河南省安阳市第一中学2022-2022学年高一上第二阶段考试数学试题一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）11.已知集合A={y|y=log2x，x＞1}，B={y|y=，x＞1}，则A∩B=（）11A.ݕݕ.C1ݕȁݕ.Bݕȁݕ1D..已知函数f（x）=ax5-bx3+cx-3，f（-3）=7，则f（3）的值为（）A.13B.1C.7D.7.函数f（x）=2x-1+log2x的零点所在区间是（）A.ȁ1B.1C.D.ǡ1ǡ.已知函数的定义域是R，则实数a的取值范围是（）11A.B.1ȁC.1ȁD.5.函数f（x）=（m2-m-1）是幂函数，且在x∈（0，+∞）上是减函数，则实数m=（）A.2B.1C.3D.2或16.函数f（x）=lg（4+3x-x2）的单调增区间为（）A.B.C.1D.ǡ7.已知方程x2+（m+2）x+m+5=0有两个正根，则实数m的取值范围是（）A.B.ǡC.5D.5ǡ8.设a，b是空间中不同的直线，α，β是不同的平面，则下列说法正确的是（）A.//，，则//B.，，//，则//C.，，//，则//D.//，，则//9.某几何体的三视图如图所示，其中正视图是边长为4的正三角形，俯视图是由边长为4的正三角形和一个半圆构成，则该几何体的体积为（）ǡǡ8A.8B.8C.ǡD.ǡ1ȁ.如图，在棱长为2的正方体ABCD-A1B1C1D1中，A1B1的中点是P，过点A1作截面PBC1平行的截面，则该截面的面积为（）1/17A.B.C.6D.4111.若1，当x∈[0，1]时，f（x）=x，若在区间（-1，1]内，g（x）=f（x）1-m有两个零点，则实数m的取值范围是（）111A.ȁB.C.ȁD.ȁ11.我国古代数学名著《九章算术》中有这样一些数学用语，“堑堵”意指底面为直角三角形，且侧棱垂直于底面的三棱柱，而“阳马”指底面为矩形且有一侧棱垂直于底面的四棱锥现有一如图所示的堑堵，AC⊥BC，若A1A=AB=2，当阳马B-A1ACC1体积最大时，则堑堵ABC-A1B1C1的外接球的体积为（）A.8B.1ǡC.D.ǡ二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）1.已知集合A={x|x2-3x+2=0}，B={x|x2-ax+3a-5=0}，若A∩B=B，则实数a的取值范围为______．1ǡ.把正方形ABCD沿对角线AC折起，当以A，B，C，D四点为顶点的三棱锥体积最大时，直线BD和平面ABC所成的角的大小为______．15.如图，圆锥顶点为P，底面圆心为O，过轴PO的截面△PABC为PA中点，PA=ǡ，PO=6，则从点C经圆锥侧面到点B的最短距离为______．16.已知函数f（x）=x2-4x+3，g（x）=mx+3-2m，若对任意x1∈[0，4]，总存在x2∈[0，4]，使f（x1）=g（x2）成立，则实数m的取值范围为______．三、解答题（本大题共6小题，共70.0分）51717.已知函数f（x）=2x+2ax+b，1，．ǡ（1）求a，b的值；（2）试判断并证明函数f（x）的奇偶性；（3）试判断并证明函数f（x）在区间[0，+∞）上的单调性并求f（x）的值域．18.如图，在四棱锥P-ABCD中，PD⊥底面ABCD，AB∥CD，AB=2，CD=3，M为PC上一点，且PM=2MC．（1）求证：BM∥平面PAD；（2）若AD=2，PD=3，，求三棱锥P-ADM的体积．19.已知二次函数f（x）的最小值为1，且f（x）=f（2-x），f（0）=3．（1）求f（x）的解析式；（2）在区间[-1，1]上，y=f（x）的图象恒在y=2x+2m+1的图象上方，试确定实数m的取值范围．ȁ.某公司生产一种电子仪器的固定成本为20000元，每生产一台仪器需增加投入1001ǡȁȁ，ȁǡȁȁ元，已知总收益满足函数：R（x）=，其中x是仪器的8ȁȁȁȁ，＞ǡȁȁ月产量．（注：总收益=总成本+利润）（1）将利润f（x）表示为月产量x的函数；（2）当月产量为何值时，公司所获利润最大？最大利润为多少元？/171.如图，四棱锥P-ABCD中，PA⊥底面ABCD，AB⊥AD，AC⊥CD，ABC=60°，PA=AB=BC，E是PC的中点．（1）求证：CD⊥AE；（2）求证：PD⊥面ABE；（3）求二面角E-AB-C的正切值．1.已知函数＞ȁ，1是定义域为R上的奇函数．（1）求实数t的值；（2）若f（1）＞0，不等式f（x2+bx）+f（4-x）＞0在x∈R上恒成立，求实数b的取值范围；1（3）若1且[1，+∞）上最小值为-2，求m的值．答案和解析1.【答案】A【解析】解：由题意可得：，∴．故选：A．由题意首先求得集合A和集合B，然后进行交集运算即可求得最终结果．本题考查了集合的表示方法，交集的定义及其运算等，重点考查学生对基础概念的理解和计算能力，属于中等题．2.【答案】B【解析】解：∵函数f（x）=ax5-bx3+cx-3，f（-3）=7，令g（x）=ax5-bx3+cx，则g（-3）=10，又g（x）为奇函数，∴g（3）=-10，故f（3）=g（3）-3=-13，故选：B．令g（x）=ax5-bx3+cx，则g（-3）=10，又g（x）为奇函数，故有g（3）=-10，故f（3）=g（3）-3．本题考查函数的奇偶性的应用，求函数值，令g（x）=ax5-bx3+cx，求出g（3）=-10，是解题的关键．3.【答案】A【解析】解：∵函数f（x）=2x-1+log2x，x→0+，f（0）→-∞，f（1）=1＞0，∴f（0）f（1）＜0，故连续函数f（x）的零点所在区间是（0，1），故选：A．由函数的解析式可得（1）=1，判断f（0）f（1）＜0，故连续函数f（x）的零点所在区间．本题考查函数零点的定义以及函数零点判定定理的应用，属于基础题．4.【答案】B【解析】5/17解：要使函数的定义域是R，则ax2+ax-3≠0对任意实数x都成立，当a=0时显然成立；当a≠0时，需△=a2+12a＜0，解得-12＜a＜0．综上，a的取值范围为-12＜a≤0．故选：B．把函数f（x）的定义域为R转化为ax2+ax-3≠0对任意实数x都成立，然后对a分类求解得答案．本题考查函数的定义域及其求法，考查数学转化思想方法，是中档题．5.【答案】A【解析】解：∵幂函数f（x）=（m2-m-1）xm2-2m-3，∴m2-m-1=1，解得m=2，或m=-1；∵f（x）为减函数，∴当m=2时，m2-2m-3=-3，幂函数为y=x-3，满足题意；当m=-1时，m2-2m-3=0，幂函数为y=x0，不满足题意；综上，幂函数y=x-3．所以m=2，故选：A．根据幂函数的定义，令m2-m-1=1，求出m的值，再判断m是否满足幂函数为减函数即可．本题考查了幂函数的定义与性质的应用问题，解题的关键是求出符合题意的m值．6.【答案】C【解析】解：设t=4+3x-x2，则由t=4+3x-x2＞0，得到x2-3x-4＜0，得-1＜x＜4，即函数的定义域为（-1，4），∵t=4+3x-x2=t=-（x-）2+，∴函数t=4+3x-x2在（-1，]上单调递增，此时函数f（x）函数单调递增，在[，4）上单调递减，此时函数f（x）函数单调递减，故函数的单调递增区间为（-1，]，故选：C．根据复合函数单调性之间的关系，即可得到结论．本题主要考查函数单调性和单调区间的求解，利用复合函数单调性之间的关系是解决本题的关键．7.【答案】D【解析】解：若方程x2+（m+2）x+m+5=0有两个正根x1，x2，由韦达定理（一元二次方程根与系数的关系）可得：x1+x2=-（m+2）＞0，x1•x2=m+5＞0解得：-5＜m＜-2，又由△＞0得，m＜-4，或m＞4，故：-5＜m＜-4故选：D．由方程x2+（m+2）x+m+5=0有两个正根，根据实数的性质，由韦达定理（一元二次方程根与系数的关系）可得，x1+x2＞0，x1•x2＞0，进而构造出m的不等式组，解不等式组，即可求出实数m的取值范围．本题考查的知识点是二次函数的性质，一元二次方程根与系数的关系，其中由韦达定理（一元二次方程根与系数的关系）结合已知，构造出关于m的不等式组，是解答本题的关键．8.【答案】D【解析】7/17解：由a，b是空间中不同的直线，α，β是不同的平面，知：在A中，a∥b，bα，则a∥α或aα，故A错误；在B中，aα，bβ，α∥β，则a与b平行或异面，故B错误；在C中，aα，bα，b∥β，则α与β相交或平行，故C错误；在D中，α∥β，aα，则由面面平行的性质定理得a∥β，故D正确．故选：D．在A中，a∥α或aα；在B中，a与b平行或异面；在C中，α与β相交或平行；在D中，由面面平行的性质定理得a∥β．本题两平面位置关系的判断，是基础题，解题时要认真审题，注意空间中线线、线面、面面间的位置关系的合理运用．9.【答案】A【解析】解：根据三视图得知：该几何体是由一个直三棱锥和一个半圆锥构成，该几何体的高为：，半圆锥的体积为：，半棱锥的体积为：，所以：V=，故选：A．直接利用三视图的复原图求出几何体的体积．本题考查的知识要点：三视图的应用．10.【答案】C【解析】解：在棱长为2的正方体ABCD-A1B1C1D1中，A1B1的中点是P，过点A1作截面PBC1平行的截面，则截面是一个对角线分别为正方体体对角线和面对角线的菱形，如下图所示：则EF=2，A1C=2，EF⊥A1C，则截面面积S=EF•A1C=2，故选：C．在棱长为2的正方体ABCD-A1B1C1D1中，A1B1的中点是P，过点A1作截面PBC1平行的截面，则截面是一个对角线分别为正方体体对角线和面对角线的菱形，进而得到答案．本题考查的知识点面面平行性质，四棱柱的结构特征，解答的关键是画出截面，并分析其几何特征．11.【答案】D【解析】解：当x∈（-1，0），x+1∈（0，1），∵当x∈[0，1]时，f（x）=x，∴f（x+1）=x+1∴=∴m=0时，在区间（-1，1]内，g（x）=f（x）有1个零点．①当x∈[0，1]时，要使g（x）=0有解，必须有g（0）g（1）≤0且m≠0，-m（1-m）≤0且m≠0，∴0＜m≤1②当x∈（-1，0）时，要使g（x）=0有解，必须有-1-m＜0，∴m＞-1综上所述：0＜m≤1故选：D．先求函数的解析式，再分段考虑函数的零点，即可得出结论本题考查函数的解析式，考查函数的零点，利用零点存在定理是关键．12.【答案】B【解析】9/17解：设AC=x，BC=y，由题意得x＞0，y＞0，x2+y2=4，∵当阳马B-A1ACC1体积最大，∴V=×2x×y=xy取最大值，∵xy≤=2，当且仅当x=y=时，取等号，∴当阳马B-A1ACC1体积最大时，AC=BC=，以CA、CB、CC1为棱构造长方体，则这个长方体的外接球就是堑堵ABC-A1B1C1的外接球，∴堑堵ABC-A1B1C1的外接球的半径R==，∴堑堵ABC-A1B1C1的外接球的体积V==．故选：B．设AC=x，BC=y，由阳马B-A1ACC1体积最大，得到AC=BC=，由此能求出堑堵ABC-A1B1C1的外接球的体积．本题考查几何体的外接球的体积的求法，考空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想，是中档题．13.【答案】[2，10）【解析】解：A={1，2}；∵A∩B=B；∴B⊆A；∴（1）B=∅时，方程x2-ax+3a-5=0无解；∴△=a2-4（3a-5）＜0；解得2＜a＜10；（2）B≠∅时，B={1}，或{2}，或{1，2}；①B={1}时，1-a+3a-5=0；∴a=2；∴B={x|x2-2x+1}={1}，满足题意；②B={2}时，4-2a+3a-5=0；∴a=1；∴B={x|x2-x-2=0}={-1，2}，不满足题意，即a≠1；③B={1，2}时，根据韦达定理；∴a∈∅；综上得，实数a的取值范围为[2，10）．故答案为：[2，10）．可解出A={1，2}，而根据A∩B=B即可得出B⊆A，从而可讨论B是否为空集：B=∅时，方程x2-ax+3a-5=0无解，从而△＜0，解出2＜a＜10；B≠∅时，可得出B={1}，B={2}或B={1，2}，可分别求出a的值，并验证是否满足题意，从而最后得出实数a的取值范围．考查描述法、列举法表示集合的定义，元素与集合的关系，一元二次方程无解时判别式△的取值情况，以及韦达定理．14.【答案】ǡ【解析】解：如图，当平面BAC⊥平面DAC时，三棱锥体积最大取AC的中点E，则BE⊥平面DAC，故直线BD和平面ABC所成的角为DBEcosDBE==，∴DBE=．故答案为：．当平面BAC⊥平面DAC时，三棱锥体积最大，由此能求出结果．本题考查直线与平面所成角的最大值的求法，是中档题，解题时要注意空间思维能力的培养．15.【答案】215【解析】解：如图，11/17沿圆锥母线PA剪开再展开，∵PA=4，PO=6，∴OA=2，则圆锥底面周长为4π，展开后所得扇形为半圆，B到B′处，则从点C经圆锥侧面到点B的最短距离为=2．故答案为：2．由题意画出图形，得到圆锥沿母线剪开再展开的图形，由勾股定理求解．本题考查旋转体表面上的最短距离问题，考查弧长公式的应用，是基础题．16.【答案】（-∞，-2]∪[2，+∞）【解析】解：∵f（x）=x2-4x+3=（x-2）2-1．g（x）=mx+3-2m．∴当x∈[0，4]时，f（x）∈[-1，3]，记A=[-1，3]．由题意，知m≠0，当m＞0时，g（x）=mx+3-2m在[0，4]上是增函数，∴g（x）∈[3-2m，2m+3]，记B=[3-2m，3+2m]．由题意，知A⊆B∴，解得：m≥2当m＜0时，g（x）=mx+3-2m在[0，4]上是减函数，∴g（x）∈[2m+3，3-2m]，记C=[2m+3，3-2m]．由题意，知A⊆C，∴此时m≤-2，综上所述，实数m的取值范围是（-∞，-2]∪[2，+∞）．故答案为：（-∞，-2]∪[2，+∞）．根据对任意的x1∈[0，4]，总存在x2∈[0，4]，使f（x1）=g（x2）成立，可得两个函数值域的包含关系，进而根据关于m的不等式组，解不等式组可得答案．本题考查的知识点是二次函数的图象和性质，存在性问题，是函数图象和性质的综合应用，其中存在性问题转化为值域的包含关系难度较大551117.【答案】解：（1）由，得，解得；17ǡ17ȁǡǡ（2）f（x）为实数集内的偶函数．证明如下：由（1）知f（x）=2x+2-x，定义域为R，∵f（-x）=2-x+2x=f（x），∴f（x）为偶函数；（3）f（x）在区间[0，+∞）上为增函数．证明如下：对任意x1，x2∈[0，+∞），设x1＜x2，则f（x1）-f（x2）=1111=1，1∵x2＞x1≥0，∴1＜ȁ，11＞ȁ，1＞ȁ，则f（x1）-f（x2）＜0，即f（x1）＜f（x2），∴f（x）在区间[0，+∞）上为增函数，又f（x）为偶函数，∴f（x）在区间（-∞，0]上是减函数，∴f（x）的最小值为f（0）=2．∴f（x）值域为[2，+∞）．【解析】（1）直接由已知列关于a，b的方程组求解；（2）利用函数奇偶性的定义证明；（3）利用函数单调性的定义证明，然后利用单调性求得函数值域．本题考查函数解析式的求解及常用方法，考查函数的单调性，奇偶性的判定及其应用，是中档题．18.【答案】（1）证明：法一、过M作MN∥CD交PD于点N，连接AN．∵PM=2MC，∴t．又∵，且AB∥CD，∴AB∥MN，AB=MN，则四边形ABMN为平行四边形，∴BM∥AN．又∵BM⊄平面PAD，AN平面PAD，∴BM∥平面PAD．法二、过点M作MN⊥CD于点N，N为垂足，连接BN．1/17由题意，PM=2MC，则DN=2NC，又∵DC=3，DN=2，∴AB=DN，AB∥DN，∴四边形ABND为平行四边形，则BN∥AD．∵PD⊥平面ABCD，DC平面ABCD，∴PD⊥DC．又MN⊥DC，∴PD∥MN．又∵BN平面MBN，MN平面MBN，BN∩MN=N；∵AD平面PAD，PD平面PAD，AD∩PD=D；∴平面MBN∥平面PAD．∵BM平面MBN，∴BM∥平面PAD；（2）解：过B作AD的垂线，垂足为E．∵PD⊥平面ABCD，BE平面ABCD，∴PD⊥BE．又∵AD平面PAD，PD平面PAD，AD∩PD=D．∴BE⊥平面PAD．由（1）知，BM∥平面PAD，∴M到平面PAD的距离等于B到平面PAD的距离，即BE．在△ABC中，AB=AD=2，，∴t．11∴△t．【解析】（1）法一、过M作MN∥CD交PD于点N，连接AN．由已知可得．又，且AB∥CD，可得AB∥MN，AB=MN，则四边形ABMN为平行四边形，得到BM∥AN．再由线面平行的判定可得BM∥平面PAD．法二、过点M作MN⊥CD于点N，N为垂足，连接BN．由已知可证得四边形ABND为平行四边形，则BN∥AD．由线面垂直的性质可得PD⊥DC．结合MN⊥DC，得到PD∥MN．再由面面平行的判定可得平面MBN∥平面PAD．从而得到BM∥平面PAD；（2）过B作AD的垂线，垂足为E．可得BE⊥平面PAD．由（1）知，BM∥平面PAD，可得M到平面PAD的距离等于B到平面PAD的距离，然后利用等积法求得三棱锥P-ADM的体积．本题考查直线与平面平行的判定，考查空间想象能力与思维能力，训练了利用等积法求多面体的体积，是中档题．19.【答案】解：（1）根据题意，f（x）是二次函数，且f（x）=f（2-x），则函数f（x）的对称轴为x=1，又由其最小值为1，设f（x）=a（x-1）2+1，又f（0）=3，则a+1=3，解可得a=2，则f（x）=2（x-1）2+1=2x2-4x+3，（2）根据题意，若2x2-4x+3＞2x+2m+1在[-1，1]上恒成立，化简得m＜x2-3x+1，设g（x）=x2-3x+1，则g（x）在区间[-1，1]上单调递减g（x）在区间[-1，1]上的最小值为g（1）=-1，则有m＜-1，故m的取值范围为（-∞，-1）．【解析】（1）用待定系数法先设函数f（x）的解析式，再由已知条件求解未知量即可（2）根据题意，将原问题转化为函数求最值问题，即可得到个关于变量m的不等式，解不等式即可本题考查待定系数法和二次函数的单调性和最值，须注意恒成立问题的转化；属于基础题．20.【答案】解：（1）由于月产量为x台，则总成本为20000+100x，1ȁȁȁȁȁȁ，ȁǡȁȁ从而利润f（x）=；6ȁȁȁȁ1ȁȁ，＞ǡȁȁ112（2）当0≤x≤400时，f（x）=300x--20000=-（x-300）+25000，∴当x=300时，有最大值25000；当x＞400时，f（x）=60000-100x是减函数，∴f（x）=60000-100×400＜25000．∴当x=300时，有最大值25000，即当月产量为300台时，公司所获利润最大，最大利润是25000元．【解析】（1）根据利润=收益-成本，由已知分两段当0≤x≤400时，和当x＞400时，求出利润函数的解析式；（2）根据分段函数的表达式，分别求出函数的最大值即可得到结论．本题主要考查函数的应用问题，根据条件建立函数关系，利用分段函数的表达式结合一元二次函数的性质求出函数的最值是解决本题的关键．21.【答案】解：（1）证明：∵PA⊥底面ABCD，CD面ABCD，∴CD⊥PA…………（1分）又CD⊥AC，PA∩AC=A，故CD⊥面PAC…………（2分）又∵AE面PAC，故CD⊥AE…………（3分）（2）证明：∵PA=AB=BC，ABC=60°，故AP=ACE是PC的中点，故AE⊥PC…………（4分）15/17由（1）知CD⊥AE，且PC∩CD=C，从而AE⊥面PCD，故AE⊥PD…………（5分）∵PA⊥底面ABCD，斜线PD在底面ABCD内的射影为AD，∵AB⊥AD，由三垂线定理得AB⊥PD…………（6分）又AE∩AB=A，∴PD⊥面ABE…………（7分）（3）过点E作EF⊥AC，垂足为F．过点F作FG⊥AB，垂足为G．连结EG…………（8分）∵PA⊥AC，∴PA∥EF，∴EF⊥底面ABCD且F是AC中点，∴EF⊥AB又FG∩EF=F，∴AB⊥面EGF，∴AB⊥EG，∴故EGF是二面角E-AB-C的一个平面角．…………（9分）设AC=a，则PA=BC=a，tᦙᦙ，从而ᦙܩᦙ香䁛6ȁȁ，…………（10分）ǡtᦙ故䁛tܩᦙ．…………（12分）ᦙܩ【解析】（1）证明CD⊥PA，结合CD⊥AC，然后证明CD⊥面PAC，推出CD⊥AE．（2）证明AE⊥PC，结合CD⊥AE，证明AE⊥面PCD，得到AE⊥PD，结合AB⊥PD，即可证明PD⊥面ABE．（3）过点E作EF⊥AC，垂足为F．过点F作FG⊥AB，垂足为G．连结EG，说明EGF是二面角E-AB-C的一个平面角，然后求解即可．本题考查直线与平面垂直的判定定理以及二面角的平面角的求法，考查空间想象能力以及计算能力．22.【答案】解：（1）∵f（x）是定义域为R的奇函数，∴f（0）=0，∴1+（1-t）=0，得t=2，111此时f（x）=，满足f（-x）=，f（x）为奇函数；1（2）由（1）知：f（x）=＞ȁ，1，1∵f（1）＞0，∴a-＜0，又a＞0且a≠1，∴a＞1，1∴f（x）=是R上的单调递增，又f（x）是定义域为R上的奇函数，∴f（x2+bx）+f（4-x）＞0⇔f（x2+bx）＞f（x-4）⇔x2+bx＞x-4．即x2+bx-x+4＞0在x∈R上恒成立，∴△=（b-1）2-16＜0，即-3＜b＜5，∴实数b的取值范围为（-3，5）．11（3）∵f（1）=，∴，解得a=2或a=-（舍去），1111∴h（x）=，12令u=f（x）=，则g（u）=u-2mu+2，1∵f（x）=在R上为增函数，且x≥1，∴u≥f（1）=，1∵h（x）=在[1，+∞）上的最小值为-2，∴g（u）=u2-2mu+2在[，）上的最小值为-2，∵g（u）=u2-2mu+2=（u-m）2+2-m2的对称轴为u=m，∴当m时，䁪香䁛，解得m=2或m=-2（舍去），175当m＜时，䁪香䁛，解得m=＞（舍去），ǡ1综上可知：m=2．【解析】（1）由已知可得f（0）=0，求得t值，已知f（x）为奇函数，则t值可求；（2）由f（x）的解析式可得f（x）=是R上的单调递增，结合奇偶性把不等式f（x2+bx）+f（4-x）＞0转化为关于x的一元二次不等式，由判别式小于0求得实数b的取值范围；（3））由f（1）=求得a值，则h（x）=，令u=f（x）=，则g（u）=u2-2mu+2，然后利用函数的单调性结合配方法求得f（x）在[1，+∞）上最小值，进一步求得m的值．本题考查函数恒成立问题，考查了函数性质的应用，考查逻辑思维能力与推理运算能力，属中档题．17/17
