宜春九中2022届高一上学期第四次数学周练试卷考试时间：100分；总分：100分一、选择题（本大题共12小题，共48.0分）1．已知全集，集合，则等于A.B.C.D.2．已知，则的大小关系为A.B.C.D.3．已知函数对任意恒有成立，则实数a的取值范围是A.B.C.D.4．若一个圆锥的侧面展开图是面积为的半圆面，则该圆锥的母线与轴所成的角为A.B.C.D.5．如图中的几何体是由下面哪个三角形绕直线旋转所得到的A.B.C.D.6．用一个平行于圆锥底面的平面截这个圆锥，截得的圆台上、下底面的面积之比为1：16，截去的圆锥的母线长是3cm，则圆台的母线长是A.9cmB.10cmC.12cmD.15cm7．如图，正方形的边长为2cm，它是水平放置的一个平面图形的直观图，则原平面图形的周长是．A．12B．16-13-C．D．8．已知某锥体的正视图和侧视图如图，则该锥体的俯视图不可能是A.B.C.D.9．已知：空间四边形ABCD如图所示，E、F分别是AB、AD的中点，G、H分别是上的点，且．，则直线FH与直线A.平行B.相交C.异面D.垂直10．正方体棱长为分别是棱的中点，则过三点的平面截正方体所得截面的面积为A.B.C.D. 11．四位好朋友在一次聚会上，他们按照各自的爱好选择了形状不同、内空高度相等、杯口半径相等的圆口酒杯，如图所示，盛满酒后他们约定：先各自饮杯中酒的一半设剩余酒的高度从左到右依次为，则它们的大小关系正确的是A.B.C.D.12．如图，在正方形ABCD中，E、F分别是BC、CD的中点，G是EF的中点，现在沿AE、AF及EF把这个正方形折成一个空间图形，使B、C、D三点重合，重合后的点记为H，那么，在这个空间图形中必有A.所在平面B. 所在平面C.所在平面D.所在平面二、填空题（本大题共3小题，共12.0分）-13-13．用a、b、c表示三条不同的直线，y表示平面，给出下列命题：若，则；若，则；若，则；若，则．其中真命题的序号是______．14．若一个正三棱柱的三视图如图所示，则这个正三棱柱的高和底面边长分别为______和______． （14题图）（15题图）15．如图是正方体的平面展开图，则在这个正方体中，以下四个判断中，正确的序号是______．与ED平行；与BE是异面直线；与BM成角；与BN是异面直线．三、解答题（本大题共4小题，共40.0分）16．计算：．17．直棱柱中，底面ABCD是直角梯形，为的中点求证：平面．求证：平面平面．-13- 18．已知函数是定义域在R上的奇函数，且．求实数a、b的值；判断函数的单调性，并用定义证明；解不等式：19．P是四边形ABCD所在平面外一点，ABCD是且边长为a的菱形，侧面PAD为正三角形，其所在平面垂直于底面ABCD．若G为AD边的中点，求证：平面APD；求证：． -13-宜春九中2022届高一上学期第四次数学周练试卷一、选择题（本大题共12小题，共48.0分）1.已知全集，集合，则等于A.B.C.D.【答案】A【解析】解：全集，集合或，，，．故选：A．先分别求出集合，从而求出，由此能求出．本题考查补集、交集的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意补集、交集定义的合理运用．2.已知，则的大小关系为A.B.C.D.【答案】C【解析】解：，．故选：C．利用，即可得出．本题考查了指数函数与对数函数的单调性，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．3.已知函数对任意恒有成立，则实数a的取值范围是A.B.C.D.【答案】C【解析】解：对任意恒有成立，即有在恒成立，由于，当且仅当取最小值2，则，即有．故选C．运用参数分离，得到在恒成立，对右边运用基本不等式，求得最小值2，解，即可得到．本题考查含参二次不等式恒成立问题可通过参数分离，运用基本不等式求最值，属于中档题．4.若一个圆锥的侧面展开图是面积为的半圆面，则该圆锥的母线与轴所成的角为A.B.C.D.【答案】A【解析】解：设圆锥的母线长为l，底面半径为r，圆锥的侧面展开图是面积为的半圆面，，即-13-，又圆锥的侧面积公式，，解得，即，则，．即圆锥的母线与圆锥的轴所成角的大小为，故选：A．根据圆锥侧面展开图是面积为的半圆面，可得圆锥的母线长，继而得到圆锥的底面半径，即可求出圆锥的母线与圆锥的轴所成角的大小．本题主要考查圆锥的侧面积的计算和应用，比较基础．A.B.C.D.1.如图中的几何体是由下面哪个三角形绕直线旋转所得到的【答案】B【解析】解：根据旋转体，可得是由绕直线旋转所得，故选B．本题考查旋转体，空间想象能力，比较基础．2.用一个平行于圆锥底面的平面截这个圆锥，截得的圆台上、下底面的面积之比为1：16，截去的圆锥的母线长是3cm，则圆台的母线长是A.9cmB.10cmC.12cmD.15cm 【答案】A【解析】解：截得的圆台上、下底面的面积之比为1：16，圆台的上、下底面半径之比是1：4，如图，设圆台的母线长为y，小圆锥底面与被截的圆锥底面半径分别是x、4x，根据相似三角形的性质得．解此方程得．所以圆台的母线长为9cm-13-．故选：A设圆台的母线长为y，小圆锥底面与被截的圆锥底面半径分别是x、4x，利用相似知识，求出圆台的母线长．考查圆锥与圆台的关系，考查计算能力．1.如图，正方形的边长为2cm，它是水平放置的一个平面图形的直观图，则原平面图形的周长是．A.12B.16C.D. 【答案】B【解析】解：由直观图可得原图如图所示，且，所以，所以周长为16，故选：B．根据题目给出的直观图的形状，画出对应的原平面图形的形状，求出相应的边长，则问题可求．本题考查了平面图形的直观图，考查了数形结合思想，解答此题的关键是掌握平面图形的直观图的画法，能正确的画出直观图的原图形．2.已知某椎体的正视图和侧视图如图，则该锥体的俯视图不可能是A.B.C.D.【答案】D【解析】解：对于A：边长为2的正四棱锥，可得正视图和侧视图一样，A正确．对于B：直径为2的圆锥，可得正视图和侧视图一样，B正确．对于C：底面为等腰直角三角形，边长为2的三棱锥，可得正视图和侧视图一样，C正确．对于D：三视图投影得到正视图，侧视图和俯视图等的三棱锥是没有的，不正确．故选D依次对各选项的正视图和侧视图判断可得答案．本题考查了三视图与空间几何体的投影关系，考虑空间想象能力，解决本题的关键是得到该几何体的形状．3.已知：空间四边形ABCD如图所示，E、F分别是AB、AD的中点，G、H分别是上的点，且．，则直线FH与直线A.平行B.相交C.异面D.垂直【答案】B-13-【解析】解：：四边形ABCD是空间四边形，E、F分别是AB、AD的中点，为三角形ABD的中位线且又．，∽，且在四边形EFHG中，即四点共面，且，四边形EFGH是梯形，直线FH与直线EG相交，故选B．由已知EF为三角形ABD的中位线，从而且，由．，得在四边形EFHG中，，即四点共面，且，由此能得出结论．本题考查的知识点是平行线分线段成比例定理，是基础题，根据已知条件，判断出且，是解答本题的关键．1.正方体棱长为分别是棱的中点，则过三点的平面截正方体所得截面的面积为A.B.C.D.【答案】D【解析】解：如图所示；取正方体棱AB、BC、的中点L、K、Q，连接、KQ、QP，则六边形PQKLNM是过三点的平面截正方体所得的截面，该六边形是正六边形，其边长为，其面积为．故选：D．根据题意，取正方体棱AB、BC、的中点L、K、Q，连接、KQ、QP，得出六边形PQKLNM-13-是所得的截面，求出该六边形的面积即可．本题考查了空间中的平行关系与平面公理的应用问题，是基础题．1.四位好朋友在一次聚会上，他们按照各自的爱好选择了形状不同、内空高度相等、杯口半径相等的圆口酒杯，如图所示，盛满酒后他们约定：先各自饮杯中酒的一半设剩余酒的高度从左到右依次为，则它们的大小关系正确的是A.B.C.D.【答案】A【解析】解：观察图形可知体积减少一半后剩余酒的高度最高为，最低为，故选A可根据几何体的图形特征，结合题目，选择答案．本题考查学生对几何图形的认识，观察图形的能力，是基础题．2.如图，在正方形ABCD中，E、F分别是BC、CD的中点，G是EF的中点，现在沿AE、AF及EF把这个正方形折成一个空间图形，使B、C、D三点重合，重合后的点记为H，那么，在这个空间图形中必有A.所在平面B. 所在平面C.所在平面D.所在平面【答案】B【解析】解：根据折叠前、后不变，平面EFH，B正确；过A只有一条直线与平面EFH垂直，不正确；平面平面，过H作直线垂直于平面AEF，一定在平面HAG内，不正确；不垂直于平面AEF不正确，D不正确．故选B本题为折叠问题，分析折叠前与折叠后位置关系、几何量的变与不变，可得HA、HE、HF三者相互垂直，根据线面垂直的判定定理，可判断AH与平面HEF的垂直．本题考查直线与平面垂直的判定，一般利用线线线面面面，垂直关系的相互转化判断．二、填空题（本大题共3小题，共12.0分）-13-1.用a、b、c表示三条不同的直线，y表示平面，给出下列命题：若，则；若，则；若，则；若，则．其中真命题的序号是______．【答案】【解析】解：由a、b、c表示三条不同的直线，y表示平面，知：若，则，故正确；若，则a与c相交、平行或异面，故不正确；若，则a与b相交、平行或异面；若，则，故正确．故答案为：．由a、b、c表示三条不同的直线，y表示平面，知：若，则；若，则a与c相交、平行或异面；若，则a与b相交、平行或异面；若，则．本题考查平面的基本性质及其推论，是基础题解题时要认真审题，仔细解答．2.若一个正三棱柱的三视图如图所示，则这个正三棱柱的高和底面边长分别为______和______．【答案】2；4【解析】解：由三视图可得棱柱的高侧视图的高底面的高侧视图的宽又底面是一个正三角形底面边长为4故答案：由三视图可知，主视图和侧视图的高即为正三棱柱的高，而侧视图的宽是底面的高，根据底面是一个正三角形，我们易求出底面边长．本题考查的简单几何体的三视图，由三视图判断几何体棱长、高与三视图中平面图形边长的关系是解答的关键．3.如图是正方体的平面展开图，则在这个正方体中，以下四个判断中，正确的序号是______．与ED平行；与BE是异面直线；与BM成角；与BN是异面直线．【答案】【解析】解：展开图复原的正方体如图，不难看出：与ED平行；错误的，是异面直线；与BE是异面直线，错误；是平行线；-13-与BM成；正确；与BM是异面直线正确．判断正确的答案为故答案为：将展开图复原为几何体，如图，根据正方体的几何牲，分别四个命题的真假，容易判断选项的正误，求出结果．本题考查异面直线的判定，异面直线及其所成的角，空间中直线与直线之间的位置关系，几何体的折叠与展开，考查空间想象能力，是基础题．三、解答题（本大题共4小题，共40.0分）1.计算：．【答案】解：．．【解析】利用有理指数幂的运算法则化简求解即可．利用对数的运算法则化简求解即可．本题考查对数运算法则以及有理指数幂的运算法则的应用，考查计算能力．2.直棱柱中，底面ABCD是直角梯形，为的中点求证：平面．求证：平面平面． 【答案】证明：直棱柱中，底面ABCD是直角梯形，为的中点四边形是平行四边形，，平面平面．平面．由知，-13-直棱柱由直棱柱性质得，，平面平面，平面平面．【解析】推导出四边形是平行四边形，从而，由此能证明平面．推导出，由此能证明平面平面．本题考查直线与平面平行、面面平行的证明，考查空间想象能力、运算求解能力，考查数形结合思想，是中档题．1.已知函数是定义域在R上的奇函数，且．求实数a、b的值；判断函数的单调性，并用定义证明；解不等式：．【答案】解：由题意可知定义域在R上的奇函数可得即：，解得：即实数、由函数在R上为增函数，证明：在R上任，且，则，，即函数在R上为增函数．不等式：．等价转化为：定义域在R上的奇函数又函数是R上的增函数，-13-由解得：原不等式的解集为【解析】根据定义域在R上的奇函数可得即可求解实数a、b的值；利用定义证明单调性．利用函数的单调性和奇偶性即求解不等式．本题主要考查函数的奇偶性，单调性的证明及运用，对数的计算能力，属于中档题．1.P是四边形ABCD所在平面外一点，ABCD是且边长为a的菱形，侧面PAD为正三角形，其所在平面垂直于底面ABCD．若G为AD边的中点，求证：平面APD；求证：． 【答案】证明：连接BD，由已知且四边形ABCD是菱形是正三角形，又G为AD边的中点平面ABCD又平面平面ABCD，平面平面平面APD连接PG，由侧面PAD为正三角形，G为AD边的中点由可知平面平面PBG，又平面．【解析】连接BD，根据条件可知是正三角形，而G为AD边的中点，则平面ABCD又平面平面ABCD，平面平面，根据面面垂直的性质定理可知平面APD；连接PG，由侧面PAD为正三角形，G为AD边的中点得到，再由可知平面，根据线面垂直的判定定理可知平面PBG，而平面PBG，根据线面垂直的性质可知．本小题主要考查直线与平面垂直的判定，以及线面垂直的性质等有关知识，考查空间想象能力、运算能力和推理论证能力，考查转化思想，属于基础题．-13-
