姜堰区2022-2022学年度第一学期期中调研测试高三年级数学试题（理）数学Ⅰ（本卷考试时间：120分钟总分160分）一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分．请把答案填写在答题卡相应位置上．1．若复数（是虚数单位），则的实部为▲．2．已知，若，则实数的取值范围为▲．3．若样本数据的平均数为，则数据的平均数为▲．4．若满足，则的最大值为▲．5．根据如图所示的伪代码，可知输出的结果为▲．S←1I←1WhileI10S←S＋2I←I＋3EndWhilePrintS（第5题图）6．设，则“”是“”的▲条件（从“充分不必要”、“必要不充分”、“既不充分也不必要”、“充要”中选择）．7．袋中有形状、大小都相同的4只球，其中1只白球，1只红球，2只黄球，从中一次随机摸出2只球，则这2只球中有黄球的概率为▲．8．将函数图像上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），再将所得到的图像向右平移个单位长度得到函数，则▲．\n9．设的内角的对边分别为，若，则▲．10．在中，点满足，若，则▲．11．若函数的值域是，则实数的取值范围是▲．12．过点作曲线的切线，切点为，设在轴上的投影是点，过点再作曲线的切线，切点为，设在轴上的投影是点，依次下去，得到第个切点，则点的坐标为▲．13．如果函数在区间单调递减，则的最大值为▲．14．设，其中均为实数，下列条件中，使得该三次方程仅有一个实根的有▲（写出所有正确条件的编号）①；②；③；④；⑤二、解答题：本大题共6小题，共计90分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．15．（本小题满分14分）已知函数．（1）求的最小正周期；（2）求在区间上的最小值．16．（本小题满分14分）\n在平面直角坐标系中，已知向量．（1）若，求的值；（2）若与的夹角为，求的值．17．（本小题满分14分）已知关于的方程．（1）若方程的一根在区间内，另一根在区间内，求实数的取值范围；（2）若方程的两根都在区间，求实数的取值范围．18．（本小题满分16分）强度分别为的两个光源间的距离为．已知照度与光的强度成正比，与光源距离的平方成反比，比例系数为．线段上有一点，设，点处总照度为．试就时回答下列问题．（注：点处的总照度为受光源的照度之和）（1）试将表示成关于的函数，并写出其定义域；（2）问：为何值时，点处的总照度最小？\n19．（本小题满分16分）已知是各项均为正数的等比数列，是等差数列，且．（1）求和的通项公式；（2）设，其前项和为．①求；②若对任意恒成立，求的最大值．20．（本小题满分16分）已知函数．（1）求函数的单调递增区间；（2）证明：当时，；\n（3）确定实数的所有可能取值，使得存在，当时，恒有．数学Ⅱ（本卷考试时间：30分钟总分40分）21A．（本小题满分10分）已知分别是内角的对边，已知，，且求的面积．21B．（本小题满分10分）设数列的前项和，且成等差数列，求数列的通项公式．22．（本小题满分10分）投资生产产品时，每生产需要资金200万元，需场地200，可获得利润300万元；投资生产产品时，每生产需要资金300万元，需场地100，可获得利润200万元．现某单位可使用资金1400万元，场地900，问：应作怎样的组合投资，可使获利最大？\n23．（本小题满分10分）已知函数．（1）求的单调性；（2）设曲线与轴正半轴的交点为，曲线在点处的切线方程为，求证：对于任意的正实数,都有．姜堰区2022-2022学年度第一学期期中调研测试高三年级数学试题（理）参考答案数学Ⅰ1.22.3.154.25.76.充分不必要7.8.9.或310.11.12.13.1814.①②③⑤15.解：（1）-----------4分所以的最小正周期-----------7分（2）因为，所以-----------9分所以当，即时\n-----------11分取最小值为-----------14分16．解：（1）因为，所以-----------4分所以因为，所以-----------7分（2）由-----------10分因为，所以-----------12分所以，即-----------14分17．解：（1）令，由题意可知，即-----------4分解得-----------7分\n（2）由题意可知-----------10分解得-----------14分18．解：（1）由题意可知：点处受光源的照度为-----------2分点处受光源的照度为-----------4分从而，点的总照度为，-----------6分其定义域为-----------7分（2）对函数求导，可得，-----------9分令，得，因为，所以，所以，解得-----------11分当-----------13分因此，时，取得极小值，且是最小值-----------15分\n答：时，点处的总照度最小-----------16分19．解：（1）设的公比为，的公差为，由题意，由已知,有-----------1分解得-----------3分所以的通项公式为,的通项公式为----------5分（2）由（1）有，则----------7分两式相减得所以-----------10分（3）令由，得，即解得对任意成立，即数列为单调递增数列，所以的最小项为-----------13分因为对任意恒成立，所以，所以的最小值为-----------16分20．解：（1）函数的定义域为-----------1分\n对函数求导，得-----------2分由，得，解得故的单调递增区间为-----------4分证明：（2）令，则有-----------5分当时，，所以在上单调递减，-----------7分故当时，，即时，-----------9分解：（3）由（2）知，当时，不存在满足题意；-----------10分当时，对于，有，则，从而不存在满足题意；-----------12分当时，令则有由得，．解得-----------14分\n所以当时，，故在内单调递增，从而当时，，即综上，的取值范围是-----------16分数学Ⅱ21A．解：由题意及正弦定理可知：； -----------3分因为，由勾股定理得； -----------5分又，所以解得； -----------7分所以的面积． -----------10分21B．解：由已知，有，即. -----------5分从而，又因为成等差数列，即，所以，解得； -----------8分所以，数列是首项为2，公比为2的等比数列，故. -----------10分22.解：设生产A产品百吨，生产B产品百米，利润为S百万元，则约束条件为； -----------3分目标函数为. -----------5分作出可行域，将目标函数变形为这是斜率为，随S变化的一族直线.是直线在轴上的截距，当最大时，S最大.由图象可知，使取得最大值的是两直线与的交点\n此时-----------9分答：生产A产品325吨，生产B产品250米时，获利最大，且最大利润为1475万元.--10分23.解：（1）由,可得,-----------1分当,即时,函数单调递增；当,即时,函数单调递减；所以函数的单调递增区间是,单调递减区间是.-----------4分（2）设,则,-----------5分曲线在点P处的切线方程为,即；令即 -----------6分则；由于在单调递减，所以在单调递减,又因为，所以当时,,所以当时,,-----------8分所以在单调递增,在单调递减,所以对任意的实数x,，即对于任意的正实数,都有. ――----10分
