湖南省益阳市2022届高三四月调研考试数学（理科） 本试题卷包括选择题、填空题和解答题三部分，共5页.时量120分钟.满分150分.一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．复数（为虚数单位）在复平面内对应的点位于A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限2．已知向量a=(1,-2),b=(3,0),若（2a+b）∥(ma-b)，则m的值为A．B．C．D．3．已知函数的零点为，则所在的区间是A．(0，1)B．(1，2)C．(2，3)D．(3，4)4．设，则二项式展开式中含项的系数是A．80B．640C．-160D．-405．执行如图所示的程序框图，若输出s的值为70，则判断框内可填入的条件是开始i=1,s=0否是输出s?s=s+i(i+1)结束i=i+1A．i5B．i<5C．i＞5D．i56．已知实数、满足不等式组，则的最小值是A．B．C．5D．9-11-7．给出下列两个命题：命题：,当时，；命题：函数是偶函数.则下列命题是真命题的是A．B．C．D．8.十字路口车流量被定义为单位时间内通过十字路口的车辆数，小张上班经过的某十字路口某时间段内车流量变化近似符合函数（的单位是辆/分，的单位是分），则下列时间段内车流量增加的是A．B．C．D．9．已知直线：与双曲线：有交点，则实数的取值范围是A.（-，-)∪(，+）B.（-,）C.[-,]∪[,]D.[-，]10.已知函数的图象为曲线C，给出以下四个命题：①若点M在曲线C上，过点M作曲线C的切线可作一条且只能作一条；②对于曲线C上任意一点，在曲线C上总可以找到一点，使和的等差中项是同一个常数；③设函数，则的最小值是0；④若在区间上恒成立，则a的最大值是1.其中真命题的个数是A．1B．2C．3D．4二、填空题：本大题共6小题，考生作答5小题，每小题5分，共25分.把答案填在答题卡中对应题号后的横线上.（一）选做题（请考生在第11,12,13三题中任选两题作答，如果全做，则按前两题记分）11．在直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为(t为参数).在极坐标系（与直角坐标系取相同的长度单位，且以原点为极点,以轴正半轴为极轴）中，圆C的极坐标方程为，若直线l平分圆C的周长，则= ．12．已知R,，，则M的最大值是 ．-11-ABOP13．如图，已知ＰA是圆的切线，切点为A，ＰO交圆于点B，圆的半径为2，，则ＰA的长为 ．（二）必做题（14～16题）14．如图是某几何体的三视图，正视图和侧视图都是等腰直角三角形，俯视图是边长 为3的正方形，则此几何体的体积等于 .正视图侧视图俯视图15．设二次函数的导函数为，对任意R，不等式恒成立，则的最大值为 .-11-16.已知为合数，且，当的各数位上的数字之和为质数时，称此质数为的“衍生质数”.⑴若的“衍生质数”为2，则 ；⑵设集合，，则集合中元素的个数是 .三、解答题：本大题共6小题，共75分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.（本小题满分12分）在△ABC中，内角A，B，C的对边长分别为a，b，c，且.(Ⅰ)求角A的大小；(Ⅱ)若a＝3，，求△ABC的面积.18．（本小题满分12分） 某校举行中学生“珍爱地球·保护家园”的环保知识比赛,比赛分为初赛和复赛两部分，初赛采用选手从备选题中选一题答一题的方式进行；每位选手最多有5次答题机会，选手累计答对3题或答错3题即终止比赛，答对3题者直接进入复赛，答错3题者则被淘汰.已知选手甲答对每个题的概率均为，且相互间没有影响.（Ⅰ）求选手甲进入复赛的概率；（Ⅱ）设选手甲在初赛中答题的个数为，试求的分布列和数学期望.19．（本小题满分12分）如图，在长方体ABCD-A1B1C1D1中，AA1=AB=2AD=2，E为AB的中点，F为D1E上的一点，D1F=2FE.（Ⅰ）证明：平面DFC平面D1EC；（Ⅱ）求二面角A-DF-C的平面角的余弦值.-11-20．（本小题满分13分）已知数列的首项，其前和为，且满足：(N*)．(Ⅰ)求数列的通项公式；(Ⅱ)对任意的N*，，求实数a的取值范围．21．（本小题满分13分）已知M（，0），N（2，0），曲线C上的任意一点P满足:．(Ⅰ)求曲线C的方程；(Ⅱ)设曲线C与x轴的交点分别为A、B，过N的任意直线(直线与x轴不重合)与曲线C交于R、Q两点,直线AR与BQ交于点S.问:点S是否在同一直线上?若是,请求出这条直线的方程；若不是,请说明理由.22．（本小题满分13分）已知函数（其中为常数）.(Ⅰ)当时，求函数的单调区间；(Ⅱ)当时，对于任意大于1的实数，恒有成立，求实数的取值范围；(Ⅲ)当时，设函数的3个极值点为，且.求证：.数学（理科）参考答案-11-一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．B2．A3．C4．A5．A6．B7．B8．C9．D10．C二、填空题：本大题共6小题，考生作答5小题，每小题5分，共25分，把答案填在答题卡中对应题号后的横线上.（一）选做题（请考生在第11、12、13三题中任选两题作答，如果全做，则按前两题记分）11．-312．13．（二）必做题（14～16题）14.915．416．20,30三、解答题：本大题共6小题，共75分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.（本小题满分12分）解：(Ⅰ)由得得，所以……4分，所以，所以A＝.……6分(Ⅱ)因为b＝2c.所以cosA＝＝＝，解得c＝，∴b＝2.……10分所以S△ABC＝bcsinA＝×2××＝.……12分18.（本小题满分12分）解：(Ⅰ）设“选手甲进入复赛”为事件，则选手甲答了3题都对进入复赛概率为：；或选手甲答了4个题，前3个2对1错，第4次对进入复赛，或选手甲答了5个题，前4个2对2错，第5次对进入复赛，，选手甲进入复赛的概率.……6分-11-(Ⅱ)的可能取值为3,4,5，对应的每个取值，选手甲被淘汰或进入复赛的概率……9分的分布列为：X345P……12分19.（本小题满分12分）解：（Ⅰ）以D为原点，分别以DA、DC、DD1所在直线为x轴、y轴、z轴建立如图所示空间直角坐标系，则A(1,0,0)，B(1,2,0)，C(0,2,0)，D1(0,0,2).∵E为AB的中点，∴E点坐标为E(1,1,0),DA1ACEBFB1C1D1xyz∵D1F=2FE，∴,∴……3分设是平面DFC的法向量，则,∴，取x=1得平面FDC的一个法向量……5分设是平面ED1C的法向量，则,∴，取y=1得平面D1EC的一个法向量,∵-11-∴平面DFC平面D1EC.……8分（Ⅱ）设是平面ADF的法向量，则,∴，取y=1得平面ADF的一个法向量,……10分设二面角A-DF-C的平面角为，由题中条件可知，则cos=-||=,∴二面角A-DF-C的平面角的余弦值为-.……12分20.（本小题满分13分）解：(Ⅰ)由条件，两式相减得，……2分故，两式再相减得，构成以为首项，公差为4的等差数列；构成以为首项，公差为4的等差数列；………5分又，所以；由条件得，得，从而，………8分（Ⅱ）对任意的N*，，当时，由，有得………①；当时，由，有，即-11-若为偶数，则得………②；若为奇数，则得………③.由①、②、③得：.……13分21.（本小题满分13分）解：(Ⅰ)设点，得。代入，化简得。所以曲线C的方程为……4分(Ⅱ)（1）当直线的斜率存在时，设直线方程为，将直线方程代入曲线中，化简得。设点，利用根与系数的关系得。……6分在曲线C的方程中令y=0得，不妨设，则，则直线。同理直线。……8分由直线方程，消去，得所以点S是在直线上。……12分（2）当直线的斜率不存在时，则直线方程为。可得点的横坐标为。综合（1）（2）得，点S是在同一条直线上。……13分-11-22.（本小题满分13分）解：(Ⅰ)，令可得，易得单调减区间为，增区间为.………3分（Ⅱ）当时，由，可得恒成立，令，则，，。（ⅰ）当时，恒成立，所以在上是增函数，所以当时，满足题意，则。（ⅱ）当时，令解得。当时，在上是减函数当时，，不合题意，舍去。综上可得实数的取值范围。………7分(Ⅲ)由已知，对于函数，有,所以函数在上递减，在上递增。因为有3个极值点。从而所以。当时，，，∴函数的递增区间有和，递减区间有，，，此时，函数有3个极值点，且；∴当时，是函数的两个零点，-11-即有，消去有。令，则有零点，且。所以函数在上递减，在递增。要证明：，又因为，所以即证，构造函数，因为，只需证明单调递减即可。而，又。所以在上单调递增，所以，∴当时，。…………13分-11-
