浙江省杭州地区（含周边）重点中学2022-2022学年高二上学期期末联考数学（理）试题考生须知：1．本卷满分120分，考试时间100分钟；2．答题前，在答题卷密封区内填写班级、学号和姓名；座位号写在指定位置；3．所有答案必须写在答题卷上，写在试卷上无效；4．考试结束后，只需上交答题卷。一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分，每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．直线x＝－1的倾斜角和斜率分别是（▲）A．45°，1 B．90°，不存在C．135°，－1D．180°，不存在2.椭圆的焦点坐标为（▲）A.B.C.D.3．命题“若α＝，则tanα＝1”的逆否命题是（▲）A．若α≠，则tanα≠1B．若α＝，则tanα≠1C．若tanα≠1，则α＝D．若tanα≠1，则α≠4．设是两个不同的平面，是一条直线，以下命题正确的是（▲）A．若，，则B．若∥，∥，则C．若∥，，则D．若，∥，则5．已知两条直线与互相垂直，则的值为（▲）第6题图A．B．或C．或D．或6．已知三棱柱的侧棱与底面垂直，体积为-9-\n，底面是边长为的正三角形.若为底面的中心，则与平面所成角的大小为（▲）A．.B．C．D．7.双曲线与椭圆的离心率互为倒数，则（▲）第8题图A．B．C．D．8．如右图所示，正三棱锥中，分别是的中点，为上任意一点，则直线与所成的角的大小是（▲）A．B．C．D．随点的变化而变化9．设分别为双曲线的左、右焦点，若在双曲线的右支上存在点P，满足,且原点O到直线的距离等于双曲线的实半轴长，则该双曲线的渐近线方程为（▲）A．B．C．D．第10题图10．正四棱锥（底面是正方形，顶点在底面上的射影是底面中心）的底面边长为4，高为4，点E、F、G分别为SD,CD,BC的中点，动点P在正四棱锥的表面上运动，并且总保持PG∥平面AEF,动点P的轨迹的周长为（▲）A．B．C．D．二．填空题（共7小题，每小题4分，共28分）11．在空间直角坐标系中，若两点间的距离为10，则▲12．若棱长为3的正方体的顶点都在同一球面上，则该球的表面积为▲-9-\n第14题图13．下列命题：①一条直线在平面上的射影一定是直线；②在平面上的射影是直线的图形一定是直线；③两直线与同一个平面所成角相等，则这两条直线互相平行；④两条平行直线与同一个平面所成角一定相等。其中所有真命题的序号是▲14.某几何体三视图如图所示，则该几何体的体积为▲15．已知点在直线上，则的最小值为▲16.如图抛物线：和圆：，倾斜角为的直线经过的焦点，依次交，于四点，则的值为▲第16题图17．设，过定点A的动直线和过定点B的动直线交于点，则的最大值是▲三、解答题：（共4小题，共52分，解题应写出文字说明，证明过程或演算步骤.）18．（本题满分12分）已知方程（）表示双曲线。(Ⅰ)求实数的取值集合；(Ⅱ)设不等式的解集为，若是的充分不必要条件，求实数的取值范围。19．（本小题满分12分）已知坐标平面上一点M(x，y)与两个定点M1(26,1)，M2(2,1)，且-9-\n(Ⅰ)求点M的轨迹方程，并说明轨迹是什么图形；(Ⅱ)记(Ⅰ)中的轨迹为C，过点M(－2,3)的直线l被C所截得的线段的长为8，求直线l的方程．20．（本小题满分14分）如图，在四棱锥中，平面,四边形为平行四边形，,,,垂足为E．（Ⅰ）求证：平面平面；（Ⅱ）若二面角的大小为，求侧棱的长。21．（本小题满分14分）如图，已知椭圆的离心率为，过椭圆右焦点作两条互相垂直的弦与，当直线的斜率为0时，.（Ⅰ）求椭圆的方程；-9-\n（Ⅱ）求的取值范围。2022学年第一学期期末杭州七县市区重点中学高二（理科）数学学科参考答案一、选择题（共10小题，每小题4分，共40分）题号12345678910答案BCDDBBACAD二、填空题（共7小题，每小题4分，共28分）11．012．13．④14．15．216．117．4三、解答题（本大题共4小题，共52分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）18.（本题满分12分）已知方程（）表示双曲线。(Ⅰ)求实数的取值集合；(Ⅱ)设不等式的解集为，若是的充分不必要条件，求实数的取值范围。解：(Ⅰ)由题意：…………………（3分）可得集合…………………（6分）(Ⅱ)由题意：…………………（9分）∵是的充分不必要条件，∴或∴实数的取值范围：或…………………（12分）19（本小题满分12分）已知坐标平面上一点M(x，y)与两个定点M1(26,1)，M2(2,1)，且(Ⅰ)求点M的轨迹方程，并说明轨迹是什么图形；(Ⅱ)记(Ⅰ)中的轨迹为C，过点M(－2,3)的直线l被C所截得的线段的长为8，求直线l的方程．解：(Ⅰ)由题意，得＝5.，化简，得x2＋y2－2x－2y－23＝0………………（3分）即(x－1)2＋(y－1)2＝25.∴点M的轨迹方程是(x－1)2＋(y－1)2＝25，-9-\n轨迹是以(1,1)为圆心，以5为半径的圆．…………………（6分）(Ⅱ)当直线l的斜率不存在时，l：x＝－2，此时所截得的线段的长为2＝8，∴l：x＝－2符合题意．…………………（8分）当直线l的斜率存在时，设l的方程为y－3＝k(x＋2)，即kx－y＋2k＋3＝0，圆心到l的距离d＝，由题意，得()2＋42＝52，解得k＝.∴直线l的方程为x－y＋＝0，即5x－12y＋46＝0.综上，直线l的方程为x＝－2，或5x－12y＋46＝0…………………（12分）20．（本小题满分14分）如图，在四棱锥中，平面,四边形为平行四边形，,,,垂足为E．（Ⅰ）求证：平面平面；（Ⅱ）若二面角的大小为，求侧棱的长。解：（Ⅰ）……………………………………（2分）又∥平面,又平面,……（4分）又,平面又平面平面平面…………………（7分）（Ⅱ）方法一：以A为原点，以AB,AC,AP所在射线分别为的正半轴，建立空间直角坐标系。设，则,,,-9-\n,平面平面的一个法向量为………（9分）在中，，又,，可得………（10分）设平面的一个法向量为由，得，解得………（12分）二面角的大小为解得，故侧棱的长为。………………………（14分）方法二：平面，又二面角的大小为二面角的大小为………………………（10分）平面,为二面角的平面角，即………………（12分）,,在中，,,∽,-9-\n故侧棱的长为。………………………………………（14分）21．（本小题满分14分）如图，已知椭圆的离心率为，过椭圆右焦点作两条互相垂直的弦与，当直线的斜率为0时，.（Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）求的取值范围。[来源:]解：（Ⅰ）当直线的斜率为0时，直线垂直于轴，，，即，且，解得：所以椭圆方程为。…………………（6分）（Ⅱ）①当两条弦中一条斜率为0时，另一条弦的斜率不存在，由题意可知，；…………………（7分）②当两条弦斜率均存在且不为0时，设,设直线的方程为，则直线的方程为将直线的方程代入椭圆方程中，并整理得…………………（9分），-9-\n同理，…………………（11分）令，则所以，所以综合①②可知，的取值范围为。…………………（14分）备注：对于解答题的其他解法，请参照评分标准评分.-9-
