浙江省余姚中学2022-2022学年高二数学上学期期中试题一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知椭圆与轴交于、两点，为椭圆上一动点（不与、重合），则（▲）A.B.C.D.2.下列命题一定正确的是（▲）A.三点确定一个平面B.依次首尾相接的四条线段必共面C.直线与直线外一点确定一个平面D.两条直线确定一个平面3.边长为的正方形，其水平放置的直观图的面积为（▲）A.B.1C.D.84.已知都是实数，那么“”是“”的（▲）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件5.已知方程表示焦点在轴上的椭圆，则实数的取值范围为（▲）A.B.C.D.6.设是两条不同的直线，是两个不同的平面，下列命题中为真命题的是（▲）A.B.C.D.7.一个正方体纸盒展开后如右图所示，在原正方体纸盒中有如下结论：①AB⊥EF；②AB与CM所成的角为60°；③EF与MN是异面直线；④MN∥CD．12\n其中正确的个数为（▲）个A.1B.2C.3D.48.如图，四边形是边长为1的正方形，平面，平面，且，为线段的中点．则下列结论中不正确的是（▲）A.B.平面C.平面平面D.平面平面9.已知是椭圆上的三个点，直线经过原点，直线经过椭圆右焦点，若，且，则椭圆的离心率是（▲）A.B.C.D.10.在正方体中，点为对角面内一动点，点分别在直线和上自由滑动，直线与所成角的最小值为，则下列结论中正确的是（▲）A.若，则点的轨迹为椭圆的一部分B.若，则点的轨迹为椭圆的一部分C.若，则点的轨迹为椭圆的一部分D.若，则点的轨迹为椭圆的一部分二、填空题：本大题共7小题，多空题每题6分，单空题每题4分，共36分.11.已知原命题为“若，则”,写出它的逆否命题形式：___▲___；它是___▲___.(填写”真命题”或”假命题”)．12.某几何体的三视图如右图所示，若俯视图是边长为2的等边三角形，则这个几何体的体积等于___▲___；表面积等于___▲___.12\n13.已知椭圆：，则其长轴长为___▲___；若为椭圆的右焦点，为上顶点，为椭圆上位于第一象限内的动点，则四边形的面积的最大值___▲___.14.已知椭圆:与动直线相交于两点,则实数的取值范围为___▲___；设弦的中点为，则动点的轨迹方程为___▲___.15.在四面体中，，，二面角的余弦值是，则该四面体外接球的表面积是___▲___.16.椭圆上一点.关于原点的对称点为，为其右焦点，若，设且，则该椭圆离心率的取值范围为___▲___.17.已知，，若对任意的，关于的不等式恒成立，则的最小值是___▲___.三、解答题：本大题共5小题，共74分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.18.已知条件：实数满足使对数有意义；条件：实数满足不等式.（1）若命题为真，求实数的取值范围；（2）若命题是命题的充分不必要条件，求实数的取值范围．19.如图，在四棱锥中，平面平面,,,是线段的中点.（1）求证：平面；（2）求与平面所成的角的正切值；（3）求二面角的余弦值.12\nyxACBDF2F120.设椭圆方程，是椭圆的左右焦点，以及椭圆短轴的一个端点为顶点的三角形是面积为的正三角形.（1）求椭圆方程；（2）过分别作直线，且，设与椭圆交于两点，与椭圆交于两点，求四边形面积的取值范围.BCEGAP21.如图，在三棱锥中，平面平面，，是重心，是线段上一点，且.（1）当平面时，求的值；（2）当直线与平面所成角的正弦值为时，求的值.22.如图，已知椭圆：的离心率为，是椭圆上一点。（1）求椭圆的方程；（2）若过点作圆：的切线分别交椭圆于两点，试问直线的斜率是否为定值？若是，求出这定值；若不是，说明理由.12\n期中卷参考答案一.选择题1．D2．【答案】C【解析】A：不共线的三点确定一个平面，故错误；B：空间四边形，不共面，故错误；C：正确；D：两条异面直线不能确定一个平面，故错误。3．【答案】C【解析】正方形的边长为，故面积为8，而原图和直观图面积之间的关系，故直观图的面积为8×=，故选：C．4．【答案】A【解析】试题分析：，满足，但，同样时，满足，但，因此“”是“”的既不充分也不必要条件．5．【答案】B【解析】方程，化为表示焦点在12\n轴上的椭圆，可得，解得，实数的取值范围为，故选B.6．【答案】A【解析】对于A：根据线面平行的性质可知，对；对于B：则或或故B错；对于C：则或或异面故C错；对于D：或异面故D错7．B8．【答案】C【解析】由题意，取中点，易知就是二面角的平面角，有条件可知，，所以平面与平面不垂直，故C错误。9．【答案】B【解析】设椭圆的另一个焦点为E，令|CF|=m，|BF|=|AE|=4m，|AF|=2a-4m，在直角三角形EAC中，4m2+（2a-4m+m）2=（2a-m）2，化简可得a=3m，在直角三角形EAF中，4m2+（2a-4m）2=（2c）2，即为5a2=9c2，可得e=．10．【答案】D【解析】由题意结合最小角定理可知，若直线与所成角的最小值为，则原问题等价于：已知圆锥的母线与底面的夹角为，圆锥的顶点为点，底面与平面平行，求圆锥被平面截得的平面何时为双曲线.由圆锥的特征结合平面与平面所成角的平面角为可知：当时截面为双曲线的一部分；当时截面为抛物线的一部分；当时截面为椭圆的一部分.一.填空题11.略;真命题12\n12.(1).，(2).【解析】由三视图可知，该几何体是如图所示的四棱锥图中长方体中为棱的中点，到的距离为，四棱锥体积为，四棱锥的表面积为，故答案为(1)，(2).13.【答案】(1).(2).【解析】由题意易得：长轴长为；四边形OBPF的面积为三角形OBF与三角形BFP的面积和，三角形OBF的面积为定值，要使三角形BFP的面积最大，则P到直线BF的距离最大，设与直线BF平行的直线方程为y=﹣x+m，联立，可得3x2﹣4mx+2m2﹣2=0．由△=16m2﹣4×3×（2m2﹣2）=0，解得m=．∵P为C上位于第一象限的动点，∴取m=，此时直线方程为y=﹣x+．则两平行线x+y=1与x+y﹣的距离为d=.．12\n∴三角形BFP的面积最大值为S=．∴四边形OAPF（其中O为坐标原点）的面积的最大值是=．故答案为：．14.15.【答案】【解析】因为所以，设的中点为，连接，则三角形的外心为在线段上，且，又三角形的外心为，又，所以平面，过垂直于平面的直线与过垂直于平面的直线交于点，则为四面体外接球的球心，又，所以，所以，设外接圆半径为，则，所以.16.【解析】已知椭圆焦点在x轴上，椭圆上一点A关于原点的对称点为点B，F为其右焦点，设左焦点为F1，则：连接AF，AF1，AF，BF所以：四边形AFF1B为长方形．根据椭圆的定义：|AF|+|AF1|=2a，∠ABF=α，则：∠AF1F=α．∴2a=2ccosα+2csinα，即a=（cosα+sinα）c，12\n由椭圆的离心率e===，由，,，sin（α+）∈[，1]，∈[，]，∈，17.【答案】4【解析】由题意可知，当时，有，所以，所以。点睛：本题考查基本不等式的应用。本题中，关于的不等式恒成立，则当时，有，得到，所以。本题的关键是理解条件中的恒成立。一.解答题18.解：(1)由对数式有意义得－2t2＋7t－5>0，解得1<t<，又p为假所以，或.(2)∵命题p是命题q的充分不必要条件，∴1<t<是不等式t2－(a＋3)t＋(a＋2)<0解集的真子集．法一：因为方程t2－(a＋3)t＋(a＋2)＝0两根为1，a＋2，故只需a＋2>，解得a>.即a的取值范围是.法二：令f(t)＝t2－(a＋3)t＋(a＋2)，因12\nf(1)＝0，故只需f<0，解得a>.即a的取值范围是.19.（Ⅰ）如图，取PA中点F，连结EF、FD，∵E是BP的中点，∴EF//AB且，又∵∴EFDC∴四边形EFDC是平行四边形，故得EC//FD又∵EC平面PAD，FD平面PAD∴EC//平面ADE（Ⅱ）取AD中点H，连结PH，因为PA＝PD，所以PH⊥AD∵平面PAD⊥平面ABCD于AD∴PH⊥面ABCD∴HB是PB在平面ABCD内的射影∴∠PBH是PB与平面ABCD所成角∵四边形ABCD中，∴四边形ABCD是直角梯形，设AB=2a，则，在中，易得，，又∵，∴是等腰直角三角形，∴∴在中，（Ⅲ）在平面ABCD内过点H作AB的垂线交AB于G点，连结PG，则HG是PG在平面ABCD上的射影，故PG⊥AB，所以∠PGH是二面角P-AB-D的平面角，由AB=2a，又∴，12\n在中，∴二面角P-AB-D的的余弦值为20.【答案】(1)(2)【解析】（I）由题设可得：，，，故椭圆方程为（2）当直线斜率不存在时，当直线斜率存在时，设直线，代入椭圆方程得：,则所以弦长:，设直线A.C的斜率为，不妨设，则，12\n综上，四边形A.BCD面积的取值范围是.21.（1）（2）22.（1）解得：（2）由题意：切线PA,PB斜率相反，且不为0，令PA的斜率为K，则PB的斜率为-K。PA的方程：假设，则有同理：所以AB的斜率即AB的斜率为定值.12
