荆门市一中2022届高三8月月考数学（理）试题本试卷共2页，共23题。满分150分，考试用时120分钟。一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，满分60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1.下列函数的定义域与相同的是（）A．B．C．D．2.已知集合，则（）A.B.C.D.3.函数的最小值为（）A．3B．4C．6D．84.下列函数中为偶函数又在上是增函数的是（）A．B．C．D．5.已知，，，则下列不等关系正确的是（）A．B．C.D．6.下列说法正确的是（）A．“”是“函数是奇函数”的充要条件B．若为假命题，则为假命题C.已知角的终边均在第一象限，则“”是“”的充分不必要条件D．“若，则”是真命题107.已知函数，若，则的值为（）A．0B．3C．4D．58.已知奇函数满足，当时，，则的值为A．B．C．D．9.函数的图象可能是（）ABCD10．已知函数，则（）A．在单调递增B．在单调递减C．的图象关于直线对称D．的图象关于点对称11．已知奇函数满足，则（）A．函数是以2为周期的周期函数B．函数是以4为周期的周期函数C．函数是奇函数D．函数是偶函数12.已知偶函数，且，则函数在区间的零点个数为（）A．2022B．2022C.1010D．1008二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，满分20分13．若函数为偶函数，则实数__________．1014．已知函数，则不等式的解集是______．15．若函数的值域为，则实数的取值范围是__________．16．设函数，给出四个命题：①时，有成立；②﹥0时，方程，只有一个实数根；③的图象关于点（0,c）对称；④方程，至多有两个实数根.上述四个命题中所有正确的命题序号是__________．三、解答题：本大题共6小题，满分75分，解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤．17.（本小题满分12分）已知（1）是否存在实数，使是的充要条件，若存在，求出的范围；若不存在，请说明理由；（2）是否存在实数，使是的必要条件，若存在，求出的范围；若不存在，请说明理由；18．（本小题满分12分）已知是定义在上的偶函数，且时，．（2）求函数的表达式；（3）判断并证明函数在区间上的单调性．19．（本小题满分12分）10如图，梯形中，，平面平面.（1）求证：平面平面；（2）若，求与平面所成角的正弦值.20.（本小题满分12分）已知椭圆，其焦点为F1，F2，离心率为，若点P满足.（1）求椭圆C的方程；（2）若直线l：y＝＋m(，m∈R)与椭圆C交于A，B两点，O为坐标原点，△AOB的重心G满足：·＝－，求实数m的取值范围．21.（本小题满分12分）设函数f(x)＝ln(x＋a)＋x2.（1）若f(x)为定义域上的单调函数，求实数a的取值范围；（2）若g(x)＝ex＋x2－f(x)，当a≤2时，证明：g(x)>0.选做题：请考生从给出的22、23两题中任选一题作答，并用2B铅笔在答题卡上把所选的题号涂黑，注意所做题目必须与所涂题号一致，如果多选，则按所做的第一题计分。22．（本小题10分）[选修4—4：坐标系与参数方程]在直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数），以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为，曲线的极坐标方程为10（1）把曲线的参数方程化为极坐标方程；（2）曲线与曲线交于点、，与曲线交于点、，求23.（本小题10分）[选修4—5：不等式选讲]设函数.（1）当时，求不等式的解集；（2）若，求的取值范围.10荆门市一中2022届高三8月月考数学（理）试卷答案一、选择题：DDBBDDDCACBA二、填空题13．14．15.16．①②③三、解答题：（本大题共6小题，共75分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17解：（1）不存在，由得所以………………2分因为是的充要条件，所以所以所以不存在（2）由题意是的必要条件，则当时，即………………7分.当时，有，解之得故时，是的必要条件.（2）设，则，，因为函数为偶函数，所以有，即，所以．（3）设，，∵，∴，，∴，∴在为单调减函数．19.【解析】（1）证明：∵平面⊥平面，平面∩平面=，平面，，∴⊥平面.又平面,∴平面⊥平面.（2）设，∵四边形为等腰梯形，⊥，=2=，10∴，，∵且，∴四边形为平行四边形，∴，且，又∵⊥平面，∴⊥平面.以为原点，向量的方向分别为x轴，y轴，z轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系，则，，，，，，，设平面DFC的一个法向量为，有，即，不妨设，得.取，于是.设与平面所成角为，则．∴与平面所成角的正弦值为．20．【解析】(1)由e＝，可设椭圆C的方程为＋＝1，点P满足|PF1|＋|PF2|＝2a，等价于点P在椭圆上，∴＋＝1，∴a2＝2，所以椭圆C的方程为＋y2＝1.5分(2)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，联立得方程组消去y并整理得(1＋2k2)x2＋4kmx＋2m2－2＝0，则①.7分设△AOB的重心为G(x，y)，由·＝－，可得x2＋y2＝.②由重心公式可得G，代入②式，整理可得(x1＋x2)2＋(y1＋y2)2＝4(x1＋x2)2＋[k(x1＋x2)＋2m]2＝4，③将①式代入③式并整理，得m2＝，10分10则m2＝＝1＋＝1＋.又由Δ>0可知k≠0，令t＝>0，∴t2＋4t>0，∴m2>1，∴m∈(－∞，－1)∪(1，＋∞).12分21.【解析】(1)解法1：f(x)的定义域为(－a，＋∞)，f′(x)＝方程2x2＋2ax＋1＝0的判别式Δ＝4a2－8.(ⅰ)若Δ<0，即－<a<，在f(x)的定义域内f′(x)>0，故f(x)单调递增．(ⅱ)若Δ＝0，则a＝或a＝－.若a＝，x∈(－，＋∞)，f′(x)＝.当x＝－时，f′(x)＝0，当x∈∪时，f′(x)>0，所以f(x)单调递增．若a＝－，x∈(，＋∞)，f′(x)＝>0，f(x)单调递增．(ⅲ)若Δ>0，即a>或a<－，则2x2＋2ax＋1＝0有两个不同的实根x1＝，x2＝.当a<－时，x1<－a，x2<－a，从而f′(x)在f(x)的定义域内没有零点，故f(x)单调递增．当a>时，x1>－a，x2>－a，f′(x)在f(x)的定义域内有两个不同的零点，即f(x)在定义域上不单调．综上：实数a的取值范围为a≤.6分解法2：很显然f′(x)不可能有连续零点，若f(x)为定义域上的单调函数，则f′(x)≤0或f′(x)≥0恒成立，又f′(x)＝＋2x，因为x＋a>0，所以f′(x)<0不可能恒成立，所以f(x)为定义域上的单调函数时，只可能f′(x)≥0恒成立，即＋2x≥0恒成立，即＋2(x＋a)－2a≥0，即2a≤＋2(x＋a)，而＋2(x＋a)≥2，所以2a≤2，a≤，即实数a的取值范围为a≤.解法3：由解法2可知x∈(－a，＋∞)，＋2x≥0恒成立，得10≥0恒成立，即2x2＋2ax＋1≥0恒成立，(ⅰ)当a≤0时，－a－＝－≥0，所以2x2＋2ax＋1>2a2－2a2＋1＝1，所以当a≤0时2x2＋2ax＋1≥0恒成立；(ⅱ)当a>0时，－a－＝－<0，所以(2x2＋2ax＋1)min＝－＋1，所以－＋1≥0时2x2＋2ax＋1≥0恒成立，解得0<a≤，综上：实数a的取值范围为a≤.(2)因为g(x)＝ex＋x2－f(x)＝ex－ln(x＋a)，当a≤2，x∈(－a，＋∞)时，ln(x＋a)≤ln(x＋2)，故只需证明当a＝2时，g(x)>0.当a＝2时，函数g′(x)＝ex－在(－2，＋∞)上单调递增，又g′(－1)<0，g′(0)>0，故g′(x)＝0在(－2，＋∞)上有唯一实根x0，且x0∈(－1，0)，当x∈(－2，x0)时，g′(x)<0，当x∈(x0，＋∞)时，g′(x)>0，从而当x＝x0时，g(x)取得最小值g(x0)．由g′(x0)＝0得＝，ln(x0＋2)＝－x0，故g(x0)＝－ln(x0＋2)＝＋x0＝＝>0，所以g(x)≥g(x0)>0.综上，当a≤2时，g(x)>0.22．坐标系与参数方程.【解析】（1）曲线的普通方程为，即.由，得，∴曲线的极坐标方程为.（2）设点A的极坐标为，点B的极坐标为，则，，∴.23.解：（1）当时，可得的解集为．…………105分（2）等价于．而，且当时等号成立．故等价于．由可得或，所以的取值范围是．………………10分10</a≤，综上：实数a的取值范围为a≤.(2)因为g(x)＝ex＋x2－f(x)＝ex－ln(x＋a)，当a≤2，x∈(－a，＋∞)时，ln(x＋a)≤ln(x＋2)，故只需证明当a＝2时，g(x)></a<，在f(x)的定义域内f′(x)>
