2022届高三年级第三次模拟考试数学试题【考试时间：120分钟分值：160分】参考公式：样本数据的方差，其中；一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，计70分.不需写出解答过程，请把答案写在答题纸的指定位置上.1、集合，，则▲．2、若复数是实数，则▲．3、如果，为第一象限角，则▲．4、已知正六棱锥的底面边长为1，高为1，则棱锥的体积为▲．5、高三（1）班共有56人，学号依次为1，2，3，…，56，现用系统抽样的办法抽取一个容量为4的样本，已知学号为6，34，48的同学在样本中，那么还有一个同学的学号应为▲．6、已知某一组数据，则其方差为▲．7、阅读下列程序框图，运行相应程序，则输出的S值为▲．8、若是定义在上周期为2的偶函数，当时，，则函数的零点个数为▲．9、若命题“，使得”为假命题，则实数的范围▲．10、在△ABC中，AH为BC边上的高，＝，则过点C，以A，H为焦点的双曲线的离心率为▲．11、设等比数列的公比，表示数列的前项的和，表示数列的前18项的乘积，表示的前项中除去第项后剩余的项的乘积，即，则当，，数列的前项的和是▲．12、已知都是定义在R上的函数，,（）,在有穷数列中，任意取正整数（），则前项和不小于的概率是▲．13、设,,为单位圆上不同的三点，则点集所对应的平面区域的面积为▲．14、函数，，函数在处取得极值（），在上的最大值比最小值大，若方程有3个不同的解，则函数的值域为▲．二、解答题：本大题共6小题，计90分.解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤，请把答案写在答题纸的指定区域内.15、(本小题满分14分)在中，分别是A、B、C的对边,满足(Ⅰ）求角B的大小；(Ⅱ)在区间上任取，求的概率；（Ⅲ）若AC＝，求ΔABC面积的最大值.1816、(本小题满分14分)直三棱柱中，，．（Ⅰ）求证：平面平面；(Ⅱ)求三棱锥的体积．17、(本小题满分14分)工厂生产某种零件，每天需要固定成本100元，每生产1件，还需再投入资金2元，若每天生产的零件能全部售出，每件的销售收入（元）与当天生产的件数（）之间有以下关系：,设当天利润为元.（Ⅰ）写出关于的函数关系式；（Ⅱ)要使当天利润最大，当天应生产多少零件？（注：利润等于销售收入减去总成本）1818、(本小题满分16分)设等比数列的首项为，公比为为正整数），且满足是与的等差中项；等差数列满足.（Ⅰ）求数列，的通项公式；（Ⅱ)若对任意，有成立，求实数的取值范围;（Ⅲ）对每个正整数，在和之间插入个2，得到一个新数列.设是数列的前项和，试求满足的所有正整数.19、(本小题满分16分)已知椭圆过点，椭圆左右焦点分别为，上顶点为，为等边三角形.定义椭圆C上的点的“伴随点”为.18（Ⅰ）求椭圆C的方程；(Ⅱ)若圆的方程为＋＝，圆和x轴相交于A，B两点，点P为圆上不同于A，B的任意一点，直线PA，PB交y轴于S，T两点．当点P变化时，以ST为直径的圆是否经过圆内一定点？请证明你的结论；（Ⅲ）直线l交椭圆C于H、J两点,若点H、J的“伴随点”分别是L、Q,且以LQ为直径的圆经过坐标原点O.椭圆C的右顶点为D，试探究ΔOHJ的面积与ΔODE的面积的大小关系,并证明.20、(本小题满分16分)已知函数．（Ⅰ）设函数定义域为①求定义域；②若函数在上有零点，求的最小值；(Ⅱ)当时，，若对任意的，都有恒成立，求实数的取值范围；（注：为自然对数的底数）（Ⅲ）当时，函数图象上的点都在所表示的平面区域内，求实数的取值范围．2022届高三年级第三次模拟考试数学试题（附加题）（满分40分，考试时间30分钟）21、[选做题]本题包括A、B、C、D四小题，请选定其中两题，并在相应的答题区域内作答．若多做，则按作答的前两题评分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤18A、[选修4-1：几何证明选讲]（本小题满分10分）如图，AD是⊙O的直径，AB是⊙O的切线，M,N是圆上两点，直线MN交AD的延长线于点C，交⊙O的切线于B，BM＝MN＝NC＝1，求AB的长和⊙O的半径．B、[选修4-2：矩阵与变换]（本小题满分10分）已知矩阵（Ⅰ）求矩阵的逆矩阵；（Ⅱ）若直线经过矩阵变换后的直线方程为，求直线的方程.C、[选修4-4：坐标系与参数方程]（本小题满分10分）已知圆的极坐标方程是，以极点为平面直角坐标系的原点，极轴为轴的正半轴，建立平面直角坐标系，直线的参数方程为（为参数）.若直线与圆相交于,两点，且.（Ⅰ）求圆的直角坐标方程，并求出圆心坐标和半径；（Ⅱ）求实数的值.D、[选修4-5：不等式选讲]（本小题满分10分）已知函数，（Ⅰ）已知常数，解关于的不等式；（Ⅱ）若函数的图象恒在函数图象的上方，求实数的取值范围.18【必做题】第22题、第23题，每题10分，共计20分．请在答题纸指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．22、（本小题满分10分）已知等10所高校举行的自主招生考试，某同学参加每所高校的考试获得通过的概率均为.（Ⅰ）如果该同学10所高校的考试都参加，试求恰有2所通过的概率；（Ⅱ）假设该同学参加每所高校考试所需的费用均为元，该同学决定按顺序参加考试，一旦通过某所高校的考试，就不再参加其它高校的考试，试求该同学参加考试所需费用的分布列及数学期望.23、（本小题满分10分）已知为正整数.（Ⅰ）用数学归纳法证明：当时，；（Ⅱ）对于，已知，求证：，；（Ⅲ）求出满足等式的所有正整数.182022届高三年级第三次模拟考试参考答案1、2、43、4、5、206、27、8、29、10、211、12、13、14、15、解：(Ⅰ）由得-------------------4分；(Ⅱ)由，得，--------------6分所以的概率为-------------8分（Ⅲ）由，.，ΔABC面积的最大值为.--------------14分16、(Ⅰ）略；--------------8分(Ⅱ)三棱锥的体积为．--------------14分17、解：(1)当0＜x≤10时，y＝x(83－x2)－100－2x＝－x3＋81x－100；当x＞10时，y＝x(－)－2x－100＝－2x－＋420.①当0＜x≤10时，y′＝81－x2，令y′＝0，得x＝9-------.(9分)当x∈(0,9)时，y′＞0；当x∈(9,10)时，y′＜0.∴当x＝9时，ymax＝386；(10分)18②当x＞10时，y′＝－－2，令y′＝0，得x＝11.-------(12分)当x∈(10,11)时，y′＞0；当x∈(11，＋∞)时，y′＜0.∴当x=11时，ymax＝387.(14分)∵x∈N*，∴综合①②知：当x＝11时，y取最大值．故要使当天利润最大，当天应生产11件零件．-------(14分)18、解：（1）由题意，则，解得或因为为正整数，所以，又，所以------3分。----------6分（2）．记当时，得单调减，----------8分又，所以---------10分（3）由题意知，则当时，，不合题意，舍去；-------------------11分当时，，所以成立；-------------------12分当时，若，则，不合题意，舍去；从而必是数列中的某一项，则-------------------13分又，所以，即，所以因为为奇数，而为偶数，所以上式无解。18即当时，-------------------15分综上所述，满足题意的正整数仅有。-------------------16分19、解：（1）由已知，解得,方程为.···············4分（2）（法一坐标参数）设P(，)(≠0)，则＋＝4．又A(－6，0)，B(－2，0)，所以：y＝(x＋6)，S(0，)，：y＝(x＋1)，T(0，)．圆的方程为＋＝．化简得＋－(＋)y－12＝0，令y＝0，得x＝．又点(，0)在圆内，所以当点P变化时，以ST为直径的圆经过圆内一定点(，0)．························10分法二斜率参数也可以（3）设,则;1)当直线的斜率存在时,设方程为,由得:；18有①····························12分由以为直径的圆经过坐标原点O可得:；整理得:②将①式代入②式得:,又点到直线的距离所以·············································································14分2)当直线的斜率不存在时,设方程为联立椭圆方程得:；代入得；,综上:的面积是定值又的面积也为,所以二者相等.·························································16分20、解析：（Ⅰ）①定义域；………………3分18②=0即，令,方程为，，设，当，即时，只需，此时，；当，即时，只需，即，此时．的最小值为．………………………………5分(Ⅱ)（方法一）由题，令，注意的图像过点（0，-1）,且开口向上，从而有(1)，单调递增，所以有得；…………………………7分(2)当即时，单调递减，所以有得，故只有符合；………………………………………………………………………………9分(3)当即时，记函数的零点为，此时，函数在上单调递减，在上单调递增，18所以，因为是函数的零点，所以，故有令，，则所以函数在上单调递减，故恒成立，此时，；综上所述，实数的取值范围是。………………………………11分（方法二参数分离法也给分）（Ⅲ）因函数图象上的点都在所表示的平面区域内，则当时，不等式恒成立，即恒成立，设（），只需即可．由，（ⅰ）当时，，当时，，函数在上单调递减，故成立．13分（ⅱ）当时，由，因，所以，①若，即时，在区间上，，则函数在上单调递增，在上无最大值（或：当时，），此时不满足条件；②若，即时，函数在上单调递减，在区间18上单调递增，同样在上无最大值，不满足条件．15分（ⅲ）当时，由，∵，∴，∴，故函数在上单调递减，故成立．综上所述，实数a的取值范围是．16分182022届高三年级第三次模拟考试附加题答案21、[选做题]本题包括B、C、D四小题，请选定其中两题，并在相应的答题区域内作答．若多做，则按作答的前两题评分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．（1）解析：∵AD是⊙O的直径，AB是⊙O的切线，直线BMN是⊙O的割线，∴∠BAC＝90°，AB2＝BM·BN.22.答案：（Ⅰ）因为该同学通过各校考试的概率均为，所以该同学恰好通过218所高校自主招生考试的概率为.4分（Ⅱ）设该同学共参加了次考试的概率为（）.∵，∴所以该同学参加考试所需费用的分布列如下：2345678910∴，令,…（1）则,…（2）由（1）-（2）得，所以，所以(元).10分023、解：（1）用数学归纳法证明：（i）当时，原不等式成立；当时，左边，右边，因为，18所以左边≥右边，原不等式成立；（ii）假设当时，不等式成立，即，则当时，∵，∴，于是在不等式两边同乘以得，所以即当时，不等式也成立综合（i）（ii）知，对一切正整数，不等式都成立。3分（2）当时，由（1）得于是，。6分（3）解：由（2），当时，，∴即即当时，不存在满足该等式的正整数n故只需要讨论的情形：当时，，等式不成立；当时，，等式成立；当时，，等式成立；18当时，为偶数，而为奇数，故，等式不成立；当时，同的情形可分析出，等式不成立综上，所求的n只有。10分18
