2022-2022学年第一学期12月月考高二文科数学试卷（考试时间：120分钟；分值：150分）第Ⅰ卷(选择题共60分)一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）1．某工厂有A、B、C三种不同型号的产品，这三种产品数量之比为2∶3∶5，现用分层抽样从中抽出一个容量为n的样本，该样本中A种型号产品有8件，那么这次样本的容量n是( )A．12B．16C．20D．402．一组数据的平均数是2.8，方差是3.6，若将这组数据中的每一个数据都加上60，得到一组新数据，则所得新数据的平均数和方差分别是( )A．57.2,3.6B．57.2,56.4C．62.8,63.6D．62.8,3.63．执行如图所示的程序框图，若输出的S＝88，则判断框内应填入的条件是( )A．k>7?B．k>6?C．k>5?D．k>4?4．点A为周长等于3的圆周上的一个定点，若在该圆周上随机取一点B，则劣弧AB的长度小于1的概率为( )A.B.C.D.5．中心在原点，焦点在x轴上的双曲线的一条渐近线经过点(4，－2)，则它的离心率为( )A.B.C.D.6．已知点M(1,0)，直线l：x＝－1，点B是l上的动点，过点B垂直于y轴的直线与线段BM的垂直平分线交于点P，则点P的轨迹是( )A．抛物线B．椭圆C．双曲线的一支D．直线7．已知x、y的取值如下表所示：x234y645如果y与x呈线性相关，且线性回归方程为＝bx＋，则b＝( )A.B．－C.D．18．下列命题中真命题的个数是( )①∀x∈R，x4＞x2；②若“p∧q”是假命题，则p，q都是假命题；③命题“∀x∈R，x3－x2＋1≤0”的否定是“∃x0∈R，x－x＋1＞0”．A．0B．1C．2D．39．函数f(x)＝(x－3)ex的单调递增区间是( )A．(－∞，2)B．(0,3)C．(1,4)D．(2，＋∞)10．实数x、y满足x2＋(y＋4)2＝4，则(x－1)2＋(y－1)2的最大值为( )A．30＋2B．30＋4C．30＋2D．30＋411．过点P(－1,0)的直线l与抛物线y2＝5x相切，则直线l的斜率为( )A．±B．±C．±D．±812．曲线y＝－在点M处的切线的斜率为( )A．－B.C．－D.第Ⅱ卷（共90分）二、填空题：（本大题共6小题，每小题5分，共30分，把最简答案填在答题卡横线上）13.从1,2,3,4,5这五个数中任取两个数，这两个数的和是奇数的概率为________．14．一位同学种了甲、乙两种树苗各1株，分别观察了9次、10次后，得到树苗高度的数据的茎叶图如图(单位：厘米)，则甲、乙两种树苗高度的数据的中位数之和是________．15．在某次法律知识竞赛中，将来自不同学校的学生的成绩绘制成如图所示的频率分布直方图．已知成绩在[60,70)的学生有40人，则成绩在[70,90)的有________人．16．已知双曲线－＝1(a＞0，b＞0)和椭圆＋＝1有相同的焦点，且双曲线的离心率是椭圆离心率的两倍，则双曲线的方程为________________．17．若命题“对∀x∈R，ax2－2ax－3>0不成立”是真命题，则实数a的取值范围是________．18．设椭圆＋＝1(a>b>0)上一点A关于原点的对称点为B，F为其右焦点，若AF⊥BF，且∠ABF＝，则椭圆的离心率为________．三．解答题（本大题共5小题，60分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）．19．(本题满分12分)某班主任统计本班50名学生放学回家后学习时间的数据，用条形图表示(如图)．(1)求该班学生每天在家学习时间的平均值；(2)该班主任用分层抽样方法(按学习时间分五层)选出10个学生谈话，求在学习时间为1个小时的学生中选出的人数；(3)假设学生每天在家学习时间为18时至23时，已知甲每天连续学习2小时，乙每天连续学习3小时，求22时甲、乙都在学习的概率．820．(本题满分12分)已知c>0，设命题p：函数y＝cx为减函数．命题q：当x∈时，函数f(x)＝x＋>恒成立．如果p或q为真命题，p且q为假命题，求c的取值范围．21．(本题满分12分)已知两点A(0,1)，B(2，m)，如果经过A与B且与x轴相切的圆有且只有一个，求m的值及圆的方程．22．(本题满分12分)在直角坐标系xOy中，点M到点F1(－，0)、F2(，0)的距离之和是4，点M的轨迹是C，直线l：y＝kx＋与轨迹C交于不同的两点P和Q.(1)求轨迹C的方程；(2)是否存在常数k，使以线段PQ为直径的圆过原点O？若存在，求出k的值；若不存在，请说明理由．823．(本题满分12分)已知函数f(x)＝＋，曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线方程为x＋2y－3＝0.(1)求a，b的值；(2)证明：当x>0，x≠1时，f(x)>.8高二12月月考文科数学答案1．D [解析]设三种产品的数量之和为2k＋3k＋5k＝10k，依题意有＝，解得n＝40.故选D.2．D [解析]平均数增加60，即62.8.方差＝(ai＋60)－(＋60)]2＝(ai－)2＝3.6.故选D.3．C [解析]第一次循环：k＝1＋1＝2，S＝2×0＋2＝2；第二次循环：k＝2＋1＝3，S＝2×2＋3＝7；第三次循环：k＝3＋1＝4，S＝2×7＋4＝18；第四次循环：k＝4＋1＝5，S＝2×18＋5＝41；第五次循环：k＝5＋1＝6，S＝2×41＋6＝88，满足条件则输出S的值，而此时k＝6，故判断框内应填入的条件是k>5，故选C.4．C [解析]点B可以在点A的两侧来取，距离点A的最远处时，AB的弧长为1，根据几何概率可知其整体事件是其周长3，则其概率是.故选C5．D [解析]设双曲线的标准方程为－＝1(a>0，b>0)，所以其渐近线方程为y＝±x，因为点(4，－2)在渐近线上，所以＝.根据c2＝a2＋b2，可得＝，解得e2＝，所以e＝，故选D6．A [解析]由点P在BM的垂直平分线上，故|PB|＝|PM|.又PB⊥l，因而点P到直线l的距离等于点P到点M的距离，所以点P的轨迹是抛物线．故选A.7．B [解析]因为＝3，＝5，又回归直线过点(，)，所以5＝3b＋，所以b＝－.8．B [解析]易知①当x＝0时不等式不成立，对于全称命题只要有一个情况不满足，命题即假，①错；②错，只需两个命题中至少有一个为假即可；③正确，全称命题的否定是特称命题．即只有一个命题是正确的，故选B.9．D [解析]f′(x)＝(x－3)′ex＋(x－3)(ex)′＝(x－2)ex，令f′(x)＞0，解得x＞2，故选D.10．B [解析](x－1)2＋(y－1)2表示圆x2＋(y＋4)2＝4上动点(x，y)到点(1,1)距离d的平方，因为－2≤d≤＋2，所以最大值为(＋2)2＝30＋4，故选B.11．C [解析]显然斜率存在不为0，设直线l的方程为y＝k(x＋1)，代入抛物线方程消去x得ky2－5y＋5k＝0，由Δ＝(－5)2－4×5k2＝0，得k＝±.故选C.12．B [解析]对y＝－求导得到y′＝＝，8当x＝时y′＝＝.13. [解析]从1,2,3,4,5这五个数中任取两个数，共有10种结果：(1,2)，(1,3)，(1,4)，(1,5)，(2,3)，(2,4)，(2,5)，(3,4)，(3,5)，(4,5)，其中两数之和为奇数的有6种，所以概率为P＝＝.14．52 [解析]根据茎叶图可得，观察甲树苗9次得到的树苗高度分别为：19,20,21,23,24,31,32,33,37；观察乙树苗10次得到的树苗高度分别为：10,10,14,24,26,30,44,46,46,47，则甲树苗高度的中位数为24，乙树苗高度的中位数为＝28，因此两数之和为24＋28＝52.15.25 [解析][60,70)的样本频率为0.04×10＝0.4，设样本容量为x，则＝0.4，所以x＝100，所以[70,90)之间的人数为100×(0.015＋0.01)×10＝25.16.－＝1 [解析]椭圆方程为＋＝1，则c2＝a2－b2＝7，即c＝，又双曲线离心率为椭圆离心率的2倍，所以双曲线的离心率为e＝，又c＝，所以a＝2，所以b2＝c2－a2＝7－4＝3，所以双曲线方程为－＝1.17．[－3,0] [解析]原命题是真命题，则ax2－2ax－3≤0恒成立，当a＝0时，－3≤0成立；当a≠0时，得解得－3≤a<0，故－3≤a≤0.18. [解析]设A(x0，y0)，则B(－x0，－y0)，而F(c,0)，依题意有|AF|＝|BF|，且AF⊥BF，所以解得所以由题意知A、B分别是椭圆的上下顶点，所以c＝b，所以c2＝b2＝a2－c2，解得e＝.19．[解答](1)平均学习时间为＝1.8(小时)．……4分(2)20×＝4.…………7分(3)设甲开始学习的时刻为x，乙开始学习的时刻为y，试验的全部结果所构成的区域为Ω＝{(x，y)|18≤x≤21,18≤y≤20}，面积SΩ＝2×3＝6.事件A表示“22时甲、乙正在学习”，所构成的区域为A＝{(x，y)|20≤x≤21,19≤y≤20}，面积为SA＝1×1＝1，这是一个几何概型，所以P(A)＝＝.………12分20．[解答]若命题p为真，则0<c<1，…………3分由2≤x＋≤知，要使q为真，需<2，即c>.……………6分若p或q为真命题，p且q为假命题，则p、q中必有一真一假，…………7分当p真q假时，c的取值范围是0<c≤；………9分当p假q真时，c的取值范围是c≥1.………11分8综上可知，c的取值范围是.…………12分21．[解答]设圆的方程为(x－a)2＋(y－b)2＝b2，…………1分则有：…………3分消去b得(1－m)a2－4a＋4＋m2－m＝0.…………4分当m＝1时，a＝1，所以b＝1，圆的方程为(x－1)2＋(y－1)2＝1；……………8分当m≠1时，由δ＝0得m(m2－2m＋5)＝0，所以m＝0，从而a＝2，b＝，圆的方程为(x－2)2＋2＝.……………12分综上知，m＝1时，圆的方程为(x－1)2＋(y－1)2＝1；m＝0时，圆的方程为(x－2)2＋2＝.……………12分22．[解答](1)∵点m到(－，0)，(，0)的距离之和是4，∴m的轨迹c是长轴长为4，焦点在x轴上，焦距为2的椭圆，其方程为＋y2＝1.……………4分(2)将y＝kx＋代入曲线c的方程，消去y，整理得(1＋4k2)x2＋8kx＋4＝0.①……………6分设p(x1，y1)，q(x2，y2)，由方程①，得x1＋x2＝－，x1x2＝.②……………7分又y1·y2＝(kx1＋)(kx2＋)＝k2x1x2＋k(x1＋x2)＋2.③若以pq为直径的圆过原点，则·＝0，所以x1x2＋y1y2＝0，………………………………………8分将②、③代入上式，解得k＝±.…………11分又因k的取值应满足δ>0，即4k2－1>0(*)，将k＝±代入(*)式知符合题意．∴k＝±.……12分23．[解答](1)∵f′(x)＝－，………………2分由题意知：即………………4分∴a＝b＝1.……………………………………6分(2)证明：由(1)知f(x)＝＋，所以f(x)－＝，…………………8分设h(x)＝2lnx－(x>0)，则…………………9分8当x≠1时，h′(x)<0，而h(1)＝0，故当x∈(0,1)时，h(x)>0，当x∈(1，＋∞)时，h(x)<0.得h(x)>0.从而，当x>0，x≠1时，f(x)－>0，即f(x)>.…………………12分8</c≤；………9分当p假q真时，c的取值范围是c≥1.………11分8综上可知，c的取值范围是.…………12分21．[解答]设圆的方程为(x－a)2＋(y－b)2＝b2，…………1分则有：…………3分消去b得(1－m)a2－4a＋4＋m2－m＝0.…………4分当m＝1时，a＝1，所以b＝1，圆的方程为(x－1)2＋(y－1)2＝1；……………8分当m≠1时，由δ＝0得m(m2－2m＋5)＝0，所以m＝0，从而a＝2，b＝，圆的方程为(x－2)2＋2＝.……………12分综上知，m＝1时，圆的方程为(x－1)2＋(y－1)2＝1；m＝0时，圆的方程为(x－2)2＋2＝.……………12分22．[解答](1)∵点m到(－，0)，(，0)的距离之和是4，∴m的轨迹c是长轴长为4，焦点在x轴上，焦距为2的椭圆，其方程为＋y2＝1.……………4分(2)将y＝kx＋代入曲线c的方程，消去y，整理得(1＋4k2)x2＋8kx＋4＝0.①……………6分设p(x1，y1)，q(x2，y2)，由方程①，得x1＋x2＝－，x1x2＝.②……………7分又y1·y2＝(kx1＋)(kx2＋)＝k2x1x2＋k(x1＋x2)＋2.③若以pq为直径的圆过原点，则·＝0，所以x1x2＋y1y2＝0，………………………………………8分将②、③代入上式，解得k＝±.…………11分又因k的取值应满足δ></c<1，…………3分由2≤x＋≤知，要使q为真，需<2，即c>
