2022年秋期五校第二次联考高二数学（理科）试题一．选择题1.下列说法中，正确的是（ ）A．命题“若，则”的逆命题是真命题B．命题“存在”的否定是：“任意”C．命题“p或q”为真命题，则命题“p”和命题“q”均为真命题D．已知，则“”是“”的充分不必要条件2.已知a，b是实数，则“a=1且b=2”是“a2+b2﹣2a﹣4b+5=0”的（ ） A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件 C．充要条件D．既不充分也不必要条件3.已知条件，条件，且的必要不充分条件，则的取值范围是（ ）A． B． C． D．4.下列说法中错误的个数为 ( ) ①一个命题的逆命题为真，它的否命题也一定为真；②若一个命题的否命题为假，则它本身一定为真；③是的充要条件；④与是等价的；⑤“”是“”成立的充分条件。 A．2 B．3 C．4 D．55.点关于x轴的对称点的坐标为（ ）A． B． C． D．6.已知空间四边形OABC中，点M在线段OA上，且OM＝2MA，点N为BC的中点，设，则等于( )-10-A BC D7.已知向量＝(1，0，－1)，则下列向量中与成60°夹角的是( )A．（－1，1，0） B．（1，－1，0） C.（0，－1，1）D．（－1，0，1）8.已知向量＝(1,1,0)，＝(－1,0,2)，且与互相垂直，则k值是( )A．1 B. C. D.9.正方形ABCD边长为2，E、F分别是AB和CD的中点，将正方形沿EF折成直二面角(如图）M为矩形AEFD内一点，如果∠MBE=∠MBC，MB和平面BCF所成角的正切值为，那么点M到直线EF的距离为( )A． B.1 C. D.10.已知正四棱柱ABCD－A1B1C1D1中，AA1＝2AB，E为AA1中点，则异面直线BE与CD1所成角的余弦值为( )A． B. C. D.11.在四棱锥PABCD中,底面ABCD是正方形,侧棱PD⊥平面ABCD,AB=PD=a.点E为侧棱PC的中点,又作DF⊥PB交PB于点F.则PB与平面EFD所成角为( )A.30°B.45°C.60°D.90°12.如下图，矩形ABCD中，AB＝3，BC＝4，沿对角线BD将△ABD折起，使A点在平面BCD内的射影O落在BC边上，若二面角C－AB－D的大小为θ，则sinθ的值等于( )-10-A． B. C. D.二.填空题13.设命题,命题q:x2-(2a+1)x+a(a+1)≤0,若p是q的充分不必要条件,则实数a的取值范围是 .14. 如图所示，在空间直角坐标系中，有一棱长为a的正方体ABCO—A′B′C′D′，A′C的中点E与AB的中点F的距离为________．15. 三棱锥P-ABC中，D,E分别为PB，PC的中点，记三棱锥D-ABE的体积为V1，P-ABC的体积为V2，则＝________．16.如图所示，直三棱柱ABC—A1B1C1中，AB＝AC＝1，AA1＝2，∠B1A1C1＝90°，D为BB1的中点，则异面直线C1D与A1C所成角的余弦值为________．-10- 三：解答题:17.已知命题p：方程所表示的图形是焦点在y轴上的双曲线，命题q：方程4x2+4（m﹣2）x+1=0无实根，又p或q为真，p且q为假，求实数m的取值范围．（10分）18.设命题p:实数满足,其中;命题q：实数满足（1）若p命题中a=1，且p且q为真，求实数的取值范围；（2）若是q的必要不充分条件,求实数的取值范围.（12分）19.已知，命题p:“任意”，命题q:存在．⑴若命题p为真命题，求实数a的取值范围；⑵若命题p或q为真命题，命题p且q为假命题，求实数a的取值范围．（12分)20.（12分）四棱锥P－ABCD中，AB、AD、AP两两垂直，AB＝1，AD＝2，AP＝3，F为PC的中点，E为PD上，且PD＝3PE，(1)用表示(2)求的模．21.（12分）在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD是矩形，PA⊥平面ABCD，PA＝AD＝4，AB＝2，以AC的中点O为球心、AC为直径的球面交PD于点M.(1)求证：平面ABM⊥平面PCD；-10-(2)求直线CD与平面ACM所成的角的正弦值22.（12分）如图所示，PA⊥平面ABCD，△CAB为等边三角形，PA=AB，AC⊥CD，M为AC中点．（Ⅰ）证明：BM∥平面PCD；（Ⅱ）若PD与平面PAC所成角的正切值为，求二面角C﹣PD﹣M的正切值．-10-2022年秋期第二次月考高二数学(理科）试题答案选择题：BCBCC，BBDAC，DA填空题：13.14.15.16.简答题17. 答： 解：若p为真，则：；∴m＞2；若命题q为真，则：△=16（m﹣2）2﹣16＜0；∴1＜m＜3；由p∨q为真，p∧q为假知p，q一真一假；∴，或；∴解得m≥3，或1＜m≤2；∴m的取值范围是（1，2]∪[3，+∞）．18.解（1）当时，:…………1分 ： …………2分又真，所以都为真 …………3分由 得………6分（2） …………7分: …………8分-10-∴满足条件的解集A= ： 是的必要不充分条件 …………12分19.解⑴因为命题， 令，根据题意，只要时，即可 ……4分也就是 ……7分 ⑵由⑴可知，当命题p为真命题时，，命题q为真命题时，，解得 ……1０分因为命题为真命题，命题为假命题，所以命题p与命题q一真一假，当命题p为真，命题q为假时，，当命题p为假，命题q为真时，，综......12分 20。-10-２１.(1)依题设知，AC是所作球面的直径，则AM⊥MC.又因为PA⊥平面ABCD，则PA⊥CD，又CD⊥AD，所以CD⊥平面PAD，则CD⊥AM，所以AM⊥平面PCD，所以平面ABM⊥平面PCD.(2)如图所示，建立空间直角坐标系，则A(0,0,0)，P(0,0,4)，B(2,0,0)，C(2,4,0)，D(0,4,0)，M(0,2,2)；＝(2,4,0)，＝(0,2,2)，＝(－2,0,0)设平面ACM的一个法向量n＝(x，y，z)，由n⊥，n⊥，可得：，令z＝1，n＝(2，－1,1).设所求角为α，则sinα＝||＝.２２.解答：（Ⅰ）证明：因为M为等边△ABC的AC边的中点，所以BM⊥AC．-10-依题意CD⊥AC，且A、B、C、D四点共面，所以BM∥CD． …3分又因为BM⊄平面PCD，CD⊂平面PCD，所以BM∥平面PCD． …5分（Ⅱ）解：因为CD⊥AC，CD⊥PA，所以CD⊥平面PAC，故PD与平面PAC所成的角即为∠CPD．…7分不妨设PA=AB=1，则PC=．由于tan，所以CD=．…9分（方法一）在等腰Rt△PAC中，过点M作ME⊥PC于点E，再在Rt△PCD中作EF⊥PD于点F（图1所示）．因为ME⊥PC，ME⊥CD，所以ME⊥平面PCD，可得ME⊥PD．又EF⊥PD，所以∠EFM即为二面角C﹣PD﹣M的平面角． …1０分由题意知PE=3EC，ME=，EF==，所以tan∠EFM==，即二面角C﹣PD﹣M的正切值是．…1２分（方法二）以A点为坐标原点，AC为x轴，建立如图2所示的空间直角坐标系A﹣xyz．则P（0，0，1），M（，0，0），C（1，0，0），D（1，，0）．则，，．-10-若设=（x1，y1，z1）和=（x2，y2，z2）分别是平面PCD和平面PMD的法向量，则，可取．同理，得=（2，﹣，1）．…1０分所以cos＜＞==，故二面角C﹣PD﹣M的余弦值是，其正切值是．…1２分-10-
