2022-2022学年广东省揭阳市普宁市华侨中学高二（上）第三次月考数学试卷（文科）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．已知椭圆的离心率，则实数k的值为()A．3B．3或C．D．或2．命题“∀x∈R，|x|+x2≥0”的否定是()A．∀x∈R，|x|+x2＜0B．∀x∈R，|x|+x2≤0C．∃x0∈R，|x0|+x02＜0D．∃x0∈R，|x0|+x02≥03．如图，一个几何体的三视图是由两个矩形和一个圆所组成，则该几何体的表面积是()A．7πB．8πC．10πD．π+124．设x、y、z是空间不同的直线或平面，对下列四种情形：①x、y、z均为直线；②x、y是直线，z是平面；③z是直线，x、y是平面；④x、y、z均为平面．其中使“x⊥z且y⊥z⇒x∥y”为真命题的是()A．③④B．①③C．②③D．①②25\n5．直线l不经过坐标原点O，且与椭圆=1交于A、B两点，M是线段AB的中点．那么，直线AB与直线OM的斜率之积为()A．﹣1B．1C．D．26．已知命题p：直线y=x+2与双曲线x2﹣y2=1有且仅有一个交点；命题q：若直线l垂直于直线m，且m∥平面α，则l⊥α．下列命题中为真命题的是()A．（￢p）∨（￢q）B．（￢p）∨qC．（￢p）∧（￢q）D．p∧q7．下列有关命题的说法错误的是()A．对于命题p：∃x∈R使得x2+x+1＜0．则￢p：∀x∈R，均有x2+x+1≥0．B．“x=1”是“x2﹣3x+2=0”的充分不必要条件．C．命题“若x2=1，则x=1”的否命题为：“若x2≠1，则x≠1”．D．命题“若x+y≠5，则x≠2或y≠3”是假命题．8．如下图2，在平行四边形ABCD中，AD=2AB=2，∠BAC=90°．将△ACD沿AC折起，使得BD=．在三棱锥D﹣ABC的四个面中，下列关于垂直关系的叙述错误的是()A．面ABD⊥面BCDB．面ABD⊥面ACDC．面ABC⊥面ACDD．面ABC⊥面BCD9．如图，四棱锥P﹣ABCD的底面ABCD是边长为1的正方形，面PAB⊥面ABCD．在面PAB内的有一个动点M，记M到面PAD的距离为d．若|MC|2﹣d2=1，则动点M在面PAB内的轨迹是()25\nA．圆的一部分B．椭圆的一部分C．双曲线的一部分D．抛物线的一部分10．设椭圆的离心率为，右焦点为F（c，0），方程ax2+bx﹣c=0的两个实根分别为x1和x2，则点P（x1，x2）()A．必在圆x2+y2=2内B．必在圆x2+y2=2上C．必在圆x2+y2=2外D．以上三种情形都有可能二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分，把答案写在答题卡相应位置上.11．过点P（3，1）向圆x2+y2﹣2x﹣2y+1=0作一条切线，切点为A，则切线段PA的长为__________．12．已知椭圆+=1上一点P到它的右准线的距离是10，则P点到它的左焦点的距离是__________．13．一个几何体的三视图如图，则这个几何体的体积为__________．25\n14．半径为5的球内包含有一个圆台，圆台的上、下两个底面都是球的截面圆，半径分别为3和4．则该圆台体积的最大值为__________．15．设A为椭圆（a＞b＞0）上一点，点A关于原点的对称点为B，F为椭圆的右焦点，且AF⊥BF，设∠ABF=θ．（1）|AB|=__________；（2）若θ∈，则该椭圆离心率的取值范围为__________．三、解答题：本大题共6小题，共75分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤16．（13分）已知双曲线C：﹣=1（a＞0，b＞0）的离心率为，实轴长为2．（1）求双曲线C的方程；（2）若直线y=x+m被双曲线C截得的弦长为，求m的值．17．（13分）已知命题A：方程=1表示焦点在y轴上的椭圆；命题B：实数t使得不等式t2﹣（a+1）t+a＜0成立．（1）若命题A为真，求实数t的取值范围；（2）若命题B是命题A的必要不充分条件，求实数a的取值范围．18．（13分）如图，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，∠ACB=90°，E，F，G分别是AA1，AC，BB1的中点，且CG⊥C1G．（Ⅰ）求证：CG∥平面BEF；（Ⅱ）求证：平面BEF⊥平面A1C1G．25\n19．如图（1）所示，在边长为12的正方形AA′A′1A1中，点B、C在线段AA′上，且AB=3，BC=4．作BB1∥AA1，分别交A1A1′、AA1′于点B1、P；作CC1∥AA1，分别交A1A1′、AA1′于点C1、Q．现将该正方形沿BB1，CC1折叠，使得A′A1′与AA1重合，构成如图（2）所示的三棱柱ABC﹣A1B1C1．（1）在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，求证：AP⊥BC；（2）在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，连接AQ与A1P，求四面体AA1QP的体积；（3）在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，求直线PQ与直线AC所成角的余弦值．20．已知椭圆C的中心在坐标原点O，焦点在x轴上，离心率等于，它的一个顶点B恰好是抛物线x2=4y的焦点．（1）求椭圆C的方程；（2）直线l与椭圆C交于M，N两点，那么椭圆C的右焦点F是否可以成为△BMN的垂心？若可以，求出直线l的方程；若不可以，请说明理由．（注：垂心是三角形三条高线的交点）25\n21．如图，已知圆C：（x﹣1）2+y2=r2（r＞1），设A为圆C与x轴负半轴的交点，过点A作圆C的弦AM，并使弦AM的中点恰好落在y轴上．（1）当r在（1，+∞）内变化时，求点M的轨迹E的方程；（2）已知定点P（﹣1，1）和Q（1，0），设直线PM、QM与轨迹E的另一个交点分别是M1、M2．求证：当M点在轨迹E上变动时，只要M1、M2都存在且M1≠M2，则直线M1M2恒过一个定点，并求出这个定点．25\n2022-2022学年广东省揭阳市普宁市华侨中学高二（上）第三次月考数学试卷（文科）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．已知椭圆的离心率，则实数k的值为()A．3B．3或C．D．或【考点】椭圆的简单性质．【专题】计算题．【分析】当K＞5时，由e===求得K值，当0＜K＜5时，由e===，求得K值．【解答】解：当K＞5时，e===，K=．当0＜K＜5时，e===，K=3．综上，K=3，或．故选B．【点评】本题考查椭圆的标准方程，以及简单性质的应用，体现了分类讨论的数学思想，分类讨论是解题的关键．2．命题“∀x∈R，|x|+x2≥0”的否定是()A．∀x∈R，|x|+x2＜0B．∀x∈R，|x|+x2≤0C．∃x0∈R，|x0|+x02＜0D．∃x0∈R，|x0|+x02≥0【考点】命题的否定．【专题】简易逻辑．【分析】根据全称命题的否定是特称命题即可得到结论．25\n【解答】解：根据全称命题的否定是特称命题，则命题“∀x∈R，|x|+x2≥0”的否定∃x0∈R，|x0|+x02＜0，故选：C．【点评】本题主要考查含有量词的命题的否定，比较基础．3．如图，一个几何体的三视图是由两个矩形和一个圆所组成，则该几何体的表面积是()A．7πB．8πC．10πD．π+12【考点】由三视图求面积、体积．【专题】计算题；空间位置关系与距离．【分析】通过三视图判断几何体的形状，利用数据直接求解几何体的表面积即可．【解答】解：由题意以及三视图可知几何体的圆柱，底面圆的直径为2，高为3，所以圆柱的表面积为：2×π×12+2π×1×3=8π．故选B．【点评】本题考查由三视图求几何体的表面积，考查空间想象能力与计算能力，关键是判断几何体相关元素的数据．4．设x、y、z是空间不同的直线或平面，对下列四种情形：①x、y、z均为直线；②x、y是直线，z是平面；③z是直线，x、y是平面；④x、y、z均为平面．其中使“x⊥z且y⊥z⇒x∥y”为真命题的是()A．③④B．①③C．②③D．①②【考点】命题的真假判断与应用；空间中直线与平面之间的位置关系；平面与平面之间的位置关系．【专题】探究型．25\n【分析】①举反例，如直线X、Y、Z位于正方体的三条共点棱时②用垂直于同一平面的两直线平行判断．③用垂直于同一直线的两平面平行判断．④举例，如X、Y、Z位于正方体的三个共点侧面时．【解答】解：①当直线X、Y、Z位于正方体的三条共点棱时，不正确．②因为垂直于同一平面的两直线平行，正确．③因为垂直于同一直线的两平面平行，正确．④如X、Y、Z位于正方体的三个共点侧面时，不正确．答案为：②③．故选C．【点评】本题主要考查线与线，线与面，面与面的位置关系，在考查时一般考查判定定理和性质定理以及一些常见结论或图形的应用5．直线l不经过坐标原点O，且与椭圆=1交于A、B两点，M是线段AB的中点．那么，直线AB与直线OM的斜率之积为()A．﹣1B．1C．D．2【考点】直线与圆锥曲线的关系．【专题】圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】设A（x1，y1），B（x2，y2），M（x，y），则x1+x2=2x，y1+y2=2y，把A（x1，y1），B（x2，y2）代入椭圆=1，由点差法得kAB==﹣，又kOM=，由此能求出直线AB与直线OM的斜率之积．【解答】解：设A（x1，y1），B（x2，y2），M（x，y），∵M是线段AB的中点，∴x1+x2=2x，y1+y2=2y，把A（x1，y1），B（x2，y2）代入椭圆=1，得，两式相减，得（x1+x2）（x1﹣x2）+2（y1+y2）（y1﹣y2）=0，∴2x（x1﹣x2）+4y（y1﹣y2）=0，25\n∴kAB==﹣，又kOM=，∴直线AB与直线OM的斜率之积：kAB•kOM=﹣=﹣．故答案为：﹣．【点评】本题考查两直线的斜率之积的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意点差法的合理运用．6．已知命题p：直线y=x+2与双曲线x2﹣y2=1有且仅有一个交点；命题q：若直线l垂直于直线m，且m∥平面α，则l⊥α．下列命题中为真命题的是()A．（￢p）∨（￢q）B．（￢p）∨qC．（￢p）∧（￢q）D．p∧q【考点】复合命题的真假．【专题】简易逻辑．【分析】通过判断直线方程与双曲线方程形成的方程组解的情况，以及线线垂直，线面平行，线面垂直的概念及空间想象的能力即可判断命题p，q的真假，从而根据p∨q，p∧q，￢p，￢q的真假和p，q真假的关系即可找出为真命题的选项．【解答】解：解得，；∴直线y=x+2与双曲线x2﹣y2=1有且仅有一个交点；即命题p是真命题；可以想象满足命题q条件的l与平面α可能情况为：l⊂α，l∥α，l与α斜交，l与α垂直；∴命题q是假命题；∴￢p是假命题，￢q是真命题，（￢p）∨（￢q）是真命题，（￢p）∨q为假命题，（￢p）∧（￢q）为假命题，p∧q为假命题；∴A正确．故选A．25\n【点评】考查直线方程和双曲线方程形成方程组解的情况与直线和双曲线交点的情况的关系，空间想象能力，以及p∨q，p∧q，￢p，￢q真假和p，q真假的关系．7．下列有关命题的说法错误的是()A．对于命题p：∃x∈R使得x2+x+1＜0．则￢p：∀x∈R，均有x2+x+1≥0．B．“x=1”是“x2﹣3x+2=0”的充分不必要条件．C．命题“若x2=1，则x=1”的否命题为：“若x2≠1，则x≠1”．D．命题“若x+y≠5，则x≠2或y≠3”是假命题．【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断；命题的否定．【专题】简易逻辑．【分析】运用特殊值判断出错误命题，【解答】解：∵若x+y≠5，则x≠2，y=3，或x=2，y≠3，也有可能，∴命题“若x+y≠5，则x≠2或y≠3”是假命题故选：D【点评】本题考查了命题的判断，融合了充分必要条件的定义，逻辑连接词等问题．8．如下图2，在平行四边形ABCD中，AD=2AB=2，∠BAC=90°．将△ACD沿AC折起，使得BD=．在三棱锥D﹣ABC的四个面中，下列关于垂直关系的叙述错误的是()A．面ABD⊥面BCDB．面ABD⊥面ACDC．面ABC⊥面ACDD．面ABC⊥面BCD【考点】平面与平面垂直的判定．【专题】证明题；空间位置关系与距离．【分析】利用平面与平面垂直的判定定理，进行判断，即可得出结论．【解答】解：∵平行四边形ABCD中，AD=2AB=2，将△ACD沿AC折起，使得BD=，∴DC⊥BC，AB⊥AD，∵AB⊥AC，AD∩AC=A，25\n∴AB⊥平面ACD，∵AB⊂面ABD，AB⊂面ABD，∴面ABD⊥面ACD，面ABC⊥面ACD，∵DC⊥BC，DC⊥AC，BC∩AC=C，∴DC⊥面ABC，∵DC⊂面BCD，∴面ABD⊥面BCD，∴B，C，D正确．若面ABD⊥面BCD，∵面ABD⊥面ACD，∴面BCD∥面ACD，显然不成立．故选A．【点评】本题考查平面与平面垂直的判定定理，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．9．如图，四棱锥P﹣ABCD的底面ABCD是边长为1的正方形，面PAB⊥面ABCD．在面PAB内的有一个动点M，记M到面PAD的距离为d．若|MC|2﹣d2=1，则动点M在面PAB内的轨迹是()A．圆的一部分B．椭圆的一部分C．双曲线的一部分D．抛物线的一部分【考点】抛物线的定义；双曲线的定义．【专题】圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】根据面面垂直的性质推断出即点M到直线AD的距离，即为点M到平面PAD的距离，进而根据抛物线的定义推断出点M的轨迹为抛物线．【解答】解：∵侧面PAD与底面ABCD垂直，且AD为二面的交线，∴点M向AP作垂线，垂线一定垂直于平面PAD，25\n即点M到直线AP的距离，即为点M到平面PAD的距离，∴动点M到点C的距离等于点M直线的距离，根据抛物线的定义可知，M点的轨迹为抛物线．故答案为：抛物线．【点评】本题主要考查了平面与平面垂直的性质．在平面与平面垂直的问题上，要特别注意两面的交线．10．设椭圆的离心率为，右焦点为F（c，0），方程ax2+bx﹣c=0的两个实根分别为x1和x2，则点P（x1，x2）()A．必在圆x2+y2=2内B．必在圆x2+y2=2上C．必在圆x2+y2=2外D．以上三种情形都有可能【考点】椭圆的简单性质；点与圆的位置关系．【专题】计算题．【分析】由题意可求得c=a，b=a，从而可求得x1和x2，利用韦达定理可求得+的值，从而可判断点P与圆x2+y2=2的关系．【解答】解：∵椭圆的离心率e==，∴c=a，b==a，∴ax2+bx﹣c=ax2+ax﹣a=0，∵a≠0，∴x2+x﹣=0，又该方程两个实根分别为x1和x2，∴x1+x2=﹣，x1x2=﹣，∴+=﹣2x1x2=+1＜2．∴点P在圆x2+y2=2的内部．故选A．【点评】本题考查椭圆的简单性质，考查点与圆的位置关系，求得c，b与a的关系是关键，属于中档题．25\n二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分，把答案写在答题卡相应位置上.11．过点P（3，1）向圆x2+y2﹣2x﹣2y+1=0作一条切线，切点为A，则切线段PA的长为．【考点】直线与圆的位置关系．【专题】直线与圆．【分析】由条件求得圆的标准方程，可得圆心坐标和半径，再利用切线长定理求得切线长PA的值．【解答】解：圆x2+y2﹣2x﹣2y+1=0，即（x﹣1）2+（y﹣1）2=1，表示以C（1，1）为圆心、半径等于1的圆，再由切线长定理可得切线长PA===，故答案为：．【点评】本题主要考查直线和圆相切的性质，切线长定理，属于基础题．12．已知椭圆+=1上一点P到它的右准线的距离是10，则P点到它的左焦点的距离是12．【考点】椭圆的简单性质．【专题】计算题；圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】根据椭圆的第二定义可知P到焦点F的距离与其到准线的距离之比为离心率，求出PF=8，即可求出点M到该椭圆的左焦点的距离．【解答】解：椭圆+=1中a=10，b=6，∴c=8，∴e==．∵椭圆+=1上一点P到它的右准线的距离是10，∴根据椭圆的第二定义可知P到焦点F的距离与其到准线的距离之比为离心率，即PF=8，∴点M到该椭圆的左焦点的距离是2×10﹣8=12．故答案为：12．25\n【点评】本题主要考查了椭圆的简单性质，解题的关键是灵活利用椭圆的第二定义、第一定义．13．一个几何体的三视图如图，则这个几何体的体积为3．【考点】由三视图求面积、体积．【专题】计算题；空间位置关系与距离．【分析】根据三视图可得几何体是直三棱柱，画出几何体的直观图，判断三棱柱的高与底面三角形的各边长，代入直棱柱体积公式计算．【解答】解：由三视图知几何体是三棱柱，且三棱柱的高为3，底面是直角边长为1、2的直角三角形，面积为1，∴几何体的体积V=1×3=3故答案为：3．【点评】本题考查了由三视图求几何体的表面积与体积，解答此类问题的关键是判断几何体的形状及数据所对应的几何量．14．半径为5的球内包含有一个圆台，圆台的上、下两个底面都是球的截面圆，半径分别为3和4．则该圆台体积的最大值为．【考点】旋转体（圆柱、圆锥、圆台）．【专题】计算题；空间位置关系与距离．【分析】由题意，圆台体积的最大时，圆台的上、下两个底面在球心的两侧，求出圆台的高，即可求出圆台体积的最大值25\n【解答】解：由题意，圆台体积的最大时，圆台的上、下两个底面在球心的两侧，∵半径为5的球内包含有一个圆台，圆台的上、下两个底面都是球的截面圆，半径分别为3和4，∴圆台的高为4+3=7，∴圆台体积的最大值为=．故答案为：．【点评】本题考查圆台体积的最大值，考查学生的计算能力，属于中档题．15．设A为椭圆（a＞b＞0）上一点，点A关于原点的对称点为B，F为椭圆的右焦点，且AF⊥BF，设∠ABF=θ．（1）|AB|=；（2）若θ∈，则该椭圆离心率的取值范围为．【考点】椭圆的简单性质．【专题】计算题．【分析】（1）设A（x，y），B（﹣x，﹣y），F（c，0），由AF⊥BF，可得=0，从而可得x2+y2=c2=a2﹣b2，|AB|=2|AO|，代入可求（2）设左焦点为F′，根据椭圆定义：|AF|+|AF′|=2a，根据B和A关于原点对称可知|BF|=|AF′|，推知|AF|+|BF|=2a，又根据O是Rt△ABF的斜边中点可知|AB|=2c，在Rt△ABF中用α和c分别表示出|AF|和|BF|代入|AF|+|BF|=2a中即可表示出即离心率e，进而根据α的范围确定e的范围．【解答】解：（1）设A（x，y），B（﹣x，﹣y），F（c，0），∵AF⊥BF，∴=c2﹣x2﹣y2=0∴x2+y2=c2=a2﹣b2∴|AB|=2|AO|=（2）∵B和A关于原点对称25\n∴B也在椭圆上设左焦点为F′根据椭圆定义：|AF|+|AF′|=2a又∵|BF|=|AF′|∴|AF|+|BF|=2a…①O是Rt△ABF的斜边中点，∴|AB|=2c又|AF|=2csinα…②|BF|=2ccosα…③②③代入①2csinα+2ccosα=2a∴e==∵a∈∴π≤α+π≤π∴≤sin（α+π）≤1∴故答案为：2；【点评】本题主要考查了椭圆的性质的应用，向量的基本运算性质及三角函数的性质的综合应用，解题时要特别利用好椭圆的定义．三、解答题：本大题共6小题，共75分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤16．（13分）已知双曲线C：﹣=1（a＞0，b＞0）的离心率为，实轴长为2．（1）求双曲线C的方程；（2）若直线y=x+m被双曲线C截得的弦长为，求m的值．【考点】直线与圆锥曲线的综合问题．【专题】圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】（1）由离心率为，实轴长为2．可得，2a=2，再利用b2=c2﹣a2=2即可得出．25\n（2）设A（x1，y1），B（x2，y2），与双曲线的联立可得x2﹣2mx﹣m2﹣2=0，利用根与系数的关系可得|AB|===4，即可得出．【解答】解：（1）由离心率为，实轴长为2．∴，2a=2，解得a=1，，∴b2=c2﹣a2=2，∴所求双曲线C的方程为=1．（2）设A（x1，y1），B（x2，y2），联立，△＞0，化为m2+1＞0．∴x1+x2=2m，．∴|AB|===4，化为m2=1，解得m=±1．【点评】本题考查了双曲线的标准方程及其性质、直线与双曲线相交问题转化为方程联立可得根与系数的关系、弦长公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．17．（13分）已知命题A：方程=1表示焦点在y轴上的椭圆；命题B：实数t使得不等式t2﹣（a+1）t+a＜0成立．（1）若命题A为真，求实数t的取值范围；（2）若命题B是命题A的必要不充分条件，求实数a的取值范围．【考点】椭圆的简单性质；必要条件、充分条件与充要条件的判断．【专题】圆锥曲线的定义、性质与方程；集合．【分析】（1）首先利用焦点在y轴上的椭圆建立不等式，进一步求得结果．（2）首先命题B是命题A的必要不充分条件，所以根据（1）的结论即1＜t＜3是不等式t2﹣（a+1）t+a＜0解集的真子集，进一步求出参数的范围．25\n【解答】解：（1）已知方程=1表示焦点在y轴上的椭圆，则：5﹣t＞t﹣1＞0，解得：1＜t＜3；（2）命题B是命题A的必要不充分条件，即1＜t＜3是不等式t2﹣（a+1）t+a＜0解集的真子集．由于t2﹣（a+1）t+a=0的两根为1和t，故只需a＞3即可．【点评】本题考查的知识要点：焦点在y轴上的椭圆满足的条件，四种条件和集合的关系．参数的应用．18．（13分）如图，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，∠ACB=90°，E，F，G分别是AA1，AC，BB1的中点，且CG⊥C1G．（Ⅰ）求证：CG∥平面BEF；（Ⅱ）求证：平面BEF⊥平面A1C1G．【考点】直线与平面平行的判定；平面与平面垂直的判定．【专题】证明题；综合题．【分析】（Ⅰ）连接AG交BE于D，连接DF，EG，要证CG∥平面BEF，只需证明直线CG平行平面BEF内的直线DF即可；（Ⅱ）要证平面BEF⊥平面A1C1G，只需证明平面BEF的直线DF，垂直平面A1C1G内的两条相交直线A1C1、C1G，即可证明DF⊥平面A1C1G，从而证明平面BEF⊥平面A1C1G【解答】证明：（Ⅰ）连接AG交BE于D，连接DF，EG．25\n∵E，G分别是AA1，BB1的中点，∴AE∥BG且AE=BG，∴四边形AEGB是矩形．∴D是AG的中点又∵F是AC的中点，∴DF∥CG则由DF⊂面BEF，CG⊄面BEF，得CG∥面BEF（注：利用面面平行来证明的，类似给分）（Ⅱ）∵在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，C1C⊥底面A1B1C1，∴C1C⊥A1C1．又∵∠A1C1B1=∠ACB=90°，即C1B1⊥A1C1，∴A1C1⊥面B1C1CB而CG⊂面B1C1CB，∴A1C1⊥CG又CG⊥C1G，由（Ⅰ）DF∥CG，∴A1C1⊥DF，DF⊥C1G∴DF⊥平面A1C1G（13分）∵DF⊂平面BEF，∴平面BEF⊥平面A1C1G．（14分）25\n【点评】本题考查直线与平面的平行的判定平面与平面垂直的判定，开心逻辑思维能力空间想象能力，是中档题．19．如图（1）所示，在边长为12的正方形AA′A′1A1中，点B、C在线段AA′上，且AB=3，BC=4．作BB1∥AA1，分别交A1A1′、AA1′于点B1、P；作CC1∥AA1，分别交A1A1′、AA1′于点C1、Q．现将该正方形沿BB1，CC1折叠，使得A′A1′与AA1重合，构成如图（2）所示的三棱柱ABC﹣A1B1C1．（1）在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，求证：AP⊥BC；（2）在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，连接AQ与A1P，求四面体AA1QP的体积；（3）在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，求直线PQ与直线AC所成角的余弦值．【考点】用空间向量求直线间的夹角、距离；棱柱、棱锥、棱台的体积．【专题】计算题；证明题；空间位置关系与距离；空间角．【分析】（1）由勾股定理逆定理，可得BC⊥AB，再由线面垂直的判定定理和性质定理，即可得证；（2）求出三角形APA1的面积和Q到面APA1距离，运用棱锥的体积公式，即可得到；（3）以BA，BC，BB1为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，求出向量AC，PQ的坐标，由向量的夹角公式，即可得到．【解答】（1）证明：因为AB=3，BC=4，所以图（2）中AC=5，从而有AC2=AB2+BC2，即BC⊥AB．又因为BC⊥BB1，所以BC⊥平面ABB1A1，则AP⊥BC；25\n（2）解：，由于CQ∥面APA1且BC⊥面APA1，所以Q到面APA1距离就是BC的长4，所以；（3）解：以BA，BC，BB1为x，y，z轴，建立如图空间直角坐标系，则A（3，0，0）、C（0，4，0）、P（0，0，3）、Q（0，4，7）．所以=（﹣3，4，0），=（0，4，4），设直线AC与直线PQ所成角为θ，则cosθ===．【点评】本题考查空间直线与平面的位置关系，考查线面平行和垂直的判定和性质定理及运用，考查棱锥的体积公式，以及异面直线所成的角的求法，注意运用坐标法解决，属于中档题．20．已知椭圆C的中心在坐标原点O，焦点在x轴上，离心率等于，它的一个顶点B恰好是抛物线x2=4y的焦点．（1）求椭圆C的方程；（2）直线l与椭圆C交于M，N两点，那么椭圆C的右焦点F是否可以成为△BMN的垂心？若可以，求出直线l的方程；若不可以，请说明理由．（注：垂心是三角形三条高线的交点）【考点】直线与圆锥曲线的综合问题．【专题】圆锥曲线中的最值与范围问题．25\n【分析】（1）抛物线x2=4y的焦点为（0，1），可得c=1．再利用，即可得出．（2）利用三角形垂心的性质、相互垂直的直线斜率之间的关系可得直线l的斜率为1．设直线的方程为y=x+m，代入椭圆方程并整理，可得3x2+4bx+2（b2﹣1）=0．设M（x1，y1），N（x2，y2），利用根与系数的关系、向量垂直与数量积的关系即可得出．【解答】解：（1）设椭圆方程为，抛物线x2=4y的焦点为（0，1），由，∴椭圆方程为．（2）假设存在直线l，使得点F是△BMN的垂心．易知直线BF的斜率为﹣1，从而直线l的斜率为1．设直线的方程为y=x+m，代入椭圆方程并整理，可得3x2+4mx+2（m2﹣1）=0．设M（x1，y1），N（x2，y2），则，．于是=（1﹣x2）x1﹣y2（y1﹣1）=x1+y2﹣x1x2﹣y1y2=x1+x2+m﹣x1x2﹣（x1+m）（x2+m）=﹣2x1x2+（1﹣m）（x1+x2）+m﹣m2=++m﹣m2=0，解之得m=1或m=﹣．当m=1时，点B即为直线l与椭圆的交点，不合题意；当m=﹣时，经检验符合题意．∴当且仅当直线l的方程为y=x﹣时，点F是△BMN的垂心．25\n【点评】本题考查了椭圆与抛物线的标准方程及其性质、三角形垂心的性质、相互垂直的直线斜率之间的关系、直线与椭圆相交问题转化为方程联立可得根与系数的关系、向量垂直与数量积的关系，考查了推理能力与计算能力，属于难题．21．如图，已知圆C：（x﹣1）2+y2=r2（r＞1），设A为圆C与x轴负半轴的交点，过点A作圆C的弦AM，并使弦AM的中点恰好落在y轴上．（1）当r在（1，+∞）内变化时，求点M的轨迹E的方程；（2）已知定点P（﹣1，1）和Q（1，0），设直线PM、QM与轨迹E的另一个交点分别是M1、M2．求证：当M点在轨迹E上变动时，只要M1、M2都存在且M1≠M2，则直线M1M2恒过一个定点，并求出这个定点．【考点】圆锥曲线的轨迹问题．【专题】综合题；圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】（1）设M（x，y），则AM的中点．利用CD⊥DM，建立方程，由此能求出点M的轨迹E的方程．（2）设M，M1，M2的坐标分别为，其中．由P，M，M1共线得；由Q，M，M2共线得，可得t1t2=﹣，t1+t2=，求出直线M1M2的方程，即可得出结论．【解答】解：（1）设M（x，y），则AM的中点．因为C（1，0），=（1，﹣），=（x，）25\n在⊙C中，因为CD⊥DM，所以．所以，点M的轨迹E的方程为：y2=4x（x≠0）．（2）设M，M1，M2的坐标分别为，其中．由P，M，M1共线得；由Q，M，M2共线得．∴t1t2=﹣，t1+t2=∴直线M1M2的方程为（t1+t2）y﹣2x﹣2t1t2=0，即t2（y﹣4x）+2t（x+1）+（y+4）=0，∴，∴x=﹣1，y=﹣4，∴直线M1M2恒过一个定点（﹣1，﹣4）．【点评】本题考查轨迹方程，考查直线过定点，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．25
