2022-2022学年第一学期期中考试高二数学试题考试时间：120分钟分值：160分一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，共70分）1．在平面直角坐标系中，直线的倾斜角的大小是_________.2.若直线x＋ay－2a－2＝0与直线ax＋y－a－1＝0平行，则实数a＝________.3．双曲线的渐近线方程是______．4．点在直线2x－3y＋6＝0的上方，则的取值范围是．5.点关于直线的对称点为则直线的方程为__________________．6.若抛物线的焦点与椭圆的右焦点重合，则的值为________.7．设x，y满足约束条件则z＝2x－y的最大值为________．8．已知圆与圆有公共点，则的取值范围是_____________ .9.已知圆，圆，动圆与圆外切，与圆内切，则动圆圆心的轨迹方程是.10.直线与圆相交于、两点，若,则_________.（其中为坐标原点）11.设实数x、y满足则z＝|x+y＋4|的取值范围为.第12题图12.已知动点A、B分别在图中抛物线及椭圆的实线上运动，若∥轴，点N的坐标为（1，0），则三角形ABN的周长的取值范围是__________．-12-\n13.若圆上至少有三个不同的点到直线的距离为，则该直线的斜率的范围是_______________________．14．如图，已知过椭圆的左顶点A(－a，0)作直线l交y轴于点P，交椭圆于点Q，若△AOP是等腰三角形，且，则椭圆的离心率为．二、解答题（本大题共有6个小题，共90分）15.（本小题满分14分）已知y=2x是△ABC中∠C的内角平分线所在直线的方程，若A（﹣4，2），B（3，1）．（1）求点A关于y=2x的对称点P的坐标；（2）求直线BC的方程；（3）判断△ABC的形状．16.（本小题满分14分）如图，矩形ABCD的两条对角线相交于点M(2,0)，AB边所在直线的方程为x-3y-6=0,点T(-1,1)在AD边所在的直线上．（1）求AD边，CD边所在直线的方程；（2）求矩形ABCD外接圆的方程.-12-\n17.如图，已知椭圆C：＋＝1(a＞b＞0)的右焦点为F（c，0），下顶点为A（0，﹣b），直线AF与椭圆的右准线交于点B，若F恰好为线段AB的中点．（1）求椭圆C的离心率；（2）若直线AB与圆x2+y2=2相切，求椭圆C的方程．18.已知圆：，设点是直线：上的两点，它们的横坐标分别是，点在线段上，过点作圆的切线，切点为．（1）若，，求直线的方程；（2）若O为原点，经过三点的圆的圆心是，求线段长的最小值．-12-\n19.如图所示，已知以点为圆心的圆与直线相切．过点的动直线与圆相交于两点，是的中点，直线与相交于点．（1）求圆的方程；（2）当时，求直线的方程；（3）是否为定值？如果是，求出其定值；如果不是，请说明理由．-12-\n20.如图，是椭圆的左右顶点，是椭圆上异于的任意一点，若椭圆的离心率为，且右准线的方程为（1）求椭圆的方程；（2）设直线交于点，以为直径的圆交直线于点，试证明：直线与轴的交点为定点，并求出点的坐标．（第20题）-12-\n一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，共70分）1．在平面直角坐标系中，直线的倾斜角的大小是_________.02.若直线x＋ay－2a－2＝0与直线ax＋y－a－1＝0平行，则实数a＝________.13．双曲线的渐近线方程是______．4．点在直线2x－3y＋6＝0的上方，则的取值范围是．5.点关于直线的对称点为则直线的方程为__________________．6.若抛物线的焦点与椭圆的右焦点重合，则的值为________.47．设x，y满足约束条件则z＝2x－y的最大值为________．88．已知圆与圆有公共点，则的取值范围是_____________ .9.已知圆，圆，动圆与圆外切，与圆内切，则动圆圆心的轨迹方程是.10.直线与圆相交于、两点，若,则_________.（其中为坐标原点）11.设实数x、y满足则z＝|x+y＋4|的取值范围为.第12题图12.已知动点A、B分别在图中抛物线及椭圆的实线上运动，若∥轴，点N的坐标为（1，0），则三角形ABN的周长的取值范围是__________．（10/3,4）-12-\n13.若圆上至少有三个不同的点到直线的距离为，则该直线的斜率的范围是_______________________．14．如图，已知过椭圆的左顶点A(－a，0)作直线l交y轴于点P，交椭圆于点Q，若△AOP是等腰三角形，且，则椭圆的离心率为．二、解答题（本大题共有6个小题，共90分）15.（本小题满分14分）已知y=2x是△ABC中∠C的内角平分线所在直线的方程，若A（﹣4，2），B（3，1）．（1）求点A关于y=2x的对称点P的坐标；（2）求直线BC的方程；（3）判断△ABC的形状．解：（1）设A关于y=2x的对称点为P（m，n）．∴解之得，即点P的坐标为（4，﹣2）．（2）∵P（4，﹣2）在BC上，∴BC的方程为y﹣1=﹣3（x﹣3），即3x+y﹣10=0．（3）由，解得∴C的坐标为（2，4）．由，，，得|AB|2=|BC|2+|AC|2，∴△ABC为以∠C为直角的直角三角形．16.（本小题满分14分）如图，矩形ABCD的两条对角线相交于点M(2,0)，AB边所在直线的方程为x-3y-6=0,点-12-\nT(-1,1)在AD边所在的直线上．（1）求AD边，CD边所在直线的方程；（2）求矩形ABCD外接圆的方程.解：(1)因为AB边所在直线的方程为x-3y-6=0，且AD与AB垂直，所以直线AD的斜率为-3．……………………………………2分又因为点T(-1，1)在直线AD上，所以AD边所在直线的方程为y-1=-3(x+1),即3x+y+2=0．…………………………………………………………4分由解得点A的坐标为(0，-2).…………6分因为矩形ABCD的两条对角线的交点为M(2，0),所以C(4,2)…………8分所以CD边所在直线的方程为x-3y+2=0,…………10分(2)M为矩形ABCD外接圆的圆心．又|AM|=,………………………………12分从而矩形ABCD外接圆的方程为(x-2)2+y2=8.……………………14分17.如图，已知椭圆C：＋＝1(a＞b＞0)的右焦点为F（c，0），下顶点为A（0，﹣b），直线AF与椭圆的右准线交于点B，若F恰好为线段AB的中点．（1）求椭圆C的离心率；（2）若直线AB与圆x2+y2=2相切，求椭圆C的方程．解（1）因为B在右准线x=上，且F（c，0）恰好为线段AB的中点，所以2c=，…（4分）即=，所以椭圆的离心率e=．…（7分）-12-\n（2）由（1）知a=c，b=c，所以直线AB的方程为y=x﹣c，即x﹣y﹣c=0，…（9分）因为直线AB与圆x2+y2=2相切，所以=，…（12分）解得c=2．所以a=2，b=2．所以椭圆C的方程为+=1．…（14分）18.已知圆：，设点是直线：上的两点，它们的横坐标分别是，点在线段上，过点作圆的切线，切点为．（1）若，，求直线的方程；（2）若O为原点，经过三点的圆的圆心是，求线段长的最小值．（1）设解得或（舍去）.…………………………………4分由题意知切线PA的斜率存在，设斜率为k.所以直线PA的方程为，即直线PA与圆M相切，，解得或直线PA的方程是或……………………………8分（2）设与圆M相切于点A，经过三点的圆的圆心D是线段MP的中点.的坐标是设……12分当，即时，当，即时，当，即时-12-\n则.……………………………………16分19.如图所示，已知以点为圆心的圆与直线相切．过点的动直线与圆相交于两点，是的中点，直线与相交于点．（1）求圆的方程；（2）当时，求直线的方程；（3）是否为定值？如果是，求出其定值；如果不是，请说明理由．解：(1)设圆的半径为∵圆与直线：相切∴∵圆的方程为……………………………4分（2）当直线与轴垂直时，易知符合题意；…………………5分当直线与轴不垂直时，设直线的方程为，∵，由，得∴直线的方程为-12-\n∴所求直线的方程为或………………………9分（3）∵，∴……………11分当直线与轴垂直时，得，则又,∴……………………………13分当直线的斜率存在时，设直线的方程为由，解得∴综上所述，是定值，且…………………16分20.如图，是椭圆的左右顶点，是椭圆上异于的任意一点，若椭圆的离心率为，且右准线的方程为（1）求椭圆的方程；（2）设直线交于点，以为直径的圆交直线于点，试证明：直线与轴的交点为定点，并求出点的坐标．（第20题）20.解：（1）由题意：，解得．-12-\n椭圆的为．------------------------5分（2）由（1）知，，设，，则直线的方程为，令，得，即点的坐标为，------------------------8分由题意，，，即，----------------------12分又，，．直线与轴的交点为定点．-----------------------------16分-12-
