3×3=9种不同的情况，甲乙两人选做的是同一题时，共有3×1=3种不同的情况，代入古典概型概率计算公式，可得答案．【解答】解：高考数学有三道选做题，甲、乙两人各自在这三题中随机选做了其中的一题，共有3×3=9种不同的情况，如果甲乙两人选做的是同一题时，共有3×1=3种不同的情况，故甲乙两人选做的是同一题的概率P==，故答案为：【点评】本题考查的知识点是古典概型概率计算公式，难度不大，属于基础题． 15．已知实数a∈[0，10]，那么方程x2﹣ax+16=0有实数解的概率是 ．【考点】二次函数的性质．【专题】函数的性质及应用；概率与统计．【分析】求出方程x2﹣ax+16=0有实数解对应的区间长度，代入几何概型概率计算公式，可得答案．【解答】解：∵实数a∈[0，10]，若方程x2﹣ax+16=0有实数解，则△=a2﹣4×16≥0，解得：a≤﹣8，或m≥8，故方程x2﹣ax+16=0有实数解时a∈[8，10]，故方程x2﹣ax+16=0有实数解的概率P==，-16-\n故答案为：．【点评】本题考查的知识点是几何概型，求出方程x2﹣ax+16=0有实数解对应的区间长度，是解答的关键． 16．已知圆O：x2+y2=1及点A（2，0），点P（x0，y0）（y0≠0）是圆O上的动点，若∠OPA＜60°，则x0的取值范围是 （﹣1，） ．【考点】直线与圆的位置关系．【专题】计算题；直线与圆．【分析】考虑当∠OPA=60°时，x0的取值，即可得出结论．【解答】解：当∠OPA=60°时，设AP=x，则由余弦定理可得4=1+x2+2×，∴x=，∴S△OPA==．由等面积可得|y0|=，∴x0=（正数舍去），∵∠OPA＜60°，∴x0的取值范围是（﹣1，）．故答案为：（﹣1，）．【点评】本题考查直线与圆的位置关系，考查三角形面积的计算，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题． 三、解答题（本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤，.请在答卷指定位置作答）17．（10分）（2022秋•惠州校级期中）已知点M（x，y）的横坐标x∈{﹣2，﹣1，2}，纵坐标y∈{﹣2，2}．（1）列出所有符合条件的点M的坐标；（2）求点M落在第二象限内的概率．【考点】列举法计算基本事件数及事件发生的概率．【专题】概率与统计；集合．【分析】（1）列举出M点的坐标，共6个，（2）基本事件共有6个，落在第二象限共有2个，利用古典概型计算公式p=计算概率．【解答】解：（1）点M（x，y）的横坐标x∈{﹣2，﹣1，2}，纵坐标y∈{﹣2，2}，所有符合条件的点M的坐标：（﹣2，﹣2），（﹣2，2），（﹣1，﹣2），（﹣1，2），（2，﹣2），（2，2），-16-\n（2）点M落在第二象限内的由（﹣2，2），（﹣1，2），其概率p==．【点评】本题考查列举法计算基本事件数及古典概型计算，属于基础题目，较简单． 18．（12分）（2022秋•惠州校级期中）编号分别为A1，A2，A3，…，A12的12名篮球运动员在某次篮球比赛中的得分记录如下：运动员编号A1A2A3A4A5A6A7A8A9A10A11A12得分5101216821271562218（1）完成如下的频率分布表：得分区间频数频率[0，10）3[10，20）[20，30）合计121.00（2）从得分在区间[10，20）内的运动员中随机抽取2人，求这2人得分之和大于30的概率．【考点】列举法计算基本事件数及事件发生的概率；频率分布直方图．【专题】概率与统计．【分析】（1）由已知利用频率=，能得到频率分布表．（2）得分在区间[10，20）内的运动员的编号为A2，A3，A4，A8，A11．从中随机抽取2人，利用列举法求出所有可能的抽取结果和这2人得分之和大于30的所有可能结果，由此能求出这2人得分之和大于30的概率．【解答】（1）解：由已知得到频率分布表：得分区间频数频率[0，10）3[10，20）5[20，30）4合计12100…（4分）（2）解：得分在区间[10，20）内的运动员的编号为A2，A3，A4，A8，A11．从中随机抽取2人，所有可能的抽取结果有：{A2，A3}，{A2，A4}，{A2，A8}，{A2，A11}，{A3，A4}，{A3，A8}，{A3，A11}，{A4，A8}，{A4，A11}，{A8，A11}，共10种．…（7分）“从得分在区间[10，20）内的运动员中随机抽取2人，这2人得分之和大于30”记为事件B，则事件B的所有可能结果有：{A4，A8}，{A4，A11}，{A8，A11}，共3种．…（10分）所以这2人得分之和大于30的概率P（B）=．…（12分）-16-\n【点评】本题考查频率分布表的求法，考查概率的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意等可能事件概率计算公式的合理运用． 19．（12分）（2022秋•惠州校级期中）假设关于某设备的使用年限x（年）和所支出的维修费用y（万元）有如下统计资料：x（年）23456y（万元）2.23.85.56.57.0若由资料知，y对x呈线性相关关系，试求：（1）求回归直线方程，并解释斜率的含义．（2）估计使用年限为10年时，维修费用约是多少？（参考公式：用最小二乘法求线性回归方程系数公式=，=﹣b）【考点】线性回归方程．【专题】计算题．【分析】（1）根据所给的数据，做出变量x，y的平均数，根据最小二乘法做出线性回归方程的系数b，在根据样本中心点一定在线性回归方程上，求出a的值，写出线性回归方程．说明斜率的含义．（2）当自变量为10时，代入线性回归方程，求出维修费用，这是一个预报值．【解答】解：（1）由题意知==4，==5b==1.23，a=5﹣4×1.23=0.08所以线性回归方程是=1.23x+0.08．斜率的含义：当其他因素不变时自变量的以单位变化引起的因变量的变化程度．（2）当自变量x=10时，预报维修费用是y=1.23×10+0.08=12.38．【点评】本题考查线性回归方程，考查最小二乘法，考查预报值的求法，是一个新课标中出现的新知识点，已经在广东的高考卷中出现过类似的题目． 20．（12分）（2022秋•惠州校级期中）为了解某省去年高三考生英语听力成绩，现从某校高三年级随机抽取50名考生的成绩，发现全部介于[6，30]之间，将成绩按如下方式分成6组：第1组[6，10），第2组[10，14），…，第6组[26，30]，如图是按上述分组方法得到的频率分布直方图．（1）在这50人中，分数不低于18分的有多少人？（2）估计此次考试成绩的平均数和中位数．-16-\n【考点】众数、中位数、平均数；频率分布直方图；极差、方差与标准差．【专题】应用题；概率与统计．【分析】（1）根据频率分布直方图，求出频率，即可得出结论；（2）根据频率分布直方图，求出平均数和中位数．【解答】解：（1）分数不低于（18分）有：50×（0.05+0.03+0.02）×4=20人；…（4分）（2）平均数：（8×0.02+12×0.05+16×0.08+20×0.05+24×0.03+28×0.02）×4=17.28，…（8分）设中位数为x，则4×0.02+4×0.05+（x﹣14）×0.08=0.5，…（10分）解得：x=16.75，即中位数为16.75．…（12分）【点评】本题考查了频率分布直方图的应用问题，解题时应灵活应用频率分布直方图进行简单的计算，是基础题． 21．（12分）（2022秋•惠州校级期中）已知定圆C：x2+（y﹣3）2=4，过M（﹣1，0）的直线l与圆C相交于P，Q两点，（1）当|PQ|=2时，求直线l的方程；（2）求△CPQ（C为圆心）面积的最大值，并求出当△CPQ面积取得最大值时的直线l方程．【考点】直线与圆的位置关系．【专题】综合题；直线与圆．【分析】（1）分类讨论，利用C到l的距离d=1，即可求直线l的方程；（2）表示出面积，利用基本不等式，即可得出结论．【解答】解：（1）当直线l与x轴垂直时，易知x=﹣1符合题意；…（2分）当直线与x轴不垂直时，设直线l的方程为y=k（x+1），由于|PQ|=2，所以C到l的距离d==1由=1，解得k=．…（4分）故直线l的方程为x=﹣1或4x﹣3y+4=0．…（6分）（2）设C到直线l的距离为d，则|PQ|=2，…（7分）∴△CPQ面积S==d≤=2，…（9分）-16-\n当且仅当d2=4﹣d2，即d=时，等号成立，当l与x轴垂直时，不合题意；…（10分）当l的斜率存在时，设直线l的方程为y=k（x+1），d==解得：k=﹣7或k=1，…（11分）∴直线l的方程是：7x+y+7=0或x﹣y+1=0．…（12分）【点评】此题考查了直线与圆相交的性质，涉及的知识有：点到直线的距离公式，三角形的面积公式，圆的标准方程，以及直线的点斜式方程，是一道多知识点的综合题． 22．（12分）（2022秋•惠州校级期中）点P（x0，y0）是圆C：x2+y2=1上的一个动点，过点P的直线l与圆C相切（1）求证：直线l的方程为x0x+y0y=1；（2）若直线l与x轴、y轴的交点分别为点A、B，且|PB|，|PA|，|AB|成等比数列，求点P的坐标．【考点】直线与圆的位置关系．【专题】综合题；直线与圆．【分析】（1）分类讨论，利用切线与直线l相切，即可证明结论；（2）利用同一直线的三条线段|PB|，|PA|，|AB|成等比数列，可得|PB|，|PA|，|AB|在x轴的射影成等比数列，即可求点P的坐标．【解答】（1）证明：若y0=0，则l为x=±1，若x0=0，则l为y=±1；…（2分）若x0y0≠0，则直线OT的斜率kOT=，∴直线l的斜率kl=﹣，故直线l的方程为：y﹣y0=﹣（x﹣x0），整理得：x0x+y0y=1，经检验，当x0=0或y0=0，时，直线l的方程也满足上式，故直线l的方程为x0=0；…（6分）（2）解：由（1），得A（，0），B（0，），…（7分）∵同一直线的三条线段|PB|，|PA|，|AB|成等比数列，∴|PB|，|PA|，|AB|在x轴的射影成等比数列．不妨设点P在第一象限，则（﹣x0）2=1．…（8分）∵0＜x0＜1，∴﹣x0=1，解得x0=（负值舍去），…（10分）将x0=代入x02+y02=1，得y0=（负值舍去），-16-\n即点P坐标为（，）．…（11分）由对称性，满足条件的点P有四个（，），（，﹣），（﹣，），（﹣，﹣）．…（12分）【点评】本题考查直线方程，考查等比数列的性质，考查学生的计算能力，属于中档题． -16-
