偃师高级中学2022-2022学年高二下学期第二次月考数学（理）试题第I卷（共60分）一、选择题:本大题共12小题,每小题5分,共60分．在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的．1.若集合A={1，m2}，B={2，4}，则“m=2”是“A∩B”={4}的（）.A充分不必要条件B必要不充分条件C充要条件D既不充分也不必要条件2.已知且，则是的（）A充分而不必要条件B必要而不充分条件C充要条件D既不充分也不必要条件3.已知i为虚数单位，，则复数对应的点位于A第一象限B第二象限C第三象限D第四象限4.在的展开式中，的幂指数是整数的项共有（）A3项B4项C5项D6项5.如图的倒三角形数阵满足：（1）第行的，个数，分别是，，，…，；（2）从第二行起，各行中的每一个数都等于它肩上的两数之和；（3）数阵共有行．问：当时，第行的第个数是（）ABCD6.已知方程的三个实根可分别作为一椭圆，一双曲线．一抛物线的离心率，则的取值范围是（）7.某班选派7人参加两项公益活动，每项活动最多安排4人，则不同的安排方法有（）A、35种B、50种C、55种D、70种8\n8.某种元件的使用寿命超过1年的概率为0.6，超过2年的概率为0.3，则某使用寿命超过1年的元件还能继续使用1年的概率为（）A0.9B0.6C0.5D0.39.已知点是双曲线的左焦点，过且平行于双曲线渐近线的直线与圆交于点，且点在抛物线上，则该双曲线的离心率是（）ABCD10.点到图形上每一个点的距离的最小值称为点到图形的距离，那么平面内到定圆的距离与到定点的距离相等的点的轨迹不可能是（）A圆B椭圆C双曲线的一支D直线11.已知为定义在上的可导函数，且对于恒成立（为自然对数的底），则()ABCD与大小不确定12.设在区间[1,3]上为单调函数,则实数a的取值范围是()A[-,+∞)B(-∞,-3]C[-,]D(-∞,-3]∪[-,+∞)第II卷(共90分)二、填空题:本大题共4小题,每小题5分,共20分．12313.已知某随机变量的概率分布列如右表，其中，随机变量的方差，则.14.已知球的半径为2，相互垂直的两个平面分别截球面得两个圆．若两圆的公共弦长为2，则两圆的圆心距等于．15.已知点在曲线上，为曲线在点处的切线的倾斜角，则的取值范围是。8\n16．抛物线的焦点为，在抛物线上，且，弦的中点在其准线上的射影为，则的最大值为___.三、解答题:本大题共6小题,共70分．解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤．17.(本题满分10分)已知命题p:“”，命题q:“”若命题“p且q”是真命题，求实数a的取值范围.18.（本小题满分12分）袋中有大小相同的个编号为、、的球，号球有个，号球有个，号球有个．从袋中依次摸出个球，已知在第一次摸出号球的前提下，再摸出一个号球的概率是．（Ⅰ）求、的值；（Ⅱ）从袋中任意摸出个球，记得到小球的编号数之和为，求随机变量的分布列和数学期望．19.(本题满分12分)已知函数(a∈R).(Ⅰ)若函数f(x)在R上单调，求a的值；(Ⅱ)若函数f(x)在区间[0，2]上的最大值是5，求a的取值范围.20.(本题满分12分)已知四棱锥P-ABCD的直观图（如图(1)）及左视图（如图(2)），底面ABCD是边长为2的正方形，平面PAB⊥平面ABCD，PA=PB。(1)求证：AD⊥PB；(2)求异面直线PD与AB所成角的余弦值；(3)求平面PAB与平面PCD所成锐二面角的大小.8\n22.（本小题满分12分）已知函数（Ⅰ）求函数的最大值；（Ⅱ）若对任意，不等式恒成立，求实数的取值范围；（Ⅲ）若，求证：8\n河南省偃师高中2022-2022学年高二下学期第二次月考数学（理）试题答案一、二、13.14、15.16.三、17.提示：由命题“p且q”是真命题可知命题p与命题q都成立.则有，可解得19.(Ⅰ)解:,因为函数f(x)在R上单调,所以,即a=0.…………………(6分)(Ⅱ)解:因为,所以{f(x)}=max{f(1),f(2)}=max{3a2+3,5}=5,8\n即3a2+3≤5,解此不等式,得,所以a的取值范围是.……(12分)20.解：⑴取AB的中点O，连接PO，因为PA=PB，则PO⊥AB，又∵平面PAB⊥平面ABCD，平面PAB∩平面ABCD=AB，PO平面PAB，∴PO⊥平面ABCD，∴PO⊥AD，…………2分而AD⊥AB，PO∩AB=O，∴AD⊥平面PAB，∴AD⊥PB。…………4分21.（Ⅰ）设点，则的中点为∴∴（3分）∴直线的方程为：．（4分）（Ⅱ）假设在轴上存在点，使得为等边三角形．设直线为，则∴8\n∴（6分）∴中点为∴的中垂线为：（8分）∴点为∴到直线的距离（9分）∵（10分）∴∴∴存在点为．（12分）（Ⅱ）由条件得在上恒成立．设，则．当x∈(0,e)时，；当时，，所以，．要使恒成立，必须．另一方面，当时，，要使恒成立，必须．所以，满足条件的的取值范围是．………………8分8\n8
