南康中学2022～2022学年度第一学期高三第三次大考数学（理）试卷一、选择题（每小题5分，共60分）1．已知复数，则所对应的点位于复平面的（ ）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限2．已知数列为等差数列，且，则的值为( )A.B.－C.D.－3.在△OAB中，C为AB的中点，D为OA边上离点O最近的一个四等分点．若＝，＝，则＝( )A.－－B.＋C.－－D.－4.已知函数在上单调递减，则实数的值可以是（）A．1B．-1C．-2D．-35.中国古代数学著作《算法统宗》中有这样一个问题：“三百七十八里关，初行健步不为难，次日脚痛减一半，六朝才得到其关，要见次日行里数，请公仔细算相还.”其意思为：“有一个人走378里路，第一天健步行走，从第二天起脚痛每天走的路程为前一天的一半，走了6天后到达目的地，请问第二天走了（）A．96里B．48里C．92里D．24里6.若的三个内角A、B、C满足,则（）A．一定是锐角三角形B．一定是直角三角形C．一定是钝角三角形D．可能是锐角三角形，也可能是钝角三角形7.函数y＝(a>1)的图象的大致形状是（）8\n(A) (B) (C) (D)8.下列四种说法中：①命题“存在”的否定是“对于任意”；②命题“且为真”是“或为真”的必要不充分条件；③已知幂函数的图象经过点，则的值等于；④已知向量，则向量在向量方向上的投影是．说法正确的个数是（）A．1B．2C．3D．49．已知函数，则的最小值等于（ ）A．B．C．D．10.已知数列，满足，,则数列的前项的和为（）A．B. C． D．11．已知函数，若方程有六个相异实根，则实数的取值范围（ ）A．（﹣2，0）B．（﹣2，﹣1）C．（，0）D．（，﹣1）12．已知函数恰有两个零点，则实数的取值范围是（）A.B.C.D.8\n二、填空题（每小题5分，满分20分）13．若，则当函数取得最小值时， 14．已知向量满足，记向量的夹角为，则_______．15.P，Q为△ABC所在平面内不同的两点．若3＋2＋＝0，3＋4＋5＝0，则S△PAB∶S△QAB＝________.16．设函数，若曲线上存在，使得成立，则实数的取值范围为________.三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17.(10分)已知函数，且的最小正周期为.(1)若，求的值；(2)求函数的单调递增区间．18.(12分)设数列满足，且对任意，函数满足.(1)求数列的通项公式；(2)若，求数列的前项和.8\n19．（12分）如图，在凸四边形中，为定点，为动点，满足.（1）写出与的关系式；（2）设的面积分别为和，求的最大值.20．（12分）已知各项均为正数的数列，满足，（）．（1）求数列的通项公式；（2）求数列前项和．21.（12分）已知函数，其中为常数，为自然对数的底数.（1）求的单调区间；（2）若，且在区间上的最大值为，求的值；8\n22.（12分）已知函数．（1）求的单调区间和极值；（2）若对于任意的，都存在，使得，求的取值范围．南康中学2022～2022学年度第一学期高三第三次大考数学（理）参考答案一、选择题（每小题5分，共60分）1-5BBABA6-10CCAAD11-12DC11、令t=f（x），则原函数方程等价为．作出函数f（x）的图象如图：图象可知当由0＜t＜1时，函数t=f（x）有3个交点．所以要使有六个相异实根，则等价为有两个根t1，t2，且0＜t1＜1，0＜t2＜1．令，则由根的分布可得，即，即，解得，则实数的取值范围是．故选：D．二、填空题（每小题5分，满分20分）13、514、15、16、三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17、解 (1)因为g(x)＝sin(ω>0)的最小正周期为π，所以＝π，解得ω＝2.由f(α)＝，得cos2α＝，即cos2α＝，所以2α＝2kπ±，k∈Z.8\n因为α∈[－π，π]，所以α∈.(2)函数y＝f(x)＋g(x)＝cos2x＋sin＝cos2x＋sin2xcos－cos2xsin＝sin2x＋cos2x＝sin，由2kπ－≤2x＋≤2kπ＋，k∈Z，解得kπ－≤x≤kπ＋，k∈Z.所以函数y＝f(x)＋g(x)的单调递增区间为(k∈Z)．18．解 (1)由题设可得f′(x)＝an－an＋1＋an＋2－an＋1sinx－an＋2cosx.对任意n∈N*，f′＝an－an＋1＋an＋2－an＋1＝0，即an＋1－an＝an＋2－an＋1，故{an}为等差数列．由a1＝2，a2＋a4＝8，解得数列{an}的公差d＝1，所以an＝2＋1×(n－1)＝n＋1.(2)由bn＝2＝2＝2n＋＋2知，Sn＝b1＋b2＋…＋bn＝2n＋2·＋＝n2＋3n＋1－.19、解：（1）由余弦定理，在中，=，在中，。所以=，即………4分（2）………6分8\n………10分由题意易知，,所以当时，有最大值.……12分（没有考虑的范围扣1分）20.解：（1）因为，所以因为，所以（）．（2）由（1）知，所以，所以，①则，②①②得，，所以．21、解：（1）当时，恒成立，故的单调增区间为当时，令解得，令解得，故的单调增区间为，的单调减区间为………………8\n6分（2）由（1）知当，即时，在上单调递增，舍；当，即时，在上递增，在上递减，，得………………12分22、8
