深圳市高级中学2022－2022学年第一学期期中测试高二理科数学本试卷由两部分组成。第一部分：高二数学第一学期前的基础知识和能力考查，共47分；选择题包含第3题、第4题、第5题、第7题、第11题共25分；填空题包含第14题、第15题共10分；解答题包含第19题共12分；第二部分：高二数学第一学期的基础知识和能力考查，共103分；选择题包含第1题、第2题、第6题、第8题、第9题、第10题、第12题共35分；填空题包含第13题、第16题共10分；解答题包含第17题、第18题、第20题、第21题、第22题，共58分。全卷共22题，共计150分。考试时间为120分钟。注意事项：1、答第一卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考试科目用铅笔涂写在答题卡上。2、每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动用橡皮擦干净后，再涂其它答案，不能答在试题卷上。3、考试结束，监考人员将答题卡按座位号、页码顺序收回。一．选择题：共12小题，每小题5分，共60分。在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的一项。1．已知为实数，则“”是“”的A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件2．若方程表示焦点在y轴上的椭圆，则实数k的取值范围为A． B． C． D．3．已知向量,则A．300B．450C．600D．12004．已知实数，则的大小关系为-11-\nA．B．C．D．5．若变量满足约束条件，则的取值范围是A． B． C． D．6．设直线与圆相交于，两点，且弦的长为，则实数的值是A．B．C．D．7．函数的图像向右平移个单位后得到的图像关于原点对称，则的最小值是A．B．C．D．8．已知在平行六面体中，过顶点A的三条棱所在直线两两夹角均为，且三条棱长均为1，则此平行六面体的对角线的长为A．B．C．D．9．已知是双曲线的右焦点，若点关于双曲线的一条渐近线对称的点恰好落在双曲线的左支上，则双曲线的离心率为A.B.C.D.-11-\n10．已知直三棱柱中，底面边长和侧棱长都相等，则异面直线与所成的角的余弦值为A．B．C．D．11．在中，角的对边分别为，,且，则面积的最大值为A．B．C．D．12．已知是椭圆的右焦点，点在椭圆上，线段与圆相切于点(其中为椭圆的半焦距)，且，则椭圆的离心率为A．B．C．D．二．填空题：共4小题，每小题5分，共20分.13．已知三点，，共线，那么__________14．等差数列的公差为，若，，成等比数列，则数列的前项__．15．在中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，已知，，则=16．已知抛物线的焦点为，准线为，过点的直线交拋物线于两点，过点作准线的垂线，垂足为，当点坐标为时，为正三角形，则此时的面积为-11-\n__三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.17．（本小题满分10分）已知命题：方程表示焦点在轴上的椭圆；命题：方程表示离心率的双曲线。若为真命题，为假命题，求实数的取值范围。18．（本小题满分12分）如图，四棱锥中，底面是边长为的菱形，，，．（Ⅰ）求证：平面平面；（Ⅱ）若，求二面角的余弦值.19．（本小题满分12分）已知在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c．且．（Ⅰ）求的值；（Ⅱ）若，，求△ABC的面积S．20．（本小题满分12分）已知在平面直角坐标系中，经过点且斜率为的直线，与椭圆有两个不同的交点和．（Ⅰ）求的取值范围；（Ⅱ）设椭圆与轴正半轴、轴正半轴的交点分别为，是否存在常数，使得向量-11-\n与共线？如果存在，求值；如果不存在，请说明理由．21．（本小题满分12分）如图，在四棱锥中，底面为菱形，平面，，，分别是的中点．（Ⅰ）证明:；（Ⅱ）设为线段上的动点，若线段长的最小值为，求二面角的余弦值．22．（本小题满分12分）已知点是圆：上任意一点，点与圆心关于原点对称.线段的中垂线与交于点.（Ⅰ）求动点的轨迹方程；（Ⅱ）设点，若直线轴且与曲线交于另一点，直线与直线交于点，证明：点恒在曲线上，并求面积的最大值.深圳市高级中学2022－2022学年第一学期期中测试高二理科数学答案一、选择题题号123456789101112答案BDAACDBDCCBA二．填空题：13．1；14．；15．；16．三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.-11-\n17．（本小题满分10分）已知命题：方程表示焦点在轴上的椭圆；命题：方程表示离心率的双曲线。若为真命题，为假命题，求实数的取值范围。解：若命题为真命题，则：，解得：若命题为真命题，则：，解得：若为真命题，为假命题，则和有且只有1个为真命题。若为真命题，为假命题，则：，无解.若为假命题，为真命题，则：，解得：.综上所述，实数的取值范围为18．（本小题满分12分）如图，四棱锥中，底面是边长为的菱形，，，．（Ⅰ）求证：平面平面；（Ⅱ）若，求二面角的余弦值.解：（1）取中点，连接、、，∵四边形是边长为的菱形，∴．∵，∴是等边三角形．∴，．-11-\n∵，∴．∵，∴．∴．∵，∴平面．∵平面，∴平面平面．（2）∵，∴．由（1）知，平面平面，∴平面，∴直线两两垂直．以为原点建立空间直角坐标系，如图，则．∴．设平面的法向量为，由，得，取，得，设平面的法向量为，由，得，取，得，……10分∴，由图可知二面角为锐二面角，∴二面角的的余弦值为．19．（本小题满分12分）已知在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c．且．（Ⅰ）求的值；（Ⅱ）若，，求△ABC的面积S．解：（Ⅰ）由正弦定理得：则整理得，又∴，即（Ⅱ）由余弦定理可知，-11-\n由（Ⅰ）可知,再由，解得，，∴20．（本小题满分12分）已知在平面直角坐标系中，经过点且斜率为的直线，与椭圆有两个不同的交点和．（I）求的取值范围；（II）设椭圆与轴正半轴、轴正半轴的交点分别为，是否存在常数，使得向量与共线？如果存在，求值；如果不存在，请说明理由．解：（Ⅰ）由已知条件，直线的方程为，代入椭圆方程得．整理得 ①直线与椭圆有两个不同的交点和等价于，解得或．即的取值范围为．（Ⅱ）设，则，由方程①，． ②又． ③而．所以与共线等价于，-11-\n将②③代入上式，解得．由（Ⅰ）知或，故没有符合题意的常数．21．（本小题满分12分）如图，在四棱锥中，底面为菱形，平面，，，分别是的中点．（1）证明:；（2）设为线段上的动点，若线段长的最小值为，求二面角的余弦值．（1）证明：底面为菱形，，三角形ABC为等边三角形是BC的中点，即.平面，平面（2）-11-\n22．（本小题满分12分）已知点是圆：上任意一点，点与圆心关于原点对称.线段的中垂线与交于点.（1）求动点的轨迹方程；（2）设点，若直线轴且与曲线交于另一点，直线与直线交于点，证明：点恒在曲线上，并求面积的最大值.解：（1）由题意得，点坐标为，因为为中垂线上的点，所以，又，所以，由椭圆的定义知动点的轨迹为椭圆，和为两个焦点，且，.所以动点的轨迹方程：.-11-\n（2）证明：设点坐标为，则点的坐标为，且，所以直线：，即，直线：，即；联立方程组，解得，，则：.所以点恒在椭圆上.设直线：，，，则，消去整理得，所以，，所以，从而，令，则函数在上单调递增，故，所以，即当时，面积取得最大值，且最大值为.-11-
