南京市六校联合体高三年级12月份联考试卷数学注意事项：1．本试卷共4页，包括填空题（第1题~第14题）、解答题（第15题~第20题）两部分．本试卷满分为160分，考试时间为120分钟．2．答题前，请务必将自己的姓名、学校、班级、学号写在答题纸的密封线内．试题的答案写在答题纸上对应题目的答案空格内．考试结束后，交回答题纸．参考公式：样本数据x1，x2，…，xn的方差s2＝(xi－)2，其中＝xi；锥体的体积公式：V＝Sh，其中S为锥体的底面积，h为锥体的高；圆锥的侧面积公式：，其中为底面半径，为母线长．一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，计70分.不需写出解答过程，请把答案写在答题纸的指定位置上）1．已知集合，集合，则=▲．2．双曲线的渐近线方程是▲．3．复数满足，其中是虚数单位，则复数的模是▲．第6题图4.若一组样本数据3，4，8，9，的平均数为6，则该组数据的方差s2＝▲．5．从1，2，3，4这四个数中一次性随机地取出2个数，则所取2个数的乘积为奇数的概率是____▲__．6．如图所示的流程图的运行结果是▲．7．若圆锥底面半径为1，侧面积为,则该圆锥的体积是____▲____．8．设直线是曲线的切线，则直线的斜率的最小值是▲．9．已知，则的值是▲．10．已知函数f(x)是定义在R上的奇函数，且当x≥0时，．若f(a)＜4＋f(－a)，则实数a的取值范围是▲．10\n11．中，，为边AC中点，，则的值为▲．12．已知圆，直线与轴交于点，过上一点作圆的切线，切点为，若，则实数的取值范围是▲．13．已知n∈N*,，，，其中表示这个数中最大的数．数列的前n项和为，若对任意的n∈N*恒成立，则实数的最大值是▲．14．已知函数.若对任意的，存在，使得成立，则实数的取值范围是▲_.二、解答题（本大题共6小题，计90分.解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤，请把答案写在答题卡的指定区域内）15．(本小题满分14分）在中，角所对的边分别为，且．（1）求角；（2）若，，求，． 16．(本小题满分14分）题16图ABCDPOE如图，在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD是正方形，AC与BD交于点O，PC⊥底面ABCD，点E为侧棱PB的中点．求证：(1)PD∥平面ACE；(2)平面PAC⊥平面PBD．10\n17.(本小题满分14分）已知椭圆：上一点与两焦点构成的三角形的周长为,离心率为.（1）求椭圆的方程；（2）设椭圆C的右顶点和上顶点分别为A、B，斜率为的直线l与椭圆C交于P、Q两点（点P在第一象限）.若四边形APBQ面积为，求直线l的方程.18．(本小题满分16分）如图，某公园内有一个以O为圆心，半径为5百米，圆心角为的扇形人工湖OAB，OM、ON是分别由OA、OB延伸而成的两条观光道．为便于游客观光，公园的主管部门准备在公园内增建三条观光道，其中一条与相切点F，且与OM、ON分别相交于C、D，另两条是分别和湖岸OA、OB垂直的FG、FH(垂足均不与O重合)．(1)求新增观光道FG、FH长度之和的最大值；(2)在观光道ON段上距离O为15百米的E处的道路两侧各有一个大型娱乐场，为了不影响娱乐场平时的正常开放，要求新增观光道CD的延长线不能进入以E为圆心，2.5百米为半径的圆形E的区域内．则点D应选择在O与E之间的什么位置？请说明理由．ABMCDONGFHE10\n19．(本小题满分16分）已知数列{an}各项均不相同，a1＝1，定义，其中n，k∈N*．（1）若，求；（2）若bn＋1(k)＝2bn(k)对均成立，数列{an}的前n项和为Sn．（i）求数列{an}的通项公式；（ii）若k，t∈N*，且S1，Sk－S1，St－Sk成等比数列，求k和t的值．20．(本小题满分16分）已知函数.(1)求的极大值；(2)当时，不等式恒成立，求的最小值；(3)是否存在实数，使得方程在上有唯一的根，若存在，求出所有的值，若不存在，说明理由.10\n南京市六校联合体高三年级12月份联考试卷数学参考答案及评分标准2022.12说明：1．本解答给出的解法供参考．如果考生的解法与本解答不同，可根据试题的主要考查内容比照评分标准制订相应的评分细则．2．对计算题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后续部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定给分，但不得超过该部分正确解答应得分数的一半；如果后续部分的解答有较严重的错误，就不再给分．3．解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数．4．只给整数分数，填空题不给中间分数．一、填空题(本大题共14小题，每小题5分，计70分.)1．2．3．4．5．6．7．8．49．10．11．12．或13．14．二、解答题（本大题共6小题，计90分.解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤，请把答案写在答题卡的指定区域内）15．【解析】（1）在中，由正弦定理，得．………………2分又因为在中．所以．………………………………………………………4分法一：因为，所以，因而．所以，所以．……………………………………………………6分 法二：即，…………………………4分10\n所以，因为，所以．…………………………………6分（2）由正弦定理得，而，所以 ，① …………………………………9分由余弦定理，得，即，②…………………………………12分把①代入②得，.…………………………………14分题16图ABCDPOE16．【解析】证明：(1)连接OE．因为O为正方形ABCD的对角线的交点，所以O为BD中点．……………………2分因为E为PB的中点，所以PD∥OE．…………4分又因为OE⊂面ACE，PB平面ACE，所以PD∥平面ACE．…………………………6分(2)在四棱锥P－ABCD中，．．．．．．．因为PC⊥底面ABCD，BD⊂面ABCD，所以BD⊥PC．…………………………………8分因为O为正方形ABCD的对角线的交点，所以BD⊥AC．………………………………………………10分又PC、AC⊂平面PAC，PC∩AC＝C，所以BD⊥平面PAC．…………………………………12分因为BD⊂平面PBD，所以平面PAC⊥平面PBD．………………………………14分17.【解析】（1）由题设得，又，解得,∴.…2分故椭圆的方程为.…………………………………………4分10\n（2）设直线方程为：代入椭圆并整理得：，设，则.…………………………………6分，……8分到直线PQ的距离为，到直线PQ的距离为，………………………………10分又因为在第一象限,所以，所以，所以，……………………………12分解得，所以直线方程为．…………………………………………14分18．解：(1)连结OF，OF⊥CD于点F，则OF＝5．设∠FOD＝θ，则∠FOC＝－θ(＜θ＜)，故FH＝5sinθ，FG＝5sin(－θ)，……………………2分则FG＋FH＝5sin(－θ)＋5sinθ＝5(cosθ＋sinθ＋sinθ)＝5(sinθ＋cosθ)＝5sin(θ＋)……………………4分因为＜θ＜，所以＜θ＋＜，所以当θ＋＝，即θ＝时，10\n(FG＋FH)max＝5．………………………………………………6分xyEABMCDOGFHN(2)以O为坐标原点，以ON所在的直线为x轴，建立如图所示的平面直角坐标系xOy．由题意，可知直线CD是以O为圆心，5为半径的圆O的切线，直线CD与圆E相离，且点O在直线CD下方，点E在直线CD上方．由OF＝5，圆E的半径为2.5，因为圆O的方程为x2＋y2＝25，圆E的方程为(x－15)2＋y2＝6.25，………………………………………………8分设直线CD的方程为y＝kx＋t(－＜k＜0，t＞0)，即kx－y＋t＝0，设点D(xD，0)则……………………10分由①得t＝5，…………………………12分代入②得，解得k2>．………………………13分又由－＜k＜0，得0＜k2＜3，故＜k2＜3，即＜＜3．在y＝kx＋t中，令y＝0，解得xD＝＝＝，所以＜xD＜10．………………………15分答：(1)新增观光道FG、FH长度之和的最大值是5百米；(2)点D应选择在O与E之间，且到点O的距离在区间(，10)(单位：百米)内的任何一点处．………………………16分19.解：（1）因为，所以，所以.………………………4分（2）（i）因为bn＋1(k)＝2bn(k)，得，10\n令k＝1,，……………①k＝2，，……………②…………………6分由①得，……………③②+③得，……………④……………………8分①+④得，又，所以数列是以1为首项，2为公比的等比数列，所以．……………………10分（ii）由（i）可知S n＝2n－1．因为S1，Sk－S1，St－Sk成等比数列，所以(Sk－S1)2＝S1(St－Sk)，即(2k－2)2＝2t－2k，………………………12分所以2t＝(2k)2－3×2k＋4，即2t－2＝(2k－1)2－3×2k－2＋1(*)．由于Sk－S1≠0，所以k≠1，即k≥2．当k＝2时，2t＝8，得t＝3．………………………14分当k≥3时，由(*)，得(2k－1)2－3×2k－2＋1为奇数，所以t－2＝0，即t＝2，代入(*)得22k－2－3×2k－2＝0，即2k＝3，此时k无正整数解．综上，k＝2，t＝3．………………………16分20．（1），令，得.…………………………………2分当时，，则在上单调递增，当时，，则在上单调递减，故当时，的极大值为．………………………4分（2）不等式恒成立，即恒成立，10\n记，则，当时，令，得，………………………………………………6分当时，，此时单调递增，当时，，此时单调递减，则，即，…8分则，记，则，令，得当时，，此时单调递减，当时，，此时单调递增，，故的最小值为.………………………10分（3）记，由，……12分故存在，使在上有零点，下面证明唯一性：①当时，，故，在上无解…………………………………………………………………14分②当时，，而，此时，单调递减，所以当符合题意．……………………………16分10
