2022-2022学年度揭阳一中高三级第一次阶段考试数学（理科）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，满分60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1.如图，在复平面内，复数和对应的点分别是和，则（）A. B.C.D.2.对于集合、，定义，，设，，则=（）A.B.C.D.3.设，则（）A．既是奇函数又是减函数B．既是奇函数又是增函数C．是有零点的减函数D．是没有零点的奇函数4.设，，，则有（）A．B．C．D．5.已知正数满足，则的最小值为()A．1B．C．D．6.已知的最小值为，则二项式展开式中项的系数为（）A．B．C．D．7.某程序框图如图所示，该程序运行后输出的值是().-10-A．3B．4C．6D．88.右图为一个半球挖去一个圆锥的几何体的三视图，则该几何体的表面积为A. B.C. D.9.若两个非零向量，满足，则向量与的夹角为（）A．B．C．D．10.已知、取值如下表：014561.35.67.4画散点图分析可知：与线性相关，且求得回归方程为，则的值（精确到0.1）为（）A.1.5B.1.6C.1.7D.1.811.已知函数对定义域内的任意都有=，且当时其导函数满足若则（）A．B．C．D．12.已知定义在上的函数满足①，②，③在上表达式为，则函数与函数的图像在区间上的交点个数为（）A.5 B.6C.7 D.8二、填空题(本大题共6小题，每小题5分，满分30分)13.若，则的值是.14.已知a＞b＞0，椭圆的方程为，双曲线的方程为，与的离心率之积为，设的渐近线方程为，则．-10-15.已知数列中，，当整数时，都成立，则.16．给出以下命题：①命题“，”是真命题；②设随机变量服从正态分布，若，则；③已知，，，，依照以上各式的规律，得到一般性的等式为，（）则正确命题的序号为（写出所有正确命题的序号）．三、解答题（共6个题，共70分，把每题的答案填在答卷纸的相应位置）17.(本小题满分12分)已知，(1)求函数的最小正周期及在区间的最大值；(2)在中,所对的边分别是，，求周长的最大值.18．（12分）已知数列与，若且对任意正整数满足，数列的前项和.（Ⅰ）求数列，的通项公式；（Ⅱ）求数列的前项和．19．（12分）如图，四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，侧棱A1A⊥底面ABCD，AB∥DC，AB⊥AD，AD=CD=1，AA1=AB=2，E为棱AA1的中点．（Ⅰ）证明B1C1⊥CE；（Ⅱ）求二面角B1﹣CE﹣C1的正弦值．-10-（Ⅲ）设点M在线段C1E上，且直线AM与平面ADD1A1所成角的正弦值为，求线段AM的长．20．（12分）已知椭圆的中心在原点，焦点在轴上，离心率为，右焦点到到右顶点的距离为1．（1）求椭圆的标准方程；（2）是否存在与椭圆交于两点的直线，使得成立？若存在，求出实数m的取值范围，若不存在，请说明理由.21．（12分）已知，，。（1）若的单调减区间是（，1），求实数的值；（2）若对于定义域内的任意恒成立，求实数的取值范围；（3）设有两个极值点，且，若恒成立，求的最大值．请考生在第22、23、24三题中任选一题作答．注意：只能做所选定题目．如果多做，则按所做的第一个题目计分．22．（10分）如图，四边形ABCD内接于圆O，∠BAD=60°，∠ABC=90°，BC=3，CD=5．求对角线BD、AC的长．23．已知直线的参数方程为（t为参数），曲线C的极坐标方程为ρ=2sin（θ+），直线l与曲线C交于A，B两点，与y轴交于点P．（1）求直线l的普通方程和曲线C的直角坐标方程；（2）求+的值．24．设函数（1）当时，求不等式的解集；（2）若对恒成立，求的取值范围．-10-2022-2022学年度揭阳一中第一次阶段考试数学（理科）答案一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，满分60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）123456789101112ACBDCADDBCCB二、填空题(本大题共6小题，每小题5分，满分30分)13.2；14.；15.211；16.③；三、解答题（共6个题，共70分，把每题的答案填在答卷纸的相应位置）17.(1)，………2分最小正周期为………3分………5分所以在区间的最大值是0.………6分(2),，又…8分由余弦定理得,…………10分即,当且仅当时取等号.…………11分的周长的最大值是6.……………12分法二：由，得，由正弦定理可得，…………8分-10-所以，当时，L取最大值，且最大值为6………12分18．解：（Ⅰ）∵对任意正整数n满足an+1﹣an=2，∴{an}是公差为2的等差数列，又a1=3，………1分∴an=2n+1；………2分当n=1时，b1=S1=4；………3分当n≥2时，………5分对b1=4不成立．∴数列{bn}的通项公式：bn=．………6分（Ⅱ）由（Ⅰ）知当n=1时，T1==，………7分当n≥2时，==（﹣），………9分∴Tn=+[（﹣）+（﹣）+…+（﹣）]=+（﹣）=+……11分当n=1时仍成立．∴Tn=+（或）对任意正整数n成立．………12分19．解答：（Ⅰ）证明：以点A为原点建立空间直角坐标系，如图，依题意得A（0，0，0），B（0，0，2），C（1，0，1），B1（0，2，2），C1（1，2，1），E（0，1，0）．则，而=0．所以B1C1⊥CE；………4分（Ⅱ）解：，设平面B1CE的法向量为，则，即，取z=1，得x=﹣3，y=﹣2．所以．由（Ⅰ）知B1C1⊥CE，又CC1⊥B1C1，所以B1C1⊥平面CEC1，故为平面CEC1的一个法向量，-10-于是=．从而==．所以二面角B1﹣CE﹣C1的正弦值为．………7分（Ⅲ）解：，设0≤λ≤1，有．取为平面ADD1A1的一个法向量，设θ为直线AM与平面ADD1A1所成的角，则==．于是．解得．所以．所以线段AM的长为．………12分20．解：（1）设椭圆C的方程为（a＞b＞0），半焦距为c．依题意e=，由右焦点到右顶点的距离为1，得a﹣c=1．解得c=1，a=2．所以=4﹣1=3．所以椭圆C的标准方程是．………3分（2）解：存在直线l，使得||=||成立．理由如下：设直线l的方程为y=kx+m，由得（3+4k2）x2+8kmx+4m2﹣12=0．…………5分-10-△=（8km）2﹣4（3+4k2）（4m2﹣12）＞0，化简得3+4k2＞m2．…………6分设A（x1，y1），B（x2，y2），则，．…………7分若||=||成立，即||2=||2，等价于．…………8分所以x1x2+y1y2=0．x1x2+（kx1+m）（kx2+m）=0，（1+k2）x1x2+km（x1+x2）+m2=0，（1+k2）•，化简得7m2=12+12k2．…………10分将代入3+4k2＞m2中，3+4（）＞m2，解得．…………11分又由7m2=12+12k2≥12，得，从而，解得或．所以实数m的取值范围是．………12分21．解：（1）由题意得h（x）=x2﹣ax+lnx（x＞0），则h（x）的单调减区间是的解集为，即的解集为，即的两根为和，由解得…………4分（2）由题意得x2﹣ax≥lnx（x＞0），∴．…………5分设，则，…………6分∵y=x2+lnx﹣1在（0，+∞）上是增函数，且x=1时，y=0．∴当x∈（0，1）时φ'（x）＜0；当x∈（1，+∞）时φ'（x）＞0，∴φ（x）在（0，1）内是减函数，在（1，+∞）内是增函数．…………7分∴φmin=φ（1）=1∴a≤φmin=1，即a∈（﹣∞，1]．………8分-10-（3）由题意得h（x）=x2﹣ax+lnx（x＞0），则∴方程2x2﹣ax+1=0（x＞0）有两个不相等的实根x1，x2，且又∵，∴，且而设，则，∴φ（x）在（1，+∞）内是增函数，∴，即h（x1）﹣h（x2），∴，则m的最大值为．………12分请考生在第22、23、24三题中任选一题作答．注意：只能做所选定题目．如果多做，则按所做的第一个题目计分．22．解：如图，延长DC，AB交于点E，∵∠BAD=60°，∴∠ECB=60°，…………1分∵∠ABC=90°，BC=3，CD=5，∴∠EBC=90°，∴∠E=30°，∴EC=2BC=2×3=6，∴EB=BC=3，∴ED=DC+EC=5+6=11，∵EC×ED=EB×（EB+AB）则6×11=3×（3+AB），解得AB=……6分∴AC==，……7分∵∠EDB=∠EAC，∠E=∠E，∴△EDB∽△EAC，∴，…………9分∴BD===7．…………10分23．解：（1）消去参数t，把直线l的参数方程（t为参数）化为普通方程是-10-x﹣y+1=0，…………2分利用极坐标公式，把曲线C的极坐标方程ρ=2sin（θ+）化为ρ2=2ρsinθ+2ρcosθ，…………3分∴普通方程是x2+y2=2y+2x，即（x﹣1）2+（y﹣1）2=2；…………4分（2）∵直线l与曲线C交于A，B两点，与y轴交于点P，把直线l的参数方程代入曲线C的普通方程（x﹣1）2+（y﹣1）2=2中，得t2﹣t﹣1=0，…………6分∴；…………7分∴+=+====．…………10分24．解：（Ⅰ）当a=4时，不等式f（x）≥5，即|x﹣1|+|x﹣4|≥5，等价于，，或，或．解得：x≤0或x≥5．故不等式f（x）≥5的解集为{x|x≤0，或x≥5}．…（5分）（Ⅱ）因为f（x）=|x﹣1|+|x﹣a|≥|（x﹣1）﹣（x﹣a）|=|a﹣1|．（当x=1时等号成立）所以：f（x）min=|a﹣1|．…（8分）由题意得：|a﹣1|≥4，解得a≤﹣3，或a≥5．…（10分）-10-
