沭阳国际学校2022—2022学年度第一学期第一次月考高三数学试卷注意事项：1．本试卷共4页．满分160分，考试时间120分钟．2．请将填空题的答案和解答题的解题过程写在答题卷上，在本试卷上答题无效．参考公式：样本数据，…，的方差，其中=一、填空题:本大题共14小题，每题5分,共计70分.请把答案填写在答题卡相应位置上.1．已知集合，，则▲2．设复数满足（i是虚数单位），则的实部是____▲____3．一种水稻试验品种连续5年的平均单位面积产量(单位：t/hm2)如下：9.8，9.9，10.1，10，10.2，则该组数据的方差为▲4．从1，2，3，4这四个数中一次随机取两个数，则其中一个数是另一个数的两倍的概率是____▲____5．下图是一个算法流程图,则输出的的值是▲.10080901101201300.0100.0150.0200.0250.030底部周长/cm（第6题）开始输出n结束（第5题）NY6．设抽测的树木的底部周长均在区间[80,130]上,其频率分布直方图如图所示,则在抽测的60株树木中,有▲株树木的底部周长小于100cm.7．已知向量若，则＝▲8．在矩形中，，，以边所在直线为轴旋转一周，则形成的几何体的侧面积为 ▲ .9．若椭圆的焦距长等于它的短轴长，则椭圆的离心率等于▲10．命题“”是假命题，则实数的取值范围是▲-13-\n11．已知⊙A：，⊙B:，P是平面内一动点，过P作⊙A、⊙B的切线，切点分别为D、E，若，则P到坐标原点距离的最小值为 ▲ ．12．若数列满足，则的最小值为▲13．设函数，．若存在，使得与同时成立，则实数a的取值范围是▲14．若实数满足，则的最小值为▲二、解答题：本大题共6小题，共计90分，请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15．（本小题满分14分）在中，角，，所对的边分别为，，．已知的周长为且．（1）求边的长；（2）若的面积为，求角的大小．16．（本小题满分14分）如图，在直三棱柱中，，、分别为、的中点，（1）求证：；（2）求证：17．（本小题满分14分）如图所示，某人在斜坡P处仰视正对面山顶上一座铁塔，塔高AB=80米，塔所在山高OA=220米，OC=200米，观测者所在斜坡CD近似看成直线，斜坡与水平面夹角为，-13-\n（1）以射线OC为轴的正向，OB为轴正向，建立直角坐标系，求出斜坡CD所在直线方程；（2）当观察者视角∠APB最大时，求点P的坐标（人的身高忽略不计）18．（本小题满分16分）在平面直角坐标系xOy中，已知对于任意实数，直线恒过定点F.设椭圆C的中心在原点，一个焦点为F，且椭圆C上的点到F的最大距离为.（1）求F点坐标（2）求椭圆C的方程；（3）设（m，n）是椭圆C上的任意一点，圆O：与椭圆C有4个相异公共点，试分别判断圆O与直线l1：mx+ny=1和l2：mx+ny=4的位置关系.19．（本小题满分16分）已知函数f(x)＝ax3＋bx2－3x（a，b∈R）在点（1，f(1)）处的切线方程为y＋2＝0．（1）求函数f(x)的解析式；（2）若对于区间[－2，2]上任意两个自变量的值x1，x2，都有|f(x1)－f(x2)|≤c，求实数c的最小值；-13-\n（3）若过点M（2，m）（m≠2）可作曲线y＝f(x)的三条切线，求实数m的取值范围．20．（本小题满分16分）已知数列{an}中，a2=1，前n项和为Sn，且．（1）求a1；（2）证明数列{an}为等差数列，并写出其通项公式；（3）设，试问是否存在正整数p，q(其中1<p<q)，使b1，bp，bq成等比数列？若存在，求出所有满足条件的数组(p，q)；若不存在，说明理由．沭阳国际学校2022—2022学年度第一学期第一次月考高三数学II（附加题）命题人：章其玉2022.1021．【选做题】本题包括A，B，C，D共4小题，请从这4题中选做2小题，每小题10分，共20分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．A．选修4-1：几何证明选讲（本小题满分10分）ABCOEFD-13-\n如图，⊙O是等腰三角形ABC的外接圆，AB=AC，延长BC到点D，使CD＝AC，连接AD交⊙O于点E，连接BE与AC交于点F．（1）判断BE是否平分∠ABC，并说明理由；（2）若AE=6，BE=8，求EF的长．B．选修4-2：矩阵与变换（本小题满分10分）已知矩阵A＝，若矩阵A属于特征值6的一个特征向量为α1＝，属于特征值1的一个特征向量为α2＝．求矩阵A，并写出A的逆矩阵．C．选修4-4：坐标系与参数方程（本小题满分10分）已知曲线的极坐标方程为，以极点为原点，极轴为轴的非负半轴建立平面直角坐标系，直线的参数方程为（为参数），求直线被曲线截得的线段长度.D．选修4-5：不等式选讲（本小题满分10分）设x，y，z为正数，证明：【必做题】（第22、23题每题10分．共20分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．22．（本小题满分10分）某部队进行射击训练，每个学员最多只能射击4次，学员如果2次命中目标，那么就不再进行射击，假设某学员每次命中的概率都是，每次射击互相独立．（1）求该学员在前两次射击中至少有一次命中的概率；（2）记该学员射击的次数为，求的分布列及的数学期望．-13-\n23．（本小题满分10分）BCDA1AB1C1D1EF如图，在长方体ABCD－A1B1C1D1中，已知AB＝4，AD＝3，AA1＝2．E、F分别是线段AB、BC上的点，且EB＝FB＝1．（1）求直线EC1与FD1所成角的余弦值；（2）求二面角C－DE－C1的平面角的正切值．-13-\n沭阳梦溪中学2022—2022高三第一次质量检测数学Ⅰ参考答案一、填空题:本大题共14小题，每题5分,共计70分.请把答案填写在答题卡相应位置上.1.； 2.1；3. 4.； 5.5；6.24；7.；8.；9.；10.；11..；12.；13．（7，＋∞）；14..二、解答题：本大题共6小题，共计90分，请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.（1）由题意及正弦定理，得，…………………2分，…………………………4分两式相减，得．……………………………………………6分（2）由的面积，得…………………9分由余弦定理，得，…12分又∵是的内角∴．…………………………………………14分16.（1）在中，∵、分别为、的中点，∴…………………………………………4分又∴…………………………7分（2）∵三棱柱是直三棱柱∴，∵平面，∴…………………………9分-13-\n∵在中，，为的中点，∴…………………………11分∵、平面∴平面又平面∴…………………………14分17.（1）CD：…………………………4分（2）设P，过点P作交于点则…………………………6分∵，∴∠APB为锐角∴tan∠APB=…………10分=…………………………12分等号当即时取到∴当观测者位于P（320，60）处视角最大…………………………14分18.（1）解得.……………………………4分（2）设椭圆C的长轴长、短轴长、焦距分别为2a，2b，2c，则由题设，知于是a=2，b=1.…………………6分-13-\n所以椭圆C的方程为……………………………………8分（3）因为圆O：与椭圆C有4个相异公共点，所以，即………………………………10分因为点（m，n）是椭圆上的点，所以.所以.……………………………11分于是圆心O到直线l1的距离，圆心O到直线l2的距离.……………………15分故直线l1与圆O相交，直线l2与圆O相离.……………………16分19.解：（1）f′(x)＝3ax2＋2bx－3．…………………………2分根据题意，得即解得所以f(x)＝x3－3x．…………………………………4分（2）令f′(x)＝0，即3x2－3＝0．得x＝±1．x－2(－2，－1)－1(－1，1)1(1，2)2f′(x)＋－＋f(x)－2增极大值减极小值增2因为f(－1)＝2，f(1)＝－2，所以当x∈[－2，2]时，f(x)max＝2，f(x)min＝－2．……………………………6分则对于区间[－2，2]上任意两个自变量的值x1，x2，都有|f(x1)－f(x2)|≤|f(x)max－f(x)min|＝4，所以c≥4．所以c的最小值为4．……………………………………………………8分（3）因为点M（2，m）（m≠2）不在曲线y＝f(x)上，所以可设切点为(x0，y0)．则y0＝x－3x0．因为f′(x0)＝3x－3，所以切线的斜率为3x－3．……………………9分则3x－3＝，……………………………………………11分即2x－6x＋6＋m＝0．因为过点M（2，m）（m≠2）可作曲线y＝f(x)的三条切线，所以方程2x－6x＋6＋m＝0有三个不同的实数解．-13-\n所以函数g(x)＝2x3－6x2＋6＋m有三个不同的零点．则g′(x)＝6x2－12x．令g′(x)＝0，得x0＝0或x0＝2．x(－∞，0)0(0，2)2(2，＋∞)g′(x)＋－＋g(x)增极大值减极小值增则即解得－6＜m＜2．…………………16分20.解：(1)令n=1，则a1=S1==0．…………………2分(2)由，即，①得．②②－①，得．③于是，．④③+④，得，即．…………………5分又a1=0，a2=1，a2－a1=1，所以，数列{an}是以0为首项，1为公差的等差数列．所以，an=n－1．…………………………………8分注在得到③式后，两边相除并利用累乘法，得通项公式并由此说明其为等差数列的，亦相应评分(3)假设存在正整数数组(p，q)，使b1，bp，bq成等比数列，则lgb1，lgbp，lgbq成等差数列，于是，．…………………10分所以，(☆)．易知(p，q)=(2，3)为方程(☆)的一组解．…………………12分当p≥3，且p∈N*时，<0，故数列{}(p≥3)为递减数列，于是≤<0，所以此时方程(☆)无正整数解．综上，存在唯一正整数数对(p，q)=(2，3)，使b1，bp，bq成等比数列．………16分．-13-\n附加题参考答案21A.⑴BE平分∠ABC.………1分∵CD＝AC，∴∠D=∠CAD.∵AB＝AC，∴∠ABC=∠ACB∵∠EBC=∠CAD，∴∠EBC=∠D=∠CAD.……………………4分∵∠ABC=∠ABE+∠EBC，∠ACB=∠D+∠CAD，∴∠ABE=∠EBC，即BE平分∠ABC.……………………6分⑵由⑴知∠CAD=∠EBC=∠ABE.∵∠AEF=∠AEB，∴△AEF∽△BEA.……………………8分∴，∵AE=6，BE=8.∴EF=.……………………10分21B、解：由矩阵A属于特征值6的一个特征向量为α1＝可得，＝6，即c＋d＝6；………………………………………3分由矩阵A属于特征值1的一个特征向量为α2＝，可得＝，即3c－2d＝－2，…………………………………………6分解得即A＝，…………………………8分A逆矩阵是21C．解：将曲线的极坐标方程化为直角坐标方程为，即，它表示以为圆心，2为半径的圆，…………………………4分直线方程的普通方程为，………………………………6分圆C的圆心到直线l的距离，…………………………………………………8分-13-\n故直线被曲线截得的线段长度为．…………………10分21D．因为所以…………………4分同理,…………………6分三式相加即可得又因为所以…………10分22．（1）记“该学员在前两次射击中至少有一次命中”的事件为事件A，则P(A)=． …………………………………………………3分答：该学员在前两次射击中至少有一次命中的概率为．…………………4分（2）学员射击次数的可能取值为2，3，4，且，，，234P故的分布列为：………7分∴的数学期望为：．………………10分zyxBCDA1AB1C1D1EF23．以A为原点，分别为x轴，y轴，z轴的正向建立空间直角坐标系A－xyz，则有D（0，3，0），D1（0，3，2），E（3，0，0），F（4，1，0），C1（4，3，2）．∴，．…2分（1）设EC1与FD1所成角为b，则．……… 4分（2）设向量为平面C1DE的法向量，则有-13-\n．∴，取n0=（－1，－1，2），则n0是平面C1DE的一个法向量．…………………………………6分又向量=（0，0，2）是平面CDE的一个法向量．经检验，n0与所成的角θ即为二面角C－DE－C1的平面角．…………8分∵，∴．………10分-13-
