南昌二中2022—2022学年度上学期期中考试高二数学(理科)试卷一、选择题（每小题5分，共60分。）1.抛物线y2＝－12x的准线方程是() A．x＝－3B．x＝3C．y＝3D．y＝－32.当时，方程所表示的曲线是（）A．焦点在轴的椭圆B．焦点在轴的双曲线C．焦点在轴的椭圆D．焦点在轴的双曲线3.若以双曲线（）的左、右焦点和点（1，）为顶点的三角形为直角三角形，则b等于（ ）A．B．1C．D．24.抛物线上一点到直线的距离最短的点的坐标是（）A．（1，1）B．C．D．（2，4）5.圆的极坐标方程为，圆心为，点的极坐标为，则()A.B．4C．2D．6.M是椭圆上一动点，F1和F2是左右焦点，由F2向的外角平分线作垂线，垂足为N，则N点的轨迹为()A.直线B．圆C．双曲线D．抛物线7.设椭圆（）的离心率为，右焦点F（c，0），方的两个根分别为x1，x2，则点P（x1，x2）在()A.圆内B．圆上C．圆外D．以上三种都有可能10\n8.过抛物线（）的焦点的直线与双曲线的一条渐近线平行，并交抛物线于A，B两点，若，且，则抛物线的方程为（ ）A．B．C．D．9.已知圆，是圆上任意一点，过点向轴作垂线，垂足为，点在线段上，且，则点的轨迹方程是（）A．B．C．D．10.分别是双曲线的左右焦点，过的直线与双曲线的左右两支分别交于两点．若为等边三角形，则的面积为（）A.8B.C.D.1611.在直角坐标系中,抛物线的焦点为,准线为，点是准线上任一点，直线交抛物线于，两点，若，则的面积()A.4B.C.D.12.设双曲线（，）的右焦点为，过点作与轴垂直的直线交两渐近线于，两点，且与双曲线在第一象限的交点为，设为坐标原点，若（，），，则该双曲线的离心率为（）A．B．C．D．二、填空题（每小题5分，共20分。）13.点关于直线的对称点是______.10\n14.已知双曲线（a＞0，b＞0）的两条渐近线均和圆相切，且双曲线的右焦点为圆的圆心，则该双曲线的方程为_____.15.设分别是椭圆的左、右焦点，过点的直线交椭圆于两点，若轴，则b的值为_____.16.已知有公共焦点的椭圆与双曲线中心为原点，焦点在轴上，左右焦点分别为，且它们在第一象限的交点为，是以为底边的等腰三角形．若，双曲线的离心率的取值范围为．则该椭圆的离心率的取值范围是．三、解答题（共70分）17.（本小题10分）已知的三个顶点(4,0），(8,10），(0,6）.（1）求AC边上的高所在的直线方程；（2）求过点且与点距离相等的直线方程。18.（本小题12分）在极坐标系中，极点为，已知曲线：与曲线：交于不同的两点，．（1）求的值；（2）求过点且与直线平行的直线的极坐标方程．10\n17.（本小题12分）已知动圆与定圆内切，与直线相切.（1）求动圆圆心的轨迹方程；（2）若是上述轨迹上一点，求到点距离的最小值．18.（本小题12分）设直线l：y=2x﹣1与双曲线（，）相交于A、B两个不同的点，且（O为原点）．（1）判断是否为定值，并说明理由；（2）当双曲线离心率时，求双曲线实轴长的取值范围．10\n17.（本小题12分）为抛物线的焦点，过点的直线与交于、两点，的准线与轴的交点为，动点满足．（1）求点的轨迹方程；（2）当四边形的面积最小时，求直线的方程．18.（本小题12分）如图，已知椭圆（）的离心率为，以该椭圆上的点和椭圆的左、右焦点，为顶点的三角形的周长为，一等轴双曲线的顶点是该椭圆的焦点，设为该双曲线上异于顶点的任一点，直线和与椭圆的交点分别为、和、．（1）求椭圆和双曲线的标准方程；（2）设直线、的斜率分别为、，证明为定值；（3）是否存在常数，使得恒成立？若存在，求的值；若不存在，请说明理由．10\n南昌二中2022—2022学年度上学期期中考试高二数学(理科)试卷参考答案1-12BDBADBAACCDA13.14.15．16．16.17.解：（1）.......5分（2）..........10分18.解：（1）∵，∴，又∵，可得,∴，圆心(0,0)到直线的距离为∴．........6分（2）∵曲线的斜率为1，∴过点且与曲线平行的直线的直角坐标方程为，∴直线的极坐标为，即．..........12分19.解：（Ⅰ）设动圆的圆心，10\n∵动圆与定圆内切，与直线相切，∴，化简得．........5分（Ⅱ）设，则，∴．......8分当时，时上式取得最小值，即取得最小值；当时，时上式取得最小值，即取得最小值． .....11分∴........12分20.【解答】解：（Ⅰ）为定值5．理由如下：y=2x﹣1与双曲线联立，可得（b2﹣4a2）x2+4a2x﹣a2﹣a2b2=0，（b≠2a），即有△=16a4+4（b2﹣4a2）（a2+a2b2）＞0，化为1+b2﹣4a2＞0，设A（x1，y1），B（x2，y2），则x1+x2=，x1x2=，由（O为原点），可得x1x2+y1y2=0，即有x1x2+（2x1﹣1）（2x2﹣1）=5x1x2﹣2（x1+x2）+1=0，即5•﹣2•+1=0，10\n化为5a2b2+a2﹣b2=0，即有=5，为定值．......6分（Ⅱ）由双曲线离心率时，即为＜＜，即有2a2＜c2＜3a2，由c2=a2+b2，可得a2＜b2＜2a2，即＜＜，由=5，可得＜﹣5＜，化简可得a＜，则双曲线实轴长的取值范围为（0，）．.......12分21.解：（I）抛物线y2=4x的焦点为F（1，0），∴E（﹣1，0）．设直线l的方程为x﹣my﹣1=0．联立方程组，消元得：y2﹣4my﹣4=0．设A（x1，y1），B（x2，y2），P（x，y），则y1+y2=4m，x1+x2=m（y1+y2）+2=4m2+2．∴AB的中点坐标为M（2m2+1，2m）．∵=+=2，∴M为EP的中点．∴，∴，即y2=4x﹣12．∴点P的轨迹方程为y2=4x﹣12．........6分（II）由（I）得y1+y2=4m，y1y2=﹣4．∴|AB|===4（m2+1）．E到直线l：x﹣my﹣1=0的距离d=，∴S△ABE=•|AB|•d=4，∵=+，∴四边形EAPB是平行四边形，10\n∴平行四边形EAPB的面积S=2S△ABE=8．∴当m=0时，S取得最小值8．此时直线l的方程为x﹣1=0．.........12分22.解：（Ⅰ）由题意知，椭圆离心率为=，得，又2a+2c=，所以可解得，c=2，所以b2=a2﹣c2=4，所以椭圆的标准方程为；所以椭圆的焦点坐标为（±2，0），因为双曲线为等轴双曲线，且顶点是该椭圆的焦点，所以该双曲线的标准方程为．.......2分（Ⅱ）设点P（x0，y0），则k1=，k2=，∴k1•k2==，又点P（x0，y0）在双曲线上，∴，即y02=x02﹣4，∴k1•k2==1．.........6分（Ⅲ）假设存在常数λ，使得得|AB|+|CD|=λ|AB|•|CD|恒成立，则由（II）知k1•k2=1，∴设直线AB的方程为y=k（x+2），则直线CD的方程为y=（x﹣2），由方程组消y得：（2k2+1）x2+8k2x+8k2﹣8=0，设A（x1，y1），B（x2，y2），则由韦达定理得，，10\n∴AB==，同理可得CD===，∵|AB|+|CD|=λ|AB|•|CD|，∴λ==﹣==，∴存在常数λ=，使得|AB|+|CD|=λ|AB|•|CD|恒成立．......12分10
