湖南益阳市2022届高三4月调研考试文科数学试题本试卷包括选择题、填空题和解答题三部分，共5页.时量120分钟，满分150分.一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1.已知i为虚数单位，复数对应的点位于A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限2.已知集合A.B.C.D.3.命题“若，则”的否命题是A．若，则B．若，则C．若，则D．若，则否是开始输入输出结束4.已知焦点在轴上的椭圆的离心率为，它的长轴长等于圆的半径，则椭圆的标准方程是A．B.C.D.5.当时，执行如右图所示的程序框图，输出的值为A.30B.14C.8D.66.设，则的大小关系是A．B．C．D．7.某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是a2aa正视图左视图俯视图-10-A．B．C．D.8.不等式组围成的区域为，能够把区域的周长和面积同时分为相等两部分的曲线为A．B．C．D．9.已知函数，若恒成立，则的取值范围是A.B.C.D.（第10题图）10.如图，在△中，分别是的中点，若（），且点落在四边形内（含边界），则的取值范围是A．B．C.D．分数（分）组距4050607080频率O0.010.020.030.04二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分，把答案填在答题卡中对应题号后的横线上。11.在某市2022年“创建省文明卫生城市”知识竞赛中，考评组从中抽取份试卷进行分析，其分数的频率分布直方图如右图所示，则分数在区间上的人数大约有人.12.如图所示，矩形长为3，宽为2，在矩形内随机撒200颗黄豆，数得落在椭圆内的黄豆数为160颗，依据此实验数据可以估计出椭圆的面积约为.-10-13.在极坐标系中，点A（2，）与曲线上的点的最短距离为.14.将函数的图象向右平移个单位长度后得到函数的图象,若的图象的对称轴重合，则的值为.15.点在直线上，记，若使取得最小值的点有无数个，则实数的取值是.三、解答题：本大题共6小题，共75分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.16.(本小题满分12分)等差数列满足：，，其中为数列前n项和．(Ⅰ)求数列通项公式；(Ⅱ)若，且，，成等比数列，求的值．17.(本小题满分12分)某城市持续性的雾霾天气严重威胁着人们的身体健康,汽车的尾气排放是造成雾霾天气的重要因素之一，为此该城市实施了机动车尾号限行政策。现有家报社想调查了解该市区公民对“车辆限行”的态度，在该城市里随机抽查了50人，将调查情况进行整理后制成下表：年龄（岁）[15，25）[25，35）[35，45）[45，55）[55，65）[65，75]频数24201455支持的人数13151144(Ⅰ)请估计该市公民对“车辆限行”的支持率（答案用百分比表示）；(Ⅱ)若从年龄在[15，25），[25，35）的被调查者中采用分层抽样选取3人进行跟踪调查，求选取的3人中有2人不支持“车辆限行”的概率.18.(本小题满分12分)已知在△ABC中，三条边、、所对的角分别为A、B、C，向量，，且满足.(Ⅰ)求角的大小；(Ⅱ)若成等比数列，且，-10-求边的值并求△ABC外接圆的面积.19.(本小题满分13分)PABCDM如图,四棱锥,侧面是边长为的正三角形,且与底面垂直,底面是的菱形,为的中点.(Ⅰ)求证:；(Ⅱ)在棱上是否存在一点,使得四点共面?若存在,指出点的位置并证明；若不存在,请说明理由；(Ⅲ)求点到平面的距离.20．（本小题满分13分）已知抛物线的顶点在原点，焦点在轴上，且抛物线上横坐标为1的点到的距离为2，过点F的直线交抛物线于A，B两点．(Ⅰ)求抛物线的方程；(Ⅱ)若，求直线AB的斜率；(Ⅲ)设点M在线段AB上运动，原点O关于点M的对称点为C，求四边形OACB面积的最小值．21.(本小题满分13分)已知函数，其图象记为曲线C.(Ⅰ)若在处取得极值为，求的值；(Ⅱ)若有三个不同的零点，分别为，且，过点作曲线C的切线，切点为A（点A异于点）.-10-①证明：；②若三个零点均属于区间，求的取值范围.益阳市2022届高三四月调研考试数学参考答案（文史类）一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分）.题号12345678910答案BACABBDCDC二、填空题（本大题共5小题，每小题5分，共25分）.11.8012.4.813.114.15.-1或1三、解答题：本大题共6小题，共75分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.16.(本小题满分12分)等差数列足：，，其中为数列前n项和．(Ⅰ)求数列通项公式；(Ⅱ)若，，成等比数列，求值．解：（1）由条件，；……6分（2），∵．……12分17.(本小题满分12分)某城市持续性的雾霾天气严重威胁着人们的身体健康,汽车的尾气排放是造成雾霾天气的重要因素之一，为此该城市实施了机动车尾号限行政策。现有家报社想调查了解该市区公民对“车辆限行”的态度，并在该城市里随机抽查了50人，将调查情况进行整理后制成下表：年龄（岁）[15，25）[25，35）[35，45）[45，55）[55，65）[65，75]频数24201455-10-支持的人数13151144(Ⅰ)请估计该市公民对“车辆限行”的支持率（答案用百分比表示）；(Ⅱ)若从年龄在[15，25），[25，35）的被调查者中采用分层抽样选取3人进行跟踪调查，求选取的3人中有2人不支持“车辆限行”的概率。解（1）由表中可得支持率是，可以估计该市公民对“车辆限行”的支持率是76%。………5分（2）在[15，25），[25，35）的被调查者中的六人编号：把[15，25）中的两人编号：1号为不支持，2号为支持；把[25，35）中的四人编号：3号为支持，4号为支持，5号为支持，6号为不支持。利用分层抽样则应该在[15，25）、[25，35）分别抽取1人、2人，则所有可能如下：（1，3，4），（1，3，5），（1，3，6），（1，4，5），（1，4，6），（1，5，6）（2，3，4），（2，3，5），（2，3，6），（2，4，5），（2，4，6），（2，5，6）以上共有12种情形，其中有2人不支持的有3种情形，所以选取的3人中有2人不支持“车辆限行”的概率为.………12分18.(本小题满分12分)已知在△ABC中，三条边、、所对的角分别为A、B、C，向量，，且满足.(Ⅰ)求角的大小；(Ⅱ)若成等比数列，且，求边的值并求△ABC外接圆的面积.解：（1）.………5分（2）sinA,sinC,sinB成等比数列,.………7分,.………10分设外接圆的半径为，由正弦定理可知：.………12分-10-19.(本小题满分13分)如图,四棱锥,侧面是边长为的正三角形,且与底面垂直,底面是的菱形,为的中点.(Ⅰ)求证:；(Ⅱ)在棱上是否存在一点,使得四点共面?若存在,指出点的位置并证明；若不存在,请说明理由；(Ⅲ)求点到平面的距离.PABCDMQO解(Ⅰ)方法一:取中点,连结,依题意可知△,△均为正三角形,所以,,又,平面,平面,所以平面,又平面,所以.………4分方法二:连结、,依题意可知△,△均为边长为正三角形,又为的中点,所以,,又,平面,平面,所以平面,又平面,所以.………4分(Ⅱ)当点为棱的中点时,四点共面,………6分证明如下:取棱的中点,连结,,又为的中点,所以,在菱形中,所以,所以四点共面.………9分(Ⅲ)点到平面的距离即点到平面的距离,由(Ⅰ)可知,又平面平面,平面平面,平面,所以平面,即为三棱锥的体高.在中,,,在中,,,边上的高,所以的面积,设点到平面的距离为,由得-10-,又,所以,解得,所以点到平面的距离为.………13分20．（本小题满分13分）已知抛物线的顶点在原点，焦点在轴上，且抛物线上横坐标为1的点到的距离为2，过点F的直线交抛物线于A，B两点．(Ⅰ)求抛物线的方程；(Ⅱ)若，求直线AB的斜率；(Ⅲ)设点M在线段AB上运动，原点O关于点M的对称点为C，求四边形OACB面积的最小值．解：(1)设抛物线方程为C：，由其定义知，又，所以，.………3分（2）依题意，设直线的方程为.将直线的方程与抛物线的方程联立，消去得.设所以………………①………5分因为，所以 ………………②联立①、②，消去得.所以直线的斜率是.………8分（3）由点与原点关于点对称，得是线段的中点，从而点与点到直线的距离相等，所以四边形的面积等于，.所以时，四边形的面积最小，最小值是.………13分21.(本小题满分13分)-10-已知函数，其图象记为曲线C.(Ⅰ)若在处取得极值为-1，求的值；(Ⅱ)若有三个不同的零点，分别为，且，过点作曲线C的切线，切点为A（点A异于点）.①证明：；②若三个零点均属于区间，求的取值范围.-10-12分结合图象,当抛物线分别过、时，抛物线在轴上的截距取上、下界13分-10-
