高二年级第二次月考数学试题一、选择题（本大题共有12个小题，每个小题5分，共计60分）1．点P(a，b，c)到坐标平面xOy的距离是（）ABa+bCcD|c|2．若点(k,0)与(b,0)的中点为(-1,0)，则直线y=kx+b必定经过点A(1,-2)B．(1,2)C．(-1,2)D．(-1,-2)3.已知椭圆的标准方程x2+=1，则椭圆的焦点坐标为（）A(±，0)B(0,±)C(0，±3)D（±3,0）4.已知直线l1：（k－3）x+(4－k)y+1=0，与直线l2:2(k－3)x－2y+3=0平行，则k的值为（）A1或3B1或5C3或5D1或25.直线y=kx+3与圆(x－2)2+(y－3)2=4相交于M、N两点，若|MN|≥2，则k的取值范围是（）A[－，0]B[－,]C[－,]D[－，0]6.圆柱的一个底面积为S，侧面展开图是一个正方形，那么这个圆柱的侧面积是（）AπSB2πSC3πSD4πS7.直线cosθ·x+sinθ·y－1=0与圆x2+y2=1的位置关系是（）A相交B相切C相离D不能确定344正视图侧视图42俯视图8.设a、b是两条不同的直线，α、β是两个不同的平面，则下列四个命题：①若a⊥b，a⊥α，则b∥α；②若a∥α，α⊥β，则a⊥β；③若a⊥β，α⊥β，则a∥α；④若a⊥b，a⊥α，b⊥β，则α⊥β。其中正确的命题个数是（）A0个B1个C2个D3个9.一个几何体的三视图如图所示，则此几何体的体积是（）A．112B．80C．72D．6410.正四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，AB=3，BB1=4，长为1的线段PQ在棱AA1上移动，长为3的线段MN在棱CC1上移动，点R在棱BB1上移动，则四棱锥R-PQMN的体积是（）A6B10C12D不确定·A··BC11.如图所示，是一个无盖正方体盒子的表面展开图，A、B、C为其上的三个点,则在正方体盒子中，∠ABC等于（）A45°B60°C90°D120°6\n12．一条光线从点（-2，-3）射出，经y轴反射后与圆(x+3)2+(y-2)2=1相切，则反射光线所在直线的斜率为（）A-或-B-或-C-或-D-或-二、填空题（本大题共有4个小题，每个小题5分，共计20分）13.方程+=1表示焦点在y轴上的椭圆，则m的取值范围是______________.14.已知正四棱锥的体积为12，底面对角线的长为2,则侧面与底面所成的二面角等于______________.15．若直线l1:y=kx+1与l2:x－y－1＝0的交点在第一象限内，则k的取值范围是______________.16．在三棱锥A-BCD中，侧棱AB、AC、AD两两垂直，△ABC、△ACD、△ADB的面积分别为、、，则三棱锥A-BCD外接球的表面积为______________.三、解答题（本大题共有6个小题，其中第17题10分，其它小题每小题12分，共计70分）17.求满足下列条件的直线方程（1）过点(－2,3),且在两坐标轴上截距相等；（2）过点（2，－3），且到A（－1，1）和B(5，5)的距离相等。18.如图所示，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，∠ACB=90°，AB=2，BC=1，AA1=。（1）证明：A1C⊥平面AB1C1；（2）若D是棱CC1的中点，在棱AB上是否存在一点E，使DE∥平面AB1C1？证明你的结论。6\n19.已知圆C：（x－1）2+y2=9内有一定点P(2,2)，过点P作直线l交圆C于A、B两点.（1）当l经过圆心C时，求直线l的方程；（2）当弦AB被点P平分时，写出直线l的方程；（3）当直线l的倾斜角为45°时，求弦AB的长。20、如图（1）所示，已知矩形ABCD，AB=2AD=2a，E是CD边的中点，以AE为棱，将△DAE向上折起，将D折到D′的位置，使平面D′AE与平面ABCE成直二面角如图（2）所示。（1）求直线D′B与平面ABCE所成的角的正切值；（2）求四棱锥D′-ABCE的体积；（3）求异面直线AD′与BC所成的角。DECBA（1）D′ABCE（2）21、△ABC的顶点A固定，点A的对边BC的长是2a，边BC上的高的长是b，边BC沿一条定直线移动，求△ABC外心的轨迹方程。6\n22、如图，在Rt△ABC中，AC=BC,PA⊥平面ABC，PB与平面ABC成60°角（1）求证：平面PBC⊥平面PAC；（2）求二面角C-PB-A的正切值。APBC高二年级第二次月考数学答案一、选择题：DACCBDBBBABD二、填空题：13、(，25)14、60°15、-1＜k＜116、6π三、解答题17、解：（1）当所求直线过原点时满足题意，此时的直线方程为y=－x，即3x+2y=0；当所求直线不过原点时，设其方程为+=1，∵所求直线过点(－2,3),∴有+=1，解得a=1，∴所求直线的方程为x+y=1，即x+y－1=0。综上所述所求直线的方程为3x+2y=0或x+y－1=0。（2）当所求直线的斜率不存在时，直线的方程为x=2，此时点A和B到直线x=2的离都是3，∴满足题意。当所求直线的斜率存在时，设其斜率为k，则方程为kx－y－2k－3=0，由A和B到所求的直线的距离相等，∴有=，解得k=，∴所求6\n直线的方程为y+3=(x－2)。故所求直线的方程为x=2或2x－3y－13=0。18、证明：（1）∵∠ACB=90°，∴BC⊥AC.∵三棱柱ABC-A1B1C1是直三棱柱，∴BC⊥CC1.EDC1AA1CBB1·F∵AC∩CC1=C,∴BC⊥平面ACC1A1.∵AC1平面ACC1A1，∴BC⊥A1C.∵BC∥B1C1，∴B1C1∥A1C.在Rt△ABC中，AB=2，BC=1，∴AC=.∵AA1=∴四边形ACC1A1为正方形.∴A1C⊥AC1.∵B1C1∩AC1=C1，∴A1C⊥平面AB1C1。（2）在棱AB上存在点E，使得DE∥平面AB1C1。证明如下：取BB1的中点F，AB的中点E，连结DF、FE，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，BB1C1C为矩形，∵D是棱CC1的中点，∴DF∥B1C1，而B1C1平面AB1C1，∴DF∥平面AB1C1.在三角形ABB1中，E、F分别是AB、BB1的中点，∴EF∥AB1，而AB1平面AB1C1，∴EF∥平面AB1C1.又∵DF∩EF=F，∴平面DEF∥平面AB1C1.∵DE平面DEF，∴DE∥平面AB1C1.故存在点E为AB的中点满足题意。19、解：（1）由圆的方程可知圆心C的坐标为（1,0），∵直线l过点P(2，2),∴由两点式得所求直线l的方程为=,即2x－y－2=0.(2)∵弦AB被点P平分∴由圆的性质可知，直线l与CP垂直，而kCP==2,∴所求直线l的斜率为－，由点斜式得所求方程为y－2=－(x－2),即x+2y－6=0.(3)∵直线l的倾斜角为45°,∴直线l的斜率为1，∴直线l的方程为x－y=0,由点到直线的距离公式得圆心C到直线l的距离为，而圆的半径为3，∴有()2=32－()2=,∴|AB|=即弦AB的长为。20、解；（1）∵D′-AE-B是直二面角，∴平面D′AE⊥平面ABCE.作D′O⊥AE于O，连结OB,则D′O⊥平面ABCE，∴∠D′BO是直线D′B与平面ABCE所成的角.∵D′A=D′E=a，且D′O⊥AE于O，∠AD′E=90°∴O是AE的中点，∴AO=OE=D′O=a，∠D′AE=∠BAO=45°.∴在△AOB中，OB===a.∴在Rt△D′OB中，tan∠D′BO==a/a=.(2)∵四边形ABCE是直角梯形，∴SABCE=(a+2a)·a=a2.又∵D′O是四棱锥的高且D′O=a，∴VD′-ABCE=(a)(a2)=a3.(3)由图（1）可知BE⊥AE，∵D′-AE-B是直二面角，∴平面D′AE⊥平面ABCE.又AE是平面D′AE与平面ABCE的交线，∴BE⊥平面D′AE，∴BE⊥D′E,即△D′EB是直角三角形。又D′E=a,BE=a,∴D′B=a,取AB的中点F，和D′B的中点G，并连结EF、EG、FG，则EF∥BC,FG∥AD′,∴∠GFE就是异面直线AD′与BC所成的角。在△6\nEFG中EF=BC=a，FG=AD′=a,EG=D′B=a.∴△EFG是直角三角形，∴cos∠GFE==,∴异面直线AD′与BC所成的角为60°21解：如图，以BC边所在的定直线为x轴，以过A点与x轴垂直的直线为y轴，建立直角坐标系，则A点的坐标为（0,b）.设△ABC的外心为M（x，y），作MN⊥BC于N，则MN是边BC的垂直平分线.∵|BC|=2a，∴|BN|=a，|MN|=|y|.又M是△ABC的外心，∴M∈{M||MA|=|MB|}.而|MA|=.|MB|==∴=化简得所求轨迹方程为x2―2by+b2―a2=0（图在22题后）22、（1）证明：∵PA⊥平面ABC，BC证明：∵PA⊥平面ABC，BC平面ABC，∴BC⊥PA，又∵BC⊥AC，且AC∩PA=A，∴BC⊥平面PAC，而BC平面PBC，∴平面PBC⊥平面PAC；（2）解：取AB的中点D，过D作DE⊥PB交PB于E，连接CE，∵PA⊥平面ABC，∴平面PAB⊥平面ABC，∴CD⊥平面PAB，而PB平面PAB，∴PB⊥CD，∴∠CED就是二面角C-PB-A的平面角，EAPBCDyAOBNCMx令AC=2，则BC=2，在Rt△ABC中，AC=BC,∴AB=2，∴CD=，又∵PB与平面ABC成60°角，PA⊥平面ABC，∴∠PBA=60°，∴PB=4，PA=2，易知△PAB∽△DEB，∴DE=,在Rt△CDE中,tan∠CED===∴二面角C-PB-A的正切值为。22题图21题图，PA=2，易知△PAB∽△DEB，∴DE=,在Rt△CDE中,tan∠CED===∴二面角C-PB-A的正切值为。6
