2022—2022学年度第一学期期中考试高二年级理科数学试题第I卷（选择题，共60分）一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合，，则A．B．C．D．2．命题:“”的否定是A．B．C．D．3．在等比数列中，已知，则A．B．C．D．4．已知双曲线的一个焦点与抛物线的焦点重合，且其渐近线方程为，则该双曲线的标准方程为A． B． C． D．5．设是两条不同的直线，、是两个不同的平面，则下列说法正确的是A．若则B．若则C．若，则D．若则6．若下面框图所给的程序运行结果为,那么判断框中应填入的关于的条件是10\nA．B．C．D．7．已知菱形的边长为，，则A．B．C．D．8．已知三棱锥的所有顶点都在球的球面上，是边长为的正三角形，为球的直径，且，则此棱锥的体积为A． B． C． D．9．一只蚂蚁从正方体的顶点出发，经正方体的表面，按最短路线爬行到顶点的位置，则下列图形中可以表示正方体及蚂蚁最短爬行路线的正视图的是A．B．C．D．10．设满足约束条件，若目标函数的最大值为，则的最小值为10\nA． B． C． D．11．已知，符号表示不超过的最大整数，若函数有且仅有个零点，则的取值范围是A．B．C．D．12．已知椭圆，为其左、右焦点，为椭圆上除长轴端点外的任一点，的重心为，内心为，且有（其中为实数），则椭圆的离心率A．B．C．D．第II卷（非选择题，共90分）二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．某人午觉醒来，发现表停了，他打开收音机，想听电台整点报时，则他等待时间不多于分钟的概率为．14．某车间为了规定工时定额，需要确定加工零件所花费的时间，为此进行了5次试验．根据收集到的数据（如下表），由最小二乘法求得回归方程为．现发现表中有一个数据模糊看不清，请你推断出该数据的值为．15．点，实数是常数，是圆上两个不同点，是圆上的动点，若关于直线对称，则面积的最大值是．16．在下列给出的命题中，所有正确命题的序号为．①若，则与的夹角为锐角；10\n②对，若，则；③若实数满足，则的最大值为；④函数的图像关于点对称．三、解答题：本题共6小题，共70分．17．(本小题满分10分)函数的部分图象如图所示．（Ⅰ）写出的最小正周期及图中的值；（Ⅱ）求在区间上的最大值和最小值．18．（本小题满分12分）某校从高一年级学生中随机抽取40名学生，将他们的期中考试数学成绩（满分100分，成绩均为不低于40分的整数）分成六段：，，…，后得到如右图的频率分布直方图．（Ⅰ）求图中实数的值；（Ⅱ）若该校高一年级共有学生640人，试估计该校高一年级期中考试数学成绩不低于60分的人数；（Ⅲ）若从数学成绩在与两个分数段内的学生中随机选取两名学生，求这两名学生的数学成绩之差的绝对值不大于10的概率．19．（本小题满分12分）如图1，在直角梯形中，，，点为线段的中点，将沿折起，使平面10\n平面，得到几何体，如图2所示．（Ⅰ）求证：平面；（Ⅱ）求二面角的余弦值．图1图2ABCDM图1ABCDM图2ABCDM图1ABCDM图2ABCDM图1ABCDM图2ABCDM图1ABCDM图220．（本小题满分12分）数列的前项和为，且是和的等差中项，等差数列满足，．（Ⅰ）求数列、的通项公式；（Ⅱ）设，数列的前项和为，证明：.21．（本小题满分12分）已知向量，，，且、、分别为△的三边、、所对的角．10\n（Ⅰ）求角的大小；（Ⅱ）若，，成等差数列，且，求边的长．22．（本小题满分12分）已知椭圆与轴的正半轴相交于点，且椭圆上相异两点、满足直线,的斜率之积为．（Ⅰ）证明直线恒过定点，并求定点的坐标；（Ⅱ）求的面积的最大值．2022—2022学年度第一学期期中考试高二年级理科数学试题答案1．C2．C3．A4．B5．D6．C7．D8．A9．D10．D11．C12．B13．14．15．16．②③④17．解：（Ⅰ）f(x)的最小正周期为T＝＝π，x0＝，y0＝3.（Ⅱ）因为x∈，所以2x＋∈，于是当2x＋＝0，即x＝－时，f(x)取得最大值0；当2x＋＝－，即x＝－时，f(x)取得最小值－3.18．解：（Ⅰ）由于图中所有小矩形的面积之和等于1，所以，解得．（Ⅱ）根据频率分布直方图，成绩不低于60分的频率为10\n．由于该校高一年级共有学生640人，可估计该校高一年级数学成绩不低于60分的人数约为人．（Ⅲ）成绩在分数段内的人数为人，成绩在分数段内的人数为人，若从这6名学生中随机抽取2人，则总的取法有15．如果两名学生的数学成绩都在分数段内或都在分数段内，那么这两名学生的数学成绩之差的绝对值一定不大于10．如果一个成绩在分数段内，另一个成绩在分数段内，那么这两名学生的数学成绩之差的绝对值一定大于10．则所取两名学生的数学成绩之差的绝对值不大于10分的取法数为7．所以所求概率为．19．（Ⅰ）证明：由已知可得：，，由余弦定理从而，平面平面， 平面平面平面．（Ⅱ）解：取的中点,连接，，由题意知平面，，分别是，的中点，，，以为坐标原点，，，所在的直线分别为，，轴，建立如图所示的空间直角坐标系．由（Ⅰ）知，，设平面的法向量为，则有即取，得由题易知平面的法向量为所以二面角的余弦值为． ABCDM图1ABCDM图2ABCDM图1ABCDM图2ABCDM图1ABCDM图2ABCDM图1ABCDM图220．解：（Ⅰ）∵是和的等差中项，∴当时，，∴当时，，10\n∴，又，则∴数列是以为首项，为公比的等比数列，∴，．设的公差为，，，∴∴．（Ⅱ）∴∵,∴∴数列是一个递增数列，∴．综上所述，．21．解：（Ⅰ）对于，又，（Ⅱ）由，由正弦定理得，即10\n由余弦弦定理，，22．解：（Ⅰ）由椭圆的方程得，上顶点由题意知，，若直线的斜率不存在，则直线的方程为，故，且，因此，与已知不符，因此直线的斜率存在，设直线：，代入椭圆的方程得：………①因为直线与曲线有公共点，所以方程①有两个非零不等实根，所以，又，由，得即所以化简得：，故或，结合知，即直线恒过定点．（Ⅱ）由且得：或，10\n又，当且仅当，即时，的面积最大，最大值为．10
