2022—2022学年第一学期第一次月考高二数学试卷(时间：120分钟 满分：150分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．设△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若a2+b2-c2+ab=0，则角C＝()A.B.C.D.2．在△ABC中，AB＝5，BC＝6，AC＝8，则△ABC的形状是( )A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．非钝角三角形3．已知等差数列{an}中，a7＋a9＝16，a4＝1，则a12的值是( )A．15B．30C．31D．644．若等差数列{an}的前n项和为Sn,且S3=6，a1=4，则公差d=（）A．1B．5/3C．3D．-25．若等差数列{an}的前7项和为48，前14项和为72，则它的前21项和为A．96B．72C．60D.486.在数列{an}中，对任意n∈N*，都有an＋1－2an＝0(an≠0)，则等于A．1B.C.D.7．在△ABC中，AB＝5，BC＝7，AC＝8，则·的值为( )A．5B．－5C．15D．－158.在各项均为正数的等比数列{an}中，若a5a6＝9，则log3a1＋log3a2＋…＋log3a10等于( )A．12B．10C．8D．2＋log359．在△ABC中，若a＝6，b＝9，A＝45°，则此三角形有( )A．无解B．一解C．两解D．解的个数不确定10．在△ABC中，A＝120°，AB＝5，BC＝7，则的值为( )A.B.C.D.11.某种细菌在培养的过程中，每半小时分裂一次（一个分裂为两个），那么经过4.5小时，这种细菌由1个可繁殖成()个。7\nA．128B．256C．512D．102412.数列1,1＋2,1＋2＋22，…，1＋2＋22＋…＋2n－1，…前n项和等于( )A．2n＋1－nB．2n＋1－n－2C．2n－nD．2n二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中横线上)13．已知数列1，a1，a2,4成等差数列，1，b1，b2，b3,4成等比数列，则＝________. 14．若数列{an}为等比数列，且a1=2，S3=26，则公比q=。15.已知等差数列{an}，Sn表示前n项和，若a3+a9>0,S9<0,则S1，S2…Sn中最小的是。16．在△ABC中，若b＝2a，B＝A＋60°，则A＝________.三、解答题(本大题共6个小题，共70分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)ABCD17.(10分)17.在△ABC中，已知B=45°,D是BC边上的一点，AD=10,AC=14,DC=6，求AB的长.18.(12分)已知是首项为19，公差为-2的等差数列，为的前n项和.（1）求通项公式及；（2）设是首项为1，公比为3的等比数列，求数列的通项公式及其前n项和7\n19.在等比数列{an}中，an>0(n∈N*)，公比q∈(0,1)，且a1a5＋2a3a5＋a2a8＝25，又a3与a5的等比中项为2.(1)求数列{an}的通项公式；(2)设bn＝log2an，数列{bn}的前n项和为Sn，求数列{Sn}的通项公式及使Sn取的最大值时的n值。20．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且2b·cosA＝c·cosA＋a·cosC.(1)求角A的大小；(2)若a＝，b＋c＝4，求△ABC的面积．21.(12分)已知数列{an}满足,且，(1)求{an}的通项公式an.(2)若bn=4n－1，,求数列{bn·cn}的前n项和Tn.22.已知{an}是一个公差大于0的等差数列，且满足a3a6＝55，a4＋a5＝16.(1)求数列{an}的通项公式；(2)若数列{an}和数列{bn}满足等式：an＝＋＋＋…＋(n为正整数)，求数列{bn}的前n项和Sn.7\n高二第一学期数学月考题一选择题：CCADBDABADCB5.解析 依题意，得ap＝a1＋(p－1)d＝q，aq＝a1＋(q－1)d＝p，∴p－q＝(q－p)d，∴d＝－1，∴a1＝p＋q－1.∴ap＋q＝a1＋(p＋q－1)(－1)＝0.7.解析 在△ABC中，由余弦定理得cosB＝＝＝.∴·＝||·||cosB＝5×7×＝5.8.解析 由等比数列的性质，知a1·a2·a3…a10＝(a5·a6)5＝95＝310，∴log3a1＋log3a2＋…＋log3a10＝log3(a1·a2…a10)＝log3310＝10.12.解析 解法1：当a1＝1，a2＝3，a3＝7，…，an＝2n－1，∴Sn＝a1＋a2＋…＋an＝(2－1)＋(22－1)＋(23－1)＋…＋(2n－1)＝2＋22＋23＋…＋2n－n＝－n＝2n＋1－2－n.解法2：取n＝2，则S2＝4，排除A，C，取n＝3，则S3＝11，排除D.二填空题：13.214.3或-415.S516.30°15.解析 由B＝A＋60°，得sinB＝sin(A＋60°)＝sinA＋cosA.又由b＝2a，知sinB＝2sinA.∴2sinA＝sinA＋cosA.即sinA＝cosA.∵cosA≠0，∴tanA＝.∵0°<A<180°，∴A＝30°.三．解答题：17.解：在△ADC中，AD=10,AC=14,DC=6,由余弦定理得cos=,ABCDADC=120°,ADB=60°7\n在△ABD中，AD=10,B=45°,ADB=60°，由正弦定理得,AB=.18.解（1）因为是首项为19，公差为-2的等差数列，所以，即；，即.（2）因为是首项为1，公比为3的等比数列，所以，即，所以19.解 (1)∵a1a5＋2a3a5＋a2a8＝25，∴a＋2a3a5＋a＝25.又an>0，∴a3＋a5＝5.①又a3与a5的等比中项为2，∴a3a5＝4.②而q∈(0,1)，∴a3>a5.∴由①与②解得a3＝4，a5＝1.∴q2＝＝，q＝.∴a1＝16.∴an＝16×()n－1＝25－n.(2)bn＝log2an＝5－n，bn＋1－bn＝－1，b1＝4.∴数列{bn}是以b1＝4为首项，－1为公差的等差数列．∴Sn＝即Sn=.则当n=4或5时，Sn有最大值是10.所以n=4或5.20.解 (1)根据正弦定理及2b·cosA＝c·cosA＋a·cosC，7\n得2sinBcosA＝sinCcosA＋sinAcosC＝sin(A＋C)＝sinB.∵sinB≠0，∴cosA＝.∵0<A<π，∴A＝.(2)根据余弦定理得7＝a2＝b2＋c2－2bccos＝(b＋c)2－3bc，∵b＋c＝4，∴bc＝3.∵S＝bcsinA＝bcsin＝21.解 (1)由，，得，又，则则则，an+1=2n，，所以an＝2n-1(n∈N*)．(2)由(1)知=2n－1又bn=4n－1，bn·cn＝(4n－1)·2n－1，n∈N*，∴Tn＝3＋7×2＋11×22＋…＋(4n－1)×2n－1，2Tn＝3×2＋7×22＋…＋(4n－5)×2n－1＋(4n－1)×2n.∴2Tn－Tn＝(4n－1)×2n－[3＋4(2＋22＋…＋2n－1]＝(4n－5)2n＋5.故Tn＝(4n－5)2n＋5.22.(1)解法1：设等差数列{an}的公差为d，则依题意知d>0.由a4＋a5＝16，得2a1＋7d＝16.①由a3·a6＝55，得(a1＋2d)(a1＋5d)＝55.②由①得2a1＝16－7d，将其代入②得(16－3d)(16＋3d)＝220，即256－9d2＝220.∴d2＝4.又d>0，∴d＝2.代入①得a1＝1.∴an＝1＋2(n－1)＝2n－1.解法2：由等差数列的性质，得a4＋a5＝a3＋a6，∴由韦达定理，知a3，a6是方程x2－16x＋55＝0的根，解方程得x＝5，或x＝11.设公差为d，则由a6＝a3＋3d，得d＝.∵d>0，∴a3＝5，a6＝11，d＝＝2，a1＝a3－2d＝5－4＝1.7\n故an＝2n－1.(2)解法1：当n＝1时，a1＝，∴b1＝2.当n≥2时，an＝＋＋＋…＋＋，an－1＝＋＋＋，两式相减得an－an－1＝，∴bn＝2n＋1.因此bn＝当n＝1时，S1＝b1＝2；当n≥2时，Sn＝b1＋b2＋b3＋…＋bn＝2＋＝2n＋2－6.∵当n＝1时上式也成立．∴当n为正整数时都有Sn＝2n＋2－6.7
