湖北省仙桃市、天门市、潜江市2022学年高二（上）期末数学试卷（文科）

湖北省仙桃市、天门市、潜江市2022-2022学年高二（上）期末数学试卷（文科）(解析版）一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.过点(1,2)且垂直于y轴的直线方程为(　　)A.y=2B.x=1C.y=1D.x=2【答案】A【解析】解：根据题意，依次分析选项：对于A，y=2过点(1,2)且垂直于y轴，符合题意；对于B，x=1过点(1,2)但垂直于x轴，不符合题意；对于C，y=1垂直于y轴但不经过点(1,2)，不符合题意；对于D，x=2垂直于x轴，不经过点(1,2)，不符合题意；故选：A．根据题意，结合直线的方程的形式依次分析选项，即可得答案．本题考查直线的方程，注意垂直与y轴的直线的形式，属于基础题．2.已知m，n是两条不重合的直线，α，β是不重合的平面，下面四个命题中正确的是(　　)A.若m⊂α，n//α，则m//nB.若m⊥n，m⊥β，则n//βC.若α∩β=n，m//n，则m//α且m//βD.若m⊥α，m⊥β，则α//β【答案】D【解析】解：由m，n是两条不重合的直线，α，β是不重合的平面，知：在A中，若m⊂α，n//α，则m与n平行或异面，故A错误；在B中，若m⊥n，m⊥β，则n//β或n⊂β，故B错误；在C中，若α∩β=n，m//n，则m//α且m//β或m//α且m⊂β或m⊂α且m//β，故C错误；在D中，若m⊥α，m⊥β，则由面面平行的判定定理得α//β，故D正确．故选：D．在A中，m与n平行或异面；在B中，n//β或n⊂β；在C中，m//α且m//β或m//α且m⊂β或m⊂α且m//β；在D中，由面面平行的判定定理得α//β．本题考查命题真假的判断，解题时要认真审题，注意空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识的灵活运用，是中档题．3.已知双曲线方程为y29−x24=1，则其渐近线方程为(　　)9/10A.y=±32xB.y=±23xC.y=±94xD.y=±49x【答案】A【解析】解：双曲线方程为y29−x24=1，则渐近线方程为：x2±y3=0即y=±32x．故选：A．直接利用双曲线方程求解双曲线的渐近线即可．本题考查双曲线的简单性质的应用，基本知识的考查．1.点A，B的坐标分别是(−1,0)，(1,0)，直线AM与BM相交于点M，且直线AM与BM的斜率的商是λ(λ≠1)，则点M的轨迹是(　　)A.直线B.圆C.椭圆D.抛物线【答案】A【解析】解：设点M的坐标为(x,y)，则∵点A，B的坐标分别是(−1,0)，(1,0)，直线AM与BM的斜率的商是λ(λ≠1)，∴yx+1yx−1=λ，x−1x+1=λ，可得λx−x+1+λ=0.则点M的轨迹是直线．故选：A．设点M的坐标，利用直线AM与BM的斜率的商是λ(λ≠1)，建立方程，即可求得点M的轨迹方程．本题考查轨迹方程，考查学生的计算能力，属于基础题．2.从半径为6cm的圆形纸片上剪下一个圆心角为120∘的扇形，将剪下来的扇形围成一个圆锥(接缝处不重叠)，那么这个圆锥的高为(　　)A.22cmB.35cmC.25cmD.42cm【答案】D【解析】解：设所围成圆锥的底面半径为r，高为h，则母线长为l=6cm，如图所示；由120∘=2π3，所以扇形的弧长为2π3×6=2πr，解得r=2(cm)；所以圆锥的高为h=62−22=42(cm)．故选：D．根据扇形的弧长等于底面圆的周长求出底面圆半径r，再利用勾股定理求圆锥的高．本题考查了圆锥的结构特征与应用问题，是基础题．9/101.已知某几何体是由一个侧棱长为6的三棱柱沿着一条棱切去一块后所得，其三视图如图所示，侧视图是一个等边三角形，则切去部分的体积等于(　　)A.43B.83C.123D.203【答案】A【解析】解：根据几何体的三视图，转换为几何体：即：底面边长为4的等边三角形高为6的直棱柱，切去一个高底面为4的三角形高为3的三棱锥．故切去部分的体积为：V=13⋅12⋅4⋅23⋅3=43．故选：A．首先把几何体的三视图转换为几何体，进一步利用几何体的体积公式求出结果．本题考查的知识要点：三视图和几何体的转换，几何体的体积公式的应用，主要考查学生的运算能力和转化能力，属于基础题型．2.直线l1，l2分别过点M(1,4)，N(3,1)，它们分别绕点M和N旋转，但必须保持平行，那么它们之间的距离d的最大值是(　　)A.5B.4C.13D.3【答案】C【解析】解：当两条平行直线l1，l2都与MN垂直时，它们之间的距离取得最大值为：|MN|=(1−3)2+(4−1)2=13．故选：C．当两条平行直线l1，l2都与MN垂直时，它们之间的距离取得最大值．本题两平行线间距离的最大值的求法，考查平行线的性质、两点之间距离公式，考查运算求解能力，是基础题．3.已知圆C：x2+y2−8x+15=0，直线y=kx+2上至少存在一点P，使得以P为圆心，1为半径的圆与圆C有公共点，则k的取值范围是(　　)A.[−35,1]B.[−54,1]C.[−43,0]D.[−53,0]【答案】C【解析】解：问题等价于圆心(4,0)到直线l的距离小于等于2，∴|4k−0+2|k2+1≤2，解得−43≤k≤0，故选：C．问题等价于圆心(4,0)到直线l的距离小于等于2．9/10本题考查了直线与圆的位置关系，属中档题．1.设F为抛物线C：x2=4y的焦点，过F且倾斜角为60∘的直线交C于A，B两点，O为坐标原点，则△OAB的面积为(　　)A.334B.94C.9D.4【答案】D【解析】解：抛物线C：x2=4y的焦点(0,1)，设A(x1,y1)，B(x2,y2)，∴F且倾斜角为60∘的直线y=3x+1，∴x2=4yy=3x+1，整理得：x2−43x−4=0，由韦达定理可知：x1+x2=43，y1+y2=14由抛物线的性质可知：|AB|=p+y1+y2=2+14=16，点O到直线y=3x+1的距离d，d=13+1=12，∴则△OAB的面积S，S=12⋅|AB|⋅d=12×12×16=4，故选：D．根据抛物线的方程求得焦点坐标，根据直线的倾斜角求得直线方程，代入抛物线方程，利用韦达定理求得x1+x2，由抛物线的性质可知|AB|=p+y1+y2，利用点到直线的距离公式求得O到直线y=3x+1的距离d，根据三角形的面积公式S=12⋅|AB|⋅d，即可求得则△OAB的面积．本题考查抛物线的性质，直线与抛物线的位置关系，考查韦达定理，点到直线的距离公式及三角形的面积公式，考查计算能力，属于中档题．2.平面α过正方体ABCD−A1B1C1D1的顶点A，α//平面CB1D1，α∩平面ABCD=m，则直线m与直线BC所成角的正弦值为(　　)A.32B.22C.1D.12【答案】B【解析】解：如图：α//平面CB1D1，α∩平面ABCD=m，可知：m//B1D1//BD，∴∠DBC是直线m与直线BC所成角(或所成角的补角)，∵BC⊥DC，BC⊥DC，∴∠DBC=45∘，∴sin∠DBC=22．∴直线m与直线BC所成角的正弦值为22．故选：B．作出α//平面CB1D1，α∩平面ABCD=m，可知：m//B1D1//BD，从而∠DBC是直线m与直线BC所成角(9/10或所成角的补角)，由此能求出直线m与直线BC所成角的正弦值．本题考查异面直线所成角的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．1.已知双曲线x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)，过其右焦点F作x轴的垂线交双曲线于A、B两点，若双曲线的左顶点C满足CA⋅CB≥0，则双曲线离心率的最大值是(　　)A.3B.2C.5D.3【答案】B【解析】解：如图∵双曲线x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)，的左顶点为C(−a,0)，过其左焦点F作x轴的垂线交双曲线于A(c,b2a)，B(c,−b2a)两点，CA⋅CB≥0，可得：(a+c)2−b4a2≥0，∴a2+ac≥c2−a2，∴e2−e−2=0，解得e=2，或e=−1舍去，故选：B．由已知条件，结合双曲线性质，通过CA⋅CB≥0，由此能求出双曲线的离心率的取值范围．本题考查双曲线的离心率的取值范围的求法，是中档题，解题时要注意数形结合思想的合理运用．2.如图，在正方体ABCD−A1B1C1D1中，E是棱CC1的中点，F是侧面内BCC1B1的动点，且A1F//平面D1AE，给出下列命题：①点F的轨迹是一条线段；②A1F与D1E不可能平行；③A1F与BE是异面直线；④平面A1FC1不可能与平面AED1平行．其中正确的个数是(　　)A.0B.1C.2D.3【答案】D【解析】解：对于①，设平面AD1E与直线BC交于点G，连接AG、EG，则G为BC的中点，分别取B1B、B1C1的中点M、N，连接AM、MN、AN，∵A1M//D1E，A1M⊄平面D1AE，D1E⊂平面D1AE，∴A1M//平面D1AE.同理可得MN//平面D1AE，∵A1M、MN是平面A1MN内的相交直线9/10∴平面A1MN//平面D1AE，由此结合A1F//平面D1AE，可得直线A1F⊂平面A1MN，即点F是线段MN上上的动点，①正确；对于②，由①知，平面A1MN//平面D1AE，当F与点M重合时，A1F//D1E，∴②错误；对于③，∵平面A1MN//平面D1AE，BE和平面D1AE相交，∴A1F与BE是异面直线，③正确；对于④，由FC1与EG相交，可得平面A1FC1与平面AED1相交，④正确．综上，以上正确的命题是①③④共3个．故选：D．①设平面AD1E∩BC=G，连接AG、EG，分别取B1B、B1C1的中点M、N，连接AM、MN、AN，得F是线段MN上的动点；②由平面A1MN//平面D1AE，得点F与M重合时A1F与D1E平行；③由平面A1MN//平面D1AE，BE和平面D1AE相交，得A1F与BE是异面直线；④由FC1与EG相交，可得平面A1FC1与平面AED1相交．本题考查空间中的线线、线面、面面平行的判定定理和性质定理的应用，是综合题．二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）1.已知椭圆x216+y26=1的左右焦点分别为F1，F2，过右焦点F2的直线AB与椭圆交于A，B两点，则△ABF1的周长为______．【答案】16【解析】解：椭圆x216+y26=1的a=4，三角形ABF2的周长=|AB|+|AF2|+|BF2|=|AF1|+|AF2|+|BF1|+|BF2|=2a+2a=4a=16．故答案为：16．三角形ABF2的周长=|AB|+|AF2|+|BF2|=|AF1|+|AF2|+|BF1|+|BF2|=2a+2a=4a．本题考查了椭圆的定义标准方程及其性质、直线与椭圆相交弦长问题、一元二次方程的根与系数的关系、弦长公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．2.已知实数x，y满足不等式组x−y≥0x+y+2≥02x−y−2≤0，则y+3x+3的最大值为______．【答案】1【解析】解：实数x，y满足不等式组x−y≥0x+y+2≥02x−y−2≤0的可行域如图：y+3x+3的几何意义是可行域内的点A(2,2)9/10与P(−3,−3)连线的斜率，目标函数z=y+3x+3的最大值为2+32+3=1，故答案为：1．作出不等式组对应的平面区域，利用线性规划的知识即可得到结论．此题考查了简单的线性规划，体现了数形结合的数学思想方法及数学转化思想方法，是中档题．1.在三棱锥A−BCD中，AB⊥平面ACD，∠CAD=90∘，AB=2，AC=3，AD=4，则三棱锥A−BCD的外接球的表面积为______．【答案】29π【解析】解：∵∠CAD=90∘，所以，△ACD的外接圆直径为CD=AC2+AD2=5，∵AB⊥平面ACD，所以，三棱锥A−BCD的外接球的直径为2R=AB2+CD2=29．因此，三棱锥A−BCD的外接球的表面积为4πR2=π×(2R)2=29π．故答案为：29π．先计算出△ACD的外接圆直径CD的长度，然后利用公式2R=AB2+CD2可得出外接球的半径，最后利用球体的表面积公式可得出答案．本题考查球体表面积的计算，解决这类问题的关键在于找出合适的模型求出球体的半径，考查计算能力，属于中等题．2.给出下列三个命题，其中所有错误命题的序号是______．①抛物线y2=8x的准线方程为y=2；②过点M(2,4)作与抛物线y2=8x只有一个公共点的直线t仅有1条；③P是抛物线y2=8x上一动点，以P为圆心作与抛物线准线相切的圆，则这个圆一定经过一个定点Q(2,0)．【答案】①②【解析】解：①抛物线y2=8x的准线方程为x=−2，故①错误；②由M在抛物线y2=8x上，过点M(2,4)作与抛物线y2=8x只有一个公共点的直线t有2条，1条为切线，另一条为过M平行于对称轴的直线，故②错误；③抛物线y2=8x的焦点为(2,0)，准线方程为x=−2，P是抛物线y2=8x上一动点，以P为圆心作与抛物线准线相切的圆，可得P到准线距离为圆的半径，由抛物线的定义可得P到焦点的距离为P到准线的距离，则这个圆一定经过一个定点Q(2,0)，故③正确．故答案为：①②．由抛物线的准线方程，可判断①；考虑M在抛物线上，可得所求直线可为切线或过M平行于对称轴的直线，可判断②；由抛物线的定义和直线与圆相切的条件，可判断③．本题考查抛物线的定义、方程和性质，同时考查直线和圆的位置关系，主要是相切，考查方程思想和数形结合思想，属于基础题．三、解答题（本大题共6小题，共70.0分）9/101.求满足下列条件的曲线的标准方程．(1)过点(−3,2)的抛物线；(2)实轴、虚轴长之和为28且实轴长大于虚轴长，焦距等于20的双曲线．【答案】解：(1)依题意可设抛物线的方程为y2=−2px或x2=2py(p>0)则4=−2p×(−3)或9=2p×2，∴p=23或p=94，∴抛物线的标准方程为：y2=−43x或x2=92y…………………………(5分)(漏解扣2分)(2)由题意得2a+2b=282c=20c2=a2+b2(7分)，解得a=6b=8c=10(舍)或a=8b=6c=10(8分)由于双曲线的焦点位置不确定，∴所求双曲线的标准方程为x264−y236=1或y264−x236=1.……………………(10分)(漏解扣2分)【解析】(1)设出抛物线方程，利用抛物线经过的点，求解抛物线方程即可．(2)利用已知条件列出方程组求出实半轴长，虚半轴长，即可得到双曲线方程．本题考查抛物线以及双曲线的简单性质的应用，双曲线方程的求法，考查计算能力．2.已知平行四边形ABCD的三个顶点的坐标为A(−1,4)，B(−2,−1)，C(2,3)．(1)在△ABC中求边AC的高线所在直线的一般方程；(2)求平行四边形ABCD的对角线BD的长度；(3)求平行四边形ABCD的面积．【答案】解：(1)∵kAC=4−3−1−2=−13，∴边AC的高线的斜率k=3，∴边AC的高线所在的直线方程为y+1=3(x+2)，即3x−y+5=0；………………………(4分)(2)设AC的中点为M，则M(12,72)，设D(x,y)，则−2+x2=12−1+y2=72，解得y=8x=3，∴点D(3,8)，∴|BD|=(−2−3)2+(−1−8)2=106；……………………(8分)(3)易知直线BC方程为：x−y+1=0，|BC|=42，则点A(−1,4)到BC的距离为d=|−1−4+1|2=22，∴平行四边形ABCD的面积为S=|BC|⋅d=16.…………………………(12分)9/10【解析】(1)根据题意求出直线的斜率，写出直线的方程；(2)求出AC的中点M，根据对称性求出点D的坐标，再求|BD|的值；(3)求出边长|BC|和点A到直线BC的距离，再计算平行四边形ABCD的面积．本题考查了点到直线的距离与应用问题，也考查了直线方程的应用问题，是基础题．1.已知圆O：x2+y2=4，直线l：y=kx+4．(1)若直线l与圆O交于不同的两点A，B，当|AB|=2时，求实数k的值；(2)若k=1，P是直线上的动点，过P作圆O的两条切线PC、PD，切点分别为C、D，试探究：直线CD是否过定点.若存在，请求出定点的坐标；若不存在，请说明理由．【答案】解：(1)∵|AB|=2，设O到AB的距离为d，则d2+(|AB|2)2=r2，∴点O到l的距离d=3，即4k2+1=3，解得k=±393；(2)由题意可知，O，P，C，D四点共圆且在以OP为直径的圆上，设P(t,t+4)，则此圆的方程为x(x−t)+y(y−t−4)=0，即x2−tx+y2−(t+4)y=0．又C，D在圆O：x2+y2=4上，两圆方程相减得：lCD：tx+(t+4)y=4．即(x+y)t+(4y−4)=0．由4y−4=0x+y=0，解得y=1x=−1．故直线CD过定点：(−1,4)．【解析】(1)由已知结合垂径定理求得圆心到直线的距离，再由点到直线的距离公式列式求得k；(2)由题意可知，O，P，C，D四点共圆且在以OP为直径的圆上，设P(t,t+4)，写出以OP为直径的圆的方程，与已知圆的方程作差求得CD所在直线方程，再由直线系方程求得直线CD所过定点．本题考查直线与圆位置关系的应用，考查数学转化思想方法，是中档题．2.已知椭圆C：x24+y22=1，直线l：y=kx+1，若椭圆C上存在两个不同的点P，Q关于l对称，设PQ的中点为M．(1)证明：点M在某定直线上；(2)求实数k的取值范围．【答案】解：(1)当k=0时，显然不符合题意，舍；   …………………(1分)当k≠0时，设直线PQ方程为y=−1kx+m，P(x1,y1)，Q(x2,y2)，M(x0,y0)，则由x124+y122=1x224+y222=1相减，整理得，y1−y2x1−x2⋅y0x0=−12，即−1k⋅y0x0=−12，∴kx0=2y0…………………………………………(4分)又M∈l，∴y0=kx0+1∴y0=2y0+1，即y0=−1∴M(−2k,−1)故点M在定直线y=−1上.…………………………………………………(6分)(2)由(1)得点M(−2k,−1)9/10，由题意知，点M必在椭圆内部，………………………………………………(8分)∴(−2k)24+(−1)22<1，解得k<−2或k>2……………………………………(12分)(说明：若利用△>0，结合点M在直线l上，利用韦达定理求出答案，根据实际情况酌情给分.)【解析】(1)当k=0时，显然不符合题意，舍；当k≠0时，设直线PQ方程为y=−1kx+m，P(x1,y1)，Q(x2,y2)，M(x0,y0)，利用平方差法，转化求解即可.(2)求出M(−2k,−1)，点M必在椭圆内部列出不等式求解即可．本题考查椭圆方程的求法，直线与椭圆的位置关系的综合应用，考查转化思想以及计算能力．9/10