2022-2022学年湖北省仙桃市、天门市、潜江市高二（上）期末数学试卷（理科）一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1．（5分）过点（1，2）且在两坐标轴上截距互为相反数的直线条数为（ ）A．1B．2C．3D．42．（5分）已知m，n是两条不重合的直线，α，β是不重合的平面，下面四个命题中正确的是（ ）A．若m⊂α，n∥α，则m∥nB．若m⊥n，m⊥β，则n∥βC．若α∩β＝n，m∥n，则m∥α且m∥βD．若m⊥α，m⊥β，则α∥β3．（5分）已知双曲线方程为＝1，则其渐近线方程为（ ）A．y＝B．y＝±C．y＝±D．y＝±4．（5分）点A，B的坐标分别是（﹣1，0），（1，0），直线AM与BM相交于点M，且直线AM与BM的斜率的商是λ（λ≠1），则点M的轨迹是（ ）A．直线B．圆C．椭圆D．抛物线5．（5分）下列命题中的假命题是（ ）A．对于命题，，则￢p：∀∈R，x2+x＞0B．“x＝3”是“x2﹣3x＝0”的充分不必要条件C．若命题p∨q为真命题，则p，q都是真命题D．命题“若x2﹣3x+2＞0，则x＞2”的逆否命题为：“若x≤2，则x2﹣3x+2≤0”6．（5分）已知某几何体是由一个侧棱长为6的三棱柱沿着一条棱切去一块后所得，其三视图如图所示，侧视图是一个等边三角形，则切去部分的体积等于（ ）21/21A．4B．8C．12D．207．（5分）直线2ax+（a2+1）y﹣1＝0（a＞0）的倾斜角的取值范围是（ ）A．[﹣）B．（0，]C．（]D．[）8．（5分）已知圆C：x2+y2﹣8x+15＝0，直线y＝kx+2上至少存在一点P，使得以P为圆心，1为半径的圆与圆C有公共点，则k的取值范围是（ ）A．B．C．D．9．（5分）平面α过正方体ABCD﹣A1B1C1D1的顶点A，α∥平面CB1D1，α∩平面ABCD＝m，则直线m与直线BC所成角的正弦值为（ ）A．B．C．1D．10．（5分）已知在平行六面体ABCD﹣A′B′C′D′中，AB＝3，AD＝4，AA′＝5，∠BAD＝120°，∠BAA′＝60°，∠DAA′＝90°，则AC′的长为（ ）A．B．C．D．11．（5分）已知双曲线＝1（a＞0，b＞0），过其右焦点F作x轴的垂线交双曲线于A、B两点，若双曲线的左顶点C满足•≥0，则双曲线离心率的最大值是（ ）A．B．2C．D．312．（5分）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，侧面PAD是边长为4的正三角形底面ABCD为正方形侧面PAD⊥底面ABCD，M为平面ABCD上的动点，且满足＝0，则点M到直线AB的最远距离为（ ）A．2B．3+C．4+D．4+2二、填空题：本题共4小题，每题5分，共20分13．（5分）已知椭圆＝1的左右焦点分别为F1，F2，过右焦点F2的直线AB与椭圆交于A，B两点，则△ABF1的周长为 ．14．（5分）在三棱锥A﹣BCD中，AB⊥平面ACD，∠CAD＝90°，AB＝2，AC＝3，AD21/21＝4，则三棱锥A﹣BCD的外接球的表面积为 ．15．（5分）已知实数x，y满足不等式组，则+1的最大值为 ．16．（5分）给出下列命题，其中所有正确命题的序号是 ．①抛物线y2＝8x的准线方程为y＝2；②过点M（2，4）作与抛物线y2＝8x只有一个公共点的直线l仅有1条；③P是抛物线y2＝8x上一动点，以P为圆心作与抛物线准线相切的圆，则此圆一定过定点Q（2，0）．④抛物线y2＝8x上到直线x﹣y+3＝0距离最短的点的坐标为M（2，4）．三、解答题：本题共6小题，共70分，解答应写出文字说明证明过程或演算步骤17．（10分）已知命题p：＝1表示椭圆，命题：q：∃x∈R，mx2+2mx+2m﹣1≤0．（1）若命题q为真，求实数m的取值范围；（2）若p∨q为真，￢p为真，求实数m的取值范围．18．（12分）已知平行四边形ABCD的三个顶点的坐标为A（﹣1，4），B（﹣2，﹣1），C（2，3）．（1）在△ABC中求边AC的高线所在直线的一般方程；（2）求平行四边形ABCD的对角线BD的长度；（3）求平行四边形ABCD的面积．19．（12分）如图，已知在四棱锥P﹣ABCD中，PA⊥底面ABCD，AD⊥AB，AB∥DC，AD＝DC＝AP＝2，AB＝1，点E为棱PC的中点．（1）试在棱CD上确定一点M，使平面BEM∥平面PAD，说明理由．（2）若F为棱PC上一点，满足BF⊥AC，求二面角F﹣AB﹣C的余弦值．21/2120．（12分）为了落实国家“精准扶贫”的各项政策，帮助广大人民群众实现共同富裕的目标，各地政府结合当地实际情况展开了一系列的帮扶活动，某村在当地政府的支持指导下，计划种植A，B两种蔬菜．已知A，B的种植成本分别为每亩3000元和5000元，每亩的预期产量分别为3000千克和3500千克，该村目前可利用的空地为40亩，可利用的资金为150000元，A，B两种蔬菜的市场利润分别为3元/千克和4元/千克．假设计划种植A种蔬菜x亩，B种蔬菜y亩，请你设计一个最佳的种植方案帮助该村实现利润z最大，并求出最大利润．21．（12分）已知圆O：x2+y2＝4，直线l：y＝kx+4．（1）若直线l与圆O交于不同的两点A，B，当|AB|＝2时，求实数k的值；（2）若k＝1，P是直线上的动点，过P作圆O的两条切线PC、PD，切点分别为C、D，试探究：直线CD是否过定点．若存在，请求出定点的坐标；若不存在，请说明理由．22．（12分）已知椭圆C：＝1，直线l：y＝kx+1，若椭圆C上存在两个不同的点P，Q关于l对称，设PQ的中点为M．（1）证明：点M在某定直线上；（2）求△OPM面积的取值范围．21/212022-2022学年湖北省仙桃市、天门市、潜江市高二（上）期末数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1．（5分）过点（1，2）且在两坐标轴上截距互为相反数的直线条数为（ ）A．1B．2C．3D．4【分析】由题意可得：直线经过原点时满足条件．直线不经过原点时，设直线方程为：x﹣y＝a，把点（1，2）代入解得a即可得出．【解答】解：由题意可得：直线经过原点时满足条件，此时方程为：y＝2x．直线不经过原点时，设直线方程为：x﹣y＝a，把点（1，2）代入可得：a＝﹣1．可得直线方程为：y﹣x﹣1＝0．综上满足条件的直线条数为2．故选：B．【点评】本题考查了直线方程、分类讨论方法，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．2．（5分）已知m，n是两条不重合的直线，α，β是不重合的平面，下面四个命题中正确的是（ ）A．若m⊂α，n∥α，则m∥nB．若m⊥n，m⊥β，则n∥βC．若α∩β＝n，m∥n，则m∥α且m∥βD．若m⊥α，m⊥β，则α∥β【分析】在A中，m与n平行或异面；在B中，n∥β或n⊂β；在C中，m∥α且m∥β或m∥α且m⊂β或m⊂α且m∥β；在D中，由面面平行的判定定理得α∥β．【解答】解：由m，n是两条不重合的直线，α，β是不重合的平面，知：在A中，若m⊂α，n∥α，则m与n平行或异面，故A错误；在B中，若m⊥n，m⊥β，则n∥β或n⊂β，故B错误；在C中，若α∩β＝n，m∥n，则m∥α且m∥β或m∥α且m⊂β或m⊂α且m∥β，故C21/21错误；在D中，若m⊥α，m⊥β，则由面面平行的判定定理得α∥β，故D正确．故选：D．【点评】本题考查命题真假的判断，解题时要认真审题，注意空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识的灵活运用，是中档题．3．（5分）已知双曲线方程为＝1，则其渐近线方程为（ ）A．y＝B．y＝±C．y＝±D．y＝±【分析】直接利用双曲线方程求解双曲线的渐近线即可．【解答】解：双曲线方程为＝1，则渐近线方程为：±＝0即y＝±．故选：A．【点评】本题考查双曲线的简单性质的应用，基本知识的考查．4．（5分）点A，B的坐标分别是（﹣1，0），（1，0），直线AM与BM相交于点M，且直线AM与BM的斜率的商是λ（λ≠1），则点M的轨迹是（ ）A．直线B．圆C．椭圆D．抛物线【分析】设点M的坐标，利用直线AM与BM的斜率的商是λ（λ≠1），建立方程，即可求得点M的轨迹方程．【解答】解：设点M的坐标为（x，y），则∵点A，B的坐标分别是（﹣1，0），（1，0），直线AM与BM的斜率的商是λ（λ≠1），∴，，可得λx﹣x+1+λ＝0．则点M的轨迹是直线．故选：A．【点评】本题考查轨迹方程，考查学生的计算能力，属于基础题．5．（5分）下列命题中的假命题是（ ）A．对于命题，，则￢p：∀∈R，x2+x＞0B．“x＝3”是“x2﹣3x＝0”的充分不必要条件C．若命题p∨q为真命题，则p，q都是真命题21/21D．命题“若x2﹣3x+2＞0，则x＞2”的逆否命题为：“若x≤2，则x2﹣3x+2≤0”【分析】由特称命题的否定为全称命题，可判断A；由二次方程的解法和充分必要条件的定义可判断B；由p或q为真命题，可得p，q中至少有一个为真，可判断C；由原命题的逆否命题的形式，即可判断D．【解答】解：对于命题，，则￢p：∀∈R，x2+x＞0，故A正确；“x＝3”可得“x2﹣3x＝0”，反之，不能得到x＝3，“x＝3”是“x2﹣3x＝0”的充分不必要条的充分不必要条件，故B正确；若命题p∨q为真命题，则p，q中至少有一个为真命题，故C错误；命题“若x2﹣3x+2＞0，则x＞2”的逆否命题为：“若x≤2，则x2﹣3x+2≤0”，故D正确．故选：C．【点评】本题考查命题的否定和命题的逆否命题，以及充分必要条件的判断和复合命题的真假判断，考查判断能力，属于基础题．6．（5分）已知某几何体是由一个侧棱长为6的三棱柱沿着一条棱切去一块后所得，其三视图如图所示，侧视图是一个等边三角形，则切去部分的体积等于（ ）A．4B．8C．12D．20【分析】首先把几何体的三视图转换为几何体，进一步利用几何体的体积公式求出结果．【解答】解：根据几何体的三视图，转换为几何体：即：底面边长为4的等边三角形高为6的直棱柱，切去一个高底面为4的三角形高为3的三棱锥．故切去部分的体积为：V＝＝4．故选：A．【点评】本题考查的知识要点：三视图和几何体的转换，几何体的体积公式的应用，主要考查学生的运算能力和转化能力，属于基础题型．7．（5分）直线2ax+（a2+1）y﹣1＝0（a＞0）的倾斜角的取值范围是（ ）21/21A．[﹣）B．（0，]C．（]D．[）【分析】设直线2ax+（a2+1）y﹣1＝0（a＞0）的倾斜角为θ，θ∈[0，π）．可得0＞tanθ＝＝，利用基本不等式的性质、不等式的基本性质即可得出．【解答】解：设直线2ax+（a2+1）y﹣1＝0（a＞0）的倾斜角为θ，θ∈[0，π）．则0＞tanθ＝＝≥﹣1．∴θ∈．故选：D．【点评】本题考查了直线的方程斜率与倾斜角、基本不等式的性质、不等式的基本性质，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．8．（5分）已知圆C：x2+y2﹣8x+15＝0，直线y＝kx+2上至少存在一点P，使得以P为圆心，1为半径的圆与圆C有公共点，则k的取值范围是（ ）A．B．C．D．【分析】问题等价于圆心（4，0）到直线l的距离小于等于2．【解答】解：问题等价于圆心（4，0）到直线l的距离小于等于2，∴≤2，解得﹣≤k≤0，故选：C．【点评】本题考查了直线与圆的位置关系，属中档题．9．（5分）平面α过正方体ABCD﹣A1B1C1D1的顶点A，α∥平面CB1D1，α∩平面ABCD＝m，则直线m与直线BC所成角的正弦值为（ ）A．B．C．1D．【分析】作出α∥平面CB1D1，α∩平面ABCD＝m，可知：m∥B1D1∥BD，从而∠DBC是直线m与直线BC所成角（或所成角的补角），由此能求出直线m与直线BC所成角的正弦值．【解答】解：如图：α∥平面CB1D1，α∩平面ABCD＝m，可知：m∥B1D1∥BD，21/21∴∠DBC是直线m与直线BC所成角（或所成角的补角），∵BC⊥DC，BC⊥DC，∴∠DBC＝45°，∴sin∠DBC＝．∴直线m与直线BC所成角的正弦值为．故选：B．【点评】本题考查异面直线所成角的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．10．（5分）已知在平行六面体ABCD﹣A′B′C′D′中，AB＝3，AD＝4，AA′＝5，∠BAD＝120°，∠BAA′＝60°，∠DAA′＝90°，则AC′的长为（ ）A．B．C．D．【分析】可得＝+＝++，由数量积的运算可得||2，开方可得．【解答】解：在平行六面体ABCD﹣A′B′C′D′中，AB＝3，AD＝4，AA′＝5，∠BAD＝120°，∠BAA′＝60°，∠DAA′＝90°，可得＝+＝++，故||2＝|++|2＝+++2（++）＝42+32+52+2（﹣4×3×+3×5×+3×5×0）＝53，故AC′的长等于||＝．故选：D．21/21【点评】本题考查空间向量的模长和夹角的余弦值的运算，化向量为，，是解决问题的关键，属中档题．11．（5分）已知双曲线＝1（a＞0，b＞0），过其右焦点F作x轴的垂线交双曲线于A、B两点，若双曲线的左顶点C满足•≥0，则双曲线离心率的最大值是（ ）A．B．2C．D．3【分析】由已知条件，结合双曲线性质，通过•≥0，由此能求出双曲线的离心率的取值范围．【解答】解：如图∵双曲线＝1（a＞0，b＞0），的左顶点为C（﹣a，0），过其左焦点F作x轴的垂线交双曲线于A（c，），B（c，﹣）两点，•≥0，可得：，∴a2+ac≥c2﹣a2，∴e2﹣e﹣2＝0，解得e＝2，或e＝﹣1舍去，故选：B．【点评】本题考查双曲线的离心率的取值范围的求法，是中档题，解题时要注意数形结合思想的合理运用．12．（5分）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，侧面PAD是边长为4的正三角形底面ABCD为正方形侧面PAD⊥底面ABCD，M为平面ABCD上的动点，且满足＝0，则点M到直线AB的最远距离为（ ）21/21A．2B．3+C．4+D．4+2【分析】取AD中点E，易证PE⊥平面ABCD，利用数量积为0，可得MP⊥MC，即点M在以PC为直径的球面被平面ABCD截得的球小圆上，问题转会化为求圆上点到直线的距离最值问题，求解就容易了．【解答】解：如图，在正三角形PAD中取AD中点E，连接PE，CE，则PE⊥AD∵平面PAD⊥平面ABCD，∴PE⊥平面ABCD，∴PE⊥EC，取PC中点O，EC中点O′，连接OO′，则OO′∥PE，∴OO′⊥平面ABCD，由得MP⊥MC，可知M可与E重合，且点M在以PC为直径的球面上，又M为平面ABCD上的点，故M在以O′为圆心，以O′E为半径的圆上，过O′作FH∥AD，通过计算不难得出，O′F＝3，故圆O′上的点M到直线AB的最远距离为3，21/21故选：B．【点评】此题考查了线面垂直，面面垂直，圆上的点到直线的距离最值问题等，难度适中．二、填空题：本题共4小题，每题5分，共20分13．（5分）已知椭圆＝1的左右焦点分别为F1，F2，过右焦点F2的直线AB与椭圆交于A，B两点，则△ABF1的周长为 16 ．【分析】三角形ABF2的周长＝|AB|+|AF2|+|BF2|＝|AF1|+|AF2|+|BF1|+|BF2|＝2a+2a＝4a．【解答】解：椭圆＝1的a＝4，三角形ABF2的周长＝|AB|+|AF2|+|BF2|＝|AF1|+|AF2|+|BF1|+|BF2|＝2a+2a＝4a＝16．故答案为：16．【点评】本题考查了椭圆的定义标准方程及其性质、直线与椭圆相交弦长问题、一元二次方程的根与系数的关系、弦长公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．14．（5分）在三棱锥A﹣BCD中，AB⊥平面ACD，∠CAD＝90°，AB＝2，AC＝3，AD＝4，则三棱锥A﹣BCD的外接球的表面积为 29π ．【分析】先计算出△ACD的外接圆直径CD的长度，然后利用公式可得出外接球的半径，最后利用球体的表面积公式可得出答案．【解答】解：∵∠CAD＝90°，所以，△ACD的外接圆直径为，∵AB⊥平面ACD，所以，三棱锥A﹣BCD的外接球的直径为．因此，三棱锥A﹣BCD的外接球的表面积为4πR2＝π×（2R）2＝29π．故答案为：29π．【点评】本题考查球体表面积的计算，解决这类问题的关键在于找出合适的模型求出球体的半径，考查计算能力，属于中等题．15．（5分）已知实数x，y满足不等式组，则+1的最大值为 6 ．【分析】画出约束条件的可行域，利用目标函数的几何意义，求解即可．21/21【解答】解：实数x，y满足不等式组的可行域如图：+1的几何意义是可行域内的点与（2，﹣3）连线的距离加1，由图形可知D与B的距离最大值．由解得B（2，2）．则+1的最大值为：6．故答案为：6．【点评】本题考查线性规划的简单应用，画出可行域以及判断最优解是解题的关键，考查计算能力．16．（5分）给出下列命题，其中所有正确命题的序号是 ③④ ．①抛物线y2＝8x的准线方程为y＝2；②过点M（2，4）作与抛物线y2＝8x只有一个公共点的直线l仅有1条；③P是抛物线y2＝8x上一动点，以P为圆心作与抛物线准线相切的圆，则此圆一定过定点Q（2，0）．④抛物线y2＝8x上到直线x﹣y+3＝0距离最短的点的坐标为M（2，4）．【分析】由抛物线的准线方程，可判断①；考虑M在抛物线上，可得所求直线可为切线或过M平行于对称轴的直线，可判断②；由抛物线的定义和直线与圆相切的条件，可判断③；由点到直线的距离公式和二次函数的最值求法，即可判断④．【解答】解：①抛物线y2＝8x的准线方程为x＝﹣2，故①错误；②由M在抛物线y2＝8x上，过点M（2，4）作与抛物线y2＝8x只有一个公共点的直线t有2条，21/211条为切线，另一条为过M平行于对称轴的直线，故②错误；③抛物线y2＝8x的焦点为（2，0），准线方程为x＝﹣2，P是抛物线y2＝8x上一动点，以P为圆心作与抛物线准线相切的圆，可得P到准线距离为圆的半径，由抛物线的定义可得P到焦点的距离为P到准线的距离，则这个圆一定经过一个定点Q（2，0），故③正确；设此点M（，a），M到x﹣y+3＝0距离d＝＝，当a＝4时，d取得最小值，可得M（2，4），故④正确．故答案为：③④．【点评】本题考查抛物线的定义、方程和性质，同时考查直线和圆的位置关系，主要是相切，考查方程思想和数形结合思想，属于基础题．三、解答题：本题共6小题，共70分，解答应写出文字说明证明过程或演算步骤17．（10分）已知命题p：＝1表示椭圆，命题：q：∃x∈R，mx2+2mx+2m﹣1≤0．（1）若命题q为真，求实数m的取值范围；（2）若p∨q为真，￢p为真，求实数m的取值范围．【分析】（1）根据特称命题为真命题，结合一元二次函数的性质进行求解即可（2）根据复合命题真假关系得到p为假，q为真，然后求出命题p，q为真命题的等价条件进行求解即可【解答】解：（1）若：∃x∈R，mx2+2mx+2m﹣1≤0为真命题，则当m＝0时，不等式等价为﹣1≤0为真命题，当m＞0时，要使mx2+2mx+2m﹣1≤0为真命题，则判别式△＝4m2﹣4m（2m﹣1）≥0，即4m（1﹣m）≥0，得0＜m≤1，当m＜0时，不等式恒成立，综上m≤1，即q：m≤1．21/21（2）若＝1表示椭圆，则，得，得﹣6＜m＜7且m≠，即p：﹣6＜m＜7且m≠，若￢p为真，则p为假，同时p∨q为真，则q为真命题，则，得m＝或m≤﹣6，即实数m的取值范围是m＝或m≤﹣6．【点评】本题主要考查复合命题真假关系的应用，结合条件求出命题为真命题的等价条件是解决本题的关键．18．（12分）已知平行四边形ABCD的三个顶点的坐标为A（﹣1，4），B（﹣2，﹣1），C（2，3）．（1）在△ABC中求边AC的高线所在直线的一般方程；（2）求平行四边形ABCD的对角线BD的长度；（3）求平行四边形ABCD的面积．【分析】（1）根据题意求出直线的斜率，写出直线的方程；（2）求出AC的中点M，根据对称性求出点D的坐标，再求|BD|的值；（3）求出边长|BC|和点A到直线BC的距离，再计算平行四边形ABCD的面积．【解答】解：（1）∵，∴边AC的高线的斜率k＝3，∴边AC的高线所在的直线方程为y+1＝3（x+2），即3x﹣y+5＝0；………………………（4分）（2）设AC的中点为M，则，21/21设D（x，y），则，解得，∴点D（3，8），∴|BD|＝；……………………（8分）（3）易知直线BC方程为：x﹣y+1＝0，|BC|＝，则点A（﹣1，4）到BC的距离为d＝，∴平行四边形ABCD的面积为S＝|BC|•d＝16．…………………………（12分）【点评】本题考查了点到直线的距离与应用问题，也考查了直线方程的应用问题，是基础题．19．（12分）如图，已知在四棱锥P﹣ABCD中，PA⊥底面ABCD，AD⊥AB，AB∥DC，AD＝DC＝AP＝2，AB＝1，点E为棱PC的中点．（1）试在棱CD上确定一点M，使平面BEM∥平面PAD，说明理由．（2）若F为棱PC上一点，满足BF⊥AC，求二面角F﹣AB﹣C的余弦值．【分析】（1）取CD中点M，得EM∥PD，从而EM∥面PAD，同理可证，BM∥面PAD，由此推导出在棱CD上存在中点M，使平面BEM∥平面PAD．（2）由题意知AB，AD，AP两两互相垂直，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出二面角F﹣AB﹣C的余弦值．【解答】解：（1）取CD中点，则CD中点取为所求的点M，理由如下：∵E，M分别为PC，CD的中点，∴EM∥PD，又∵PD⊂面PAD，EM⊄面PAD，∴EM∥面PAD，同理可证，BM∥面PAD，又EM∩BM＝M，∴平面BEM∥平面PAD．（2）由题意知AB，AD，AP两两互相垂直，建立如图所示的空间直角坐标系，21/21则＝（1，2，0），＝（﹣2，﹣2，2），＝（2，2，0），＝（1，0，0），由点F在棱PC上，设＝，0≤λ≤1，∴＝＝＝（1﹣2λ，2﹣2λ，2λ），∵⊥，∴＝2（1﹣2λ）+2（2﹣2λ）＝0，解得λ＝，即＝（﹣），设＝（x，y，z）为平面FAB的法向量，∴，取z＝1，得＝（0，﹣3，1），平面ABC的一个法向量＝（0，0，1），则cos＜＞＝＝＝，∴二面角F﹣AB﹣C的余弦值为．【点评】本题考查满足面面平行的点的位置的确定，考查二面角的余弦值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．20．（12分）为了落实国家“精准扶贫”的各项政策，帮助广大人民群众实现共同富裕的目标，各地政府结合当地实际情况展开了一系列的帮扶活动，某村在当地政府的支持指导下，计划种植A，B两种蔬菜．已知A，B的种植成本分别为每亩3000元和5000元，每亩的预期产量分别为3000千克和3500千克，该村目前可利用的空地为40亩，可利用的资金为150000元，A，B两种蔬菜的市场利润分别为3元/千克和4元/千克．假设计划种植A种蔬菜x亩，B种蔬菜y亩，请你设计一个最佳的种植方案帮助该村实现利润z最大，并求出最大利润．【分析】列出约束条件和目标函数，作出可行域，平行移动目标函数寻找最优解．21/21【解答】解：由题意，列出约束条件为：，即，目标函数为：z＝3000×3x+3500×4y＝9000x+14000y．作出可行域如图所示：由目标函数可得：y＝﹣x+，由可行域可知当直线y＝﹣x+经过点P时截距最大，此时z最大．解方程组，得，即P（25，15）．∴z的最大值为9000×25+14000×15＝435000．∴种植A种蔬菜25亩，B种蔬菜15亩利润最大，最大利润为435000元．【点评】本题考查了线性规划的应用，根据约束条件作出可行域是关键，属于中档题．21．（12分）已知圆O：x2+y2＝4，直线l：y＝kx+4．（1）若直线l与圆O交于不同的两点A，B，当|AB|＝2时，求实数k的值；（2）若k＝1，P是直线上的动点，过P作圆O的两条切线PC、PD，切点分别为C、D，试探究：直线CD是否过定点．若存在，请求出定点的坐标；若不存在，请说明理由．【分析】（1）由已知结合垂径定理求得圆心到直线的距离，再由点到直线的距离公式列式求得k；（2）由题意可知，O，P，C，D四点共圆且在以OP为直径的圆上，设P（t，t+4），写出以OP为直径的圆的方程，与已知圆的方程作差求得CD所在直线方程，再由直线系方程求得直线CD所过定点．【解答】解：（1）∵|AB|＝2，设O到AB的距离为d，则，21/21∴点O到l的距离d＝，即，解得k＝；（2）由题意可知，O，P，C，D四点共圆且在以OP为直径的圆上，设P（t，t+4），则此圆的方程为x（x﹣t）+y（y﹣t﹣4）＝0，即x2﹣tx+y2﹣（t+4）y＝0．又C，D在圆O：x2+y2＝4上，两圆方程相减得：lCD：tx+（t+4）y＝4．即（x+y）t+（4y﹣4）＝0．由，解得．故直线CD过定点：（﹣1，4）．【点评】本题考查直线与圆位置关系的应用，考查数学转化思想方法，是中档题．22．（12分）已知椭圆C：＝1，直线l：y＝kx+1，若椭圆C上存在两个不同的点P，Q关于l对称，设PQ的中点为M．（1）证明：点M在某定直线上；（2）求△OPM面积的取值范围．【分析】（1）当k＝0时，显然不符合题意，舍；当k≠0时，设直线PQ方程为y＝﹣x+m，P（x1，y1），Q（x2，y2），M（x0，y0），利用平方差法，转化求解即可．（2）先求出k的取值范围，令﹣＝t，则PQ的方程为y＝tx+m，代入到＝1整理可得（1+2t2）x2+4tmx+2m2﹣4＝0，根据韦达定理和点到直线的距离，即可求出表示出面积，根据t的范围，即可求出三角形的面积的取值范围【解答】证明：（1）当k＝0时，显然不符合题意，舍去；当k≠0时，设直线PQ方程为y＝﹣x+m，P（x1，y1），Q（x2，y2），M（x0，y0），由相减，整理得，•＝﹣．21/21即﹣•＝﹣，∴kx0＝2y0，又M∈l，∴y0＝kx0+1∴y0＝2y0+1，即y0＝﹣1．∴M（﹣，﹣1）故点M在定直线y＝﹣1上．解：（2）由（1）得点M（﹣，﹣1），由题意知，点M必在椭圆内部，∴，+＜1，解得k＜﹣或k＞，令﹣＝t，则t∈（﹣，0）∪（0，），则PQ的方程为y＝tx+m，代入到＝1整理可得（1+2t2）x2+4tmx+2m2﹣4＝0，∴x1+x2＝﹣，x1x2＝，∴x0＝＝﹣＝﹣＝2t，由于t≠0，∴﹣m＝1+2t2，∴|PQ|＝•＝•＝•＝•，点O到直线PQ的距离为d＝＝，∴S△OPM＝•|PQ|•d＝×ו•＝•，∵t∈（﹣，0）∪（0，），∴t4∈（0，），21/21∴S△OPM∈（0，）．【点评】本题考查直线与圆锥曲线的综合应用，考查运算求解能力，推理论证能力；考查化归与转化思想．对数学思维的要求比较高，有一定的探索性．综合性强，难度大，是高考的重点．解题时要认真审题，仔细解答．21/21
