2022年下学期期中考试卷（高二数学）一、选择题：（5分10=50分）1．如果方程表示焦点在x轴上的椭圆，则实数a的取值范围是A．B．C．或D．或2．下列说法不正确的是A．圆柱的侧面展开图是一个矩形B．圆锥的过轴的截面是一个等腰三角形C．直角三角形绕它的一条边旋转一周形成的曲面围成的几何体是圆锥D．圆台平行于底面的截面是圆面3．若是实数，则“”是“”的A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分又不必要条件4．设为两条不重合的直线，为两个不同的平面，则下列结论成立的是A．若，且，则B．若，且，则C．若，则D．若，则5．如图某几何体的三视图中，其中主视图是边长为2的等边三角形，俯视图是半圆，则该几何体的体积是A．B．C．D．6．两个完全相同的长方体的长、宽、高分别为5厘米、4厘米、3厘米，把它们重叠在一起组成一个新长方体，在这些新长方体中，最长的对角线的长度是A．B．C．D．7．连结双曲线与的四个顶点的四边形面积为，连结四个焦点的四边形面积为，则的最大值是A．2B．4C．D．-7-\n8．的顶点为，，的内切圆圆心在直线上，则顶点C的轨迹方程是A.B.C.D.9．已知椭圆：，双曲线：，若以的长轴为直径的圆与的一条渐近线交于A、B两点，且椭圆与该渐近线的两交点将线段AB三等分，则的离心率是A．B．3C．D．510．已知正方体的棱长为1，在对角线上取点M，在上取点N，使得线段MN平行于对角面，则的最小值是A．B．C．D．二、填空题：(4分7=28分)11．已知一个正方形的水平放置直观图（用斜二测画法）是有一边长为4的平行四边形，则此正方形的面积是______。12．若线段AB长为4，其端点A、B分别在x轴、Y轴上移动，则AB的中点M的轨迹方程是_________。13．一个正方体的各顶点均在同一球的球面上，若该球的体积为，则该正方体的表面积为________.14．半径为10的球面上有A、B、C三点，且，则球心O到平面ABC的距离为_______.15．已知F是双曲线的左焦点，，P是双曲线右支上的动点，则的最小值是_________.16．若圆台的高是3，一个底面半径是另一个底面半径的2倍，母线与下底面所成的角是，则这个圆台的侧面积是___________.-7-\n17．已知是椭圆的两个焦点，A、B分别为该椭圆的左顶点、上顶点，点P在线段AB上，则的取值范围是________.三、解答题：（共72分）18．设命题p：已知点，直线与线段AB相交；命题q：函数的定义域为R。如果命题p、命题q有且仅有一个为真命题，求实数a的取值范围。19．已知分别是双曲线E：的左、右焦点，P是双曲线上一点，到左顶点的距离等于它到渐近线距离的2倍，（1）求双曲线的渐近线方程；（2）当时，的面积为，求此双曲线的方程。-7-\n20．如图，在正方体中，E、F分别是、CD的中点，（1）证明：；（2）求异面直线与所成的角；（3）证明：平面平面。21．如图是一个边长为的正三角形和半圆组成的图形，现把沿直线AB折起使得与圆所在平面垂直，已知点C是半圆的一个三等分点（靠左边一点），点E是线段PB上的点，（1）当点E是PB的中点时，在圆弧上找一点Q，使得平面；（2）当二面角的正切值为时，求BE的长。22．如图椭圆的上下顶点为A、B，直线：，点P是椭圆上异于点A、B的任意一点，连结AP并延长交直线于点N，连结BP并延长交直线于点M，设AP、BP所在直线的斜率分别为，若椭圆的离心率为，且过点，（1）求的值，并求最小值；（2）随着点P的变化，以MN为直径的圆是否恒过定点，若过定点，求出该定点坐标；若不过定点，请说明理由。-7-\n高二数学期中答案一、选择题：（5分10=50分）1．答案：D。解析：因为椭圆的焦点在x轴上，所以，解得或。2．答案：C。3．答案：A。4．答案：D。5．答案：B。6．答案：C。7．答案：C。易得，所以。8．答案：C。解析：由条件可得圆与x轴的切点为，由相切的性质得，因此点C的轨迹是以A、B为焦点的双曲线的右支。因为，得，所求的双曲线方程为。考虑到点C不在直线AB上，选答案C。9．答案：A。解析：由已知得，设OA的方程为，所以可设，进一步可得，得，所以AB的一个三分点坐标为，该点在椭圆上，所以，即，解得，从而有，解得。10．答案：A。解析：作于点，作于点，易证。设，则，在直角梯形，易得，当时，MN的最小值为。二、填空题：(4分7=28分)11．答案：16或64。12．答案：。13．答案：24。易得球的半径为，故正方体的对角线长为，从而得正方体的棱长为2，表面积为。14．解：6。15．答案：。解析：取双曲线的右焦点，由双曲线定义得，当且仅当、、三点共线，且点P在线段上时取最小值。16．答案：。解析：设上底半径为r，则下底半径为2r，由母线与下底面所成的角是，得，所以侧面积为。17．答案：。解析：设，则-7-\n三、解答题：（共72分）18．解：命题p为真命题，则命题q为真命题，则不等式恒成立，所以有时不可能，或，解得。根据题意，命题p和q一真一假，因此有a的取值范围是。19．解：（1）因为双曲线的渐近线方程为，则点到渐近线距离为（其中c是双曲线的半焦距），所以由题意知。又因为，解得，故所求双曲线的渐近线方程是。（2）因为，由余弦定理得，即。又由双曲线的定义得，平方得，相减得。根据三角形的面积公式得，得。再由上小题结论得，故所求双曲线方程是。20．解：（1）因为平面，所以。（2）取AB中点G，连接，因为F是CD的中点，所以GF、AD平行且相等，可证是平行四边形，所以。设与相交于点H，则是与所成的角。因为E是的中点，所以，即与所成的角是。（3）由上可知，，所以平面AED，从而得平面平面。21.解：（1）取圆弧CB的中点Q，AB的中点O，易证OQ//AC，OE//PA，得平面EOQ平面PAC，所以平面。（2）过C作AB的垂线交AB于G点，过G作直线AE的垂线交AE于H点，连CH，则即为二面角的平面角。因为，，在中可得。在-7-\n中，可解得。22．解：（1）因为，所以此椭圆的方程是。设点P的坐标为，有，所以。设，则，可得。不妨设，则，所以当且仅当时，的最小值为。（2）因为，则以M、N为直径的圆的方程为，即。因圆过定点，则有，解得，即定点为。-7-
