2022年秋期五校第二次联考高二数学（文科）试题一．选择题（本题共12个小题，每小题5分，共60分）1.下列说法中，正确的是（ ）A．命题“若，则”的逆命题是真命题B．命题“存在”的否定是：“任意”C．命题“p或q”为真命题，则命题“p”和命题“q”均为真命题D．已知，则“”是“”的充分不必要条件2.已知a，b是实数，则“a=1且b=2”是“a2+b2﹣2a﹣4b+5=0”的（ ） A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件 C．充要条件D．既不充分也不必要条件3.已知条件，条件，且的必要不充分条件，则的取值范围是（ ）A． B． C． D．4.下列说法中错误的个数为 ( ) ①一个命题的逆命题为真，它的否命题也一定为真；②若一个命题的否命题为假，则它本身一定为真；③是的充要条件；④与是等价的；⑤“”是“”成立的充分条件。 A．2 B．3 C．4 D．55.已知椭圆（a＞b＞0）的左、右焦点分别为F1，F2，P是椭圆上一点，|PF1|=|F1F2|且cos∠PF2F1=，则椭圆离心率为（） A． B． C．D．-13-6.直线经过点P（1，1）且与椭圆交于A，B两点，如果点P是线段AB的中点，那么直线的方程为（ ） A．3x+2y﹣5=0B．2x+3y﹣5=0C．2x﹣3y+5=0D．3x﹣2y+5=07.设F为抛物线y2＝2x的焦点，A，B，C为抛物线上三点，若F为△ABC的重心，则的值为( )A．1 B．2 C．3 D．48.已知a＞b＞0，椭圆C1的方程为，双曲线C2的方程为，C1与C2的离心率之积为，则C2的渐近线方程为( )A. x±y＝0 B. x±y＝0 C. x±2y＝0 D.2x±y＝09.设P，Q分别为圆x2＋(y－6)2＝2和椭圆＋y2＝1上的点，则P，Q两点间的最大距离是( )A．5B.＋ C．7＋ D．610.椭圆的左、右焦点分别为、，弦过，若△ABF2的内切圆周长为π，A、B两点的坐标分别为和，则的值为(） A． B． C． D．11.抛物线y2=2px(p>0)焦点为F，准线为L，经过F的直线与抛物线交于A、B两点，交准线于C点，点A在x轴上方，AK⊥L，垂足为K，若|BC|＝2|BF|，且|AF|＝4，则△AKF的面积是 ( )A．4 B．3C．4 D．8-13- 12.已知两定点A(－2，0)和B(2，0)，动点P(x，y)在直线l：y＝x＋3上移动，椭圆C以A，B为焦点且经过点P，则椭圆C的离心率的最大值为( )A. B.C. D.二.填空题（20分）13.设命题,命题q:x2-(2a+1)x+a(a+1)≤0,若p是q的充分不必要条件,则实数a的取值范围是 .14.双曲线(a>0,b>0)的左、右焦点分别是F1、F2,过F1作倾斜角为30°的直线交双曲线右支于M点,若MF2⊥x轴,则双曲线的离心率为 . 15.已知点P是抛物线y2=2x上的一个动点，则点P到点（0，2）的距离与P到该抛物线准线的距离之和的最小值是____________16.如右图，正方形ABCD和正方形DEFG的边长分别为a，b(a＜b)，原点O为AD的中点，抛物线y2＝2px(p＞0)经过C，F两点，则＝________．-13-三．解答题（本题共70分，其中17题10分，18-22题每题12分）17.已知命题p：方程所表示的图形是焦点在y轴上的双曲线，命题q：方程4x2+4（m﹣2）x+1=0无实根，又p或q为真，p且q为假，求实数m的取值范围．（10分）18.设命题p:实数满足,其中;命题q：实数满足（1）若p命题中a=1，且p且q为真，求实数的取值范围；（2）若是q的必要不充分条件,求实数的取值范围.（12分）19.已知，命题p:“任意”，命题q:存在．⑴若命题p为真命题，求实数a的取值范围；⑵若命题p或q为真命题，命题p且q为假命题，求实数a的取值范围．（12分)20.已知抛物线y2＝4x截直线y＝2x＋m所得弦长AB＝3，(1)求m的值；2)设P是x轴上的一点，且△ABP的面积为9，求P的坐标-13- 21.F1，F2分别是椭圆C：(a＞b＞0)的左、右焦点，M是C上一点且MF2与x轴垂直，直线MF1与C的另一个交点为N.(1)若直线MN的斜率为，求C的离心率；(2)若直线MN在y轴上的截距为2，且|MN|＝5|F1N|，求a，b.（12分）22. 已知双曲线E：(a>0，b>0)的两条渐近线分别为l1：y＝2x，l2：y＝－2x.(1)求双曲线E的离心率．(2)如下图，O为坐标原点，动直线l分别交直线l1，l2于A，B两点(A，B分别在第一、四象限)，且△OAB的面积恒为8.试探究：是否存在总与直线l有且只有一个公共点的双曲线E？若存在，求出双曲线E的方程；若不存在，说明理由．（12分）-13-2022年秋期第二次月考高二数学(文科）试题答案一选择题BCBCB，BCADD，CB二填空题13.14. 15. 16.三解答题17. 答： 解：若p为真，则：；∴m＞2；若命题q为真，则：△=16（m﹣2）2﹣16＜0；∴1＜m＜3；由p∨q为真，p∧q为假知p，q一真一假；∴，或；∴解得m≥3，或1＜m≤2；∴m的取值范围是（1，2]∪[3，+∞）．·18.解（1）当时，:…………1分 ： …………2分又真，所以都为真 …………3分由 得………6分（2） …………7分: …………8分∴满足条件的解集A= -13-：B= 是的必要不充分条件 …………12分·19.解⑴因为命题， 令，根据题意，只要时，即可， ……4分也就是； ……7分 ⑵由⑴可知，当命题p为真命题时，， 命题q为真命题时，，解得 ……11分 因为命题为真命题，命题为假命题，所以命题p与命题q一真一假， 当命题p为真，命题q为假时，， 当命题p为假，命题q为真时，， 综上：或． ……14分20.-13-故点P的坐标为(5,0)或(－1,0)·21.解：(1)根据，2b2＝3ac.将b2＝a2－c2代入2b2＝3ac，解得＝，＝－2(舍去)．故C的离心率为.-13-(2)由题意知，原点O为F1F2的中点，MF2∥y轴，所以直线MF1与y轴的交点D(0，2)是线段MF1的中点，故＝4，即b2＝4a.①由|MN|＝5|F1N|得|DF1|＝2|F1N|.设N(x1，y1)，由题意知y1<0，则解得a＝7，b2＝4a＝28，故a＝7，b＝2.22.解：方法一：(1)因为双曲线E的渐近线分别为y＝2x，y＝－2x，所以＝2，所以故c＝a，从而双曲线E的离心率e＝＝.(2)由(1)知，双曲线E的方程为－＝1.设直线l与x轴相交于点C.当l⊥x轴时，若直线l与双曲线E有且只有一个公共点，则|OC|＝a，|AB|＝4a.又因为△OAB的面积为8，-13-所以|OC|·|AB|＝8，因此a·4a＝8，解得a＝2，此时双曲线E的方程为－＝1.若存在满足条件的双曲线E，则E的方程只能为－＝1.以下证明：当直线l不与x轴垂直时，双曲线E：－＝1也满足条件．设直线l的方程为y＝kx＋m，依题意，得k>2或k<－2，则记A(x1，y1)，B(x2，y2)．因为4－k2<0，所以Δ＝4k2m2＋4(4－k2)(m2＋16)＝－16(4k2－m2－16)．-13-又因为m2＝4(k2－4)，所以Δ＝0，即l与双曲线E有且只有一个公共点．因此，存在总与l有且只有一个公共点的双曲线E，且E的方程为－＝1.方法二：(1)同方法一．(2)由(1)知，双曲线E的方程为－＝1.设直线l的方程为x＝my＋t，A(x1，y1)，B(x2，y2)．依题意得－<m<.由设直线l与x轴相交于点c，则c(t，0)．由s△oab＝|oc|·|y1－y2|＝8，得|t|·＝8.所以t2＝4|1－4m2|＝4(1－4m2)．由得(4m2－1)y2＋8mty＋4(t2－a2)＝0.因为4m2－1<0，直线l与双曲线e有且只有一个公共点当且仅当δ＝64m2t2－16(4m2－1)(t2－a2)＝0，即4m2a2＋t2－a2＝0,>2或k<－2.由得(4－k2)x2－2kmx－m2＝0，因为4－k2<0，Δ>0，所以x1x2＝，又因为△OAB的面积为8，所以 |OA|·|OB|· sin∠AOB＝8，又易知sin∠AOB＝，所以化简得x1x2＝4.所以＝4，即m2＝4(k2－4)．由(1)得双曲线E的方程为－＝1，由得(4－k2)x2－2kmx－m2－4a2＝0.因为4－k2<0，直线l与双曲线E有且只有一个公共点当且仅当Δ＝4k2m2＋4(4－k2)(m2＋4a2)＝0，即(k2－4)(a2－4)＝0，所以a2＝4，所以双曲线E的方程为－＝1.当l⊥x轴时，由△OAB的面积等于8可得l：x＝2，又易知l：x＝2与双曲线E：－＝1有且只有一个公共点．-13-综上所述，存在总与l有且只有一个公共点的双曲线E，且E的方程为－＝1.-13-</m<.由设直线l与x轴相交于点c，则c(t，0)．由s△oab＝|oc|·|y1－y2|＝8，得|t|·＝8.所以t2＝4|1－4m2|＝4(1－4m2)．由得(4m2－1)y2＋8mty＋4(t2－a2)＝0.因为4m2－1<0，直线l与双曲线e有且只有一个公共点当且仅当δ＝64m2t2－16(4m2－1)(t2－a2)＝0，即4m2a2＋t2－a2＝0,>
