湖南省娄底市2022-2022学年高二上学期期末考试数学（理）试题（时量：120分钟总分：150分）一、选择题（本题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的）1．若，且，则实数的值是A．B．C．D．2．不等式的解集是A．B．C．D．3．若抛物线的焦点与椭圆的右焦点重合，则的值为A．B．C．D．4．若命题：，，命题：，，则下列说法正确的是A.命题是假命题B.命题是真命题C.命题是真命题D.命题是假命题5．等差数列中,,那么它的公差是A．4B．5C．6D．76．设，且，则A．B．C．D．7．在△ABC中，，则角C=A．B．C．D．8．由直线，，曲线及轴所围成的封闭图形的面积是A.B.C.D.-16-\n9．已知满足，则的最大值等于A．B．C．D．10．已知直线与椭圆恒有公共点，则实数的取值范围为A．B．C．D．二、填空题（本题共5小题，每小题5分，共25分）11．已知x与y之间的一组数据：x0123y1357则y与x的线性回归方程为必过点．12.观察下列式子：根据以上式子可以猜想：_________.13．已知，则函数的最小值是．14．对于三次函数，定义：是函数的导数的导数，若方程有实数解，则称点为函数的“拐点”.有同学发现：任何一个三次函数都有“拐点”，任何一个三次函数都有对称中心，且“拐点”就是“对称中心”.请你将这一发现作为条件，则函数的对称中心为__________.15．是双曲线的右支上一点，、分别是圆和上的点，则的最大值等于_________.三、解答题（本题共6小题，共75分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）-16-\n16．（本小题满分12分）已知△的内角所对的边分别为，且，。（1）若，求的值；（2）若△的面积，求，的值.17．（本小题满分12分）如图，四棱锥的底面为菱形，平面，，分别为的中点，.（1）求证：平面平面；（2）求平面与平面所成的锐二面角的余弦值.18．（本小题满分12分）已知某公司生产品牌服装的年固定成本是10万元，每生产一千件，需另投入2．7万元，设该公司年内共生产该品牌服装千件并全部销售完，每千件的销售收入为万元，且.（1）写出年利润（万元）关于年产量（千件）的函数解析式；（2）年产量为多少千件时，该公司在这一品牌服装的生产中所获利润最大？（注：年利润=年销售收入年总成本）19．（本小题满分13分）数列是首项为1的等差数列，且公差不为零.而等比数列的前三项分别是.-16-\n（1）求数列的通项公式；（2）若，求正整数的值。20．（本小题满分13分）已知椭圆E：的离心率，并且经过定点。（1）求椭圆E的方程；（2）问是否存在直线，使直线与椭圆交于两点，满足，若存在，求的值，若不存在，说明理由.21．（本小题满分13分）已知函数，其中为实数.（1）求函数的单调区间；（2）若函数对定义域内的任意恒成立，求实数的取值范围；（3）证明：，对任意的正整数成立.-16-\n娄底市2022-2022学年上学期高二教学检测数学（理科）一、选择题：本题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的.1．若，且，则实数的值是A．B．C．D．【答案】D【解析】略.2．不等式的解集是A．B．C．D．【答案】A【解析】注意分解因式后变量系数的正负.3．若抛物线的焦点与椭圆的右焦点重合，则的值为A．B．C．D．【答案】C【解析】由得到椭圆的右焦点为，所以抛物线的焦点，则.4．若命题：，，命题：，，则下列说法正确的是A.命题是假命题B.命题是真命题C.命题是真命题D.命题是假命题【答案】B【解析】命题为真命题，命题为假命题，为真命题.所以B正确.5．等差数列中,,那么它的公差是A．4B．5C．6D．7【答案】B【解析】由等差中项得,解得，所以公差.-16-\n6．设，且，则A．B．C．D．【答案】D【解析】A．,时不成立，B．，时不成立，C．也不成立，D．只要,恒成立.7．在A．B．C．D．【答案】A【解析】，且,故.8．由直线，，曲线及轴所围成的封闭图形的面积是A.B.C.D.【答案】A【解析】的范围为.所以，选A.9．已知满足，则的最大值等于A．B．C．D．【答案】C【解析】作出不等式表示的平面区域为边界及内部区域，表示点和的连线的斜率，易知：点和连线的斜率最大，所以，故答案为C．10．已知直线与椭圆恒有公共点，则实数的取值范围为A．B．-16-\nC．D．【答案】C【解析】由题可知：表示的是椭圆，故，判断直线与曲线交点的问题，需将两个方程联立，，恒有公共点要求对恒成立，所以，整理可得，由于的最小值为0，所以，即.二、填空题：本题共5小题，每小题5分，共25分.11．已知x与y之间的一组数据：x0123y1357则y与x的线性回归方程为必过点．【答案】.【解析】线性回归方程必过样本中心点坐标，，所以过点.12.观察下列式子：,…根据以上式子可以猜想：_________.【答案】.13．已知，则函数的最小值是．【答案】.-16-\n【解析】∵∴，当时取得等号，故可知函数的最大值为.14．对于三次函数，定义：是函数的导数的导数，若方程有实数解，则称点为函数的“拐点”.有同学发现：任何一个三次函数都有“拐点”，任何一个三次函数都有对称中心，且“拐点”就是“对称中心”.请你将这一发现作为条件，则函数的对称中心为__________.【答案】【解析】，，令，得.又，所以的对称中心为.15．是双曲线的右支上一点，、分别是圆和上的点，则的最大值等于_________.【答案】9【解析】两个圆心正好是双曲线的焦点，，，再根据双曲线的定义得的最大值为.三、解答题：本题共6小题，共75分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.16．（本小题满分12分）已知△的内角所对的边分别为，且，.（1）若，求的值；（2）若△的面积，求，的值.-16-\n17．（本小题满分12分）-16-\n如图，四棱锥的底面为菱形，平面，，分别为的中点，．（1）求证：平面平面．（2）求平面与平面所成的锐二面角的余弦值．【答案】（1）∵四边形是菱形，∴．在中，，，∴．故，即．又，∴．∵平面，平面，∴．又∵，∴平面又∵平面，平面平面．…………………（6分）（2）解法一：由（1）知平面，而平面，∴平面平面∵平面，∴．由（1）知，又∴平面，又平面，∴平面平面．∴平面是平面与平面的公垂面．所以，就是平面与平面所成的锐二面角的平面角．在中，，即．又，∴．-16-\n故平面与平面所成的锐二面角的余弦值．…………………（12分）解法二：以为原点，、分别为轴、轴的正方向，建立空间直角坐标系，如图所示．因为，，所以，、、、，，，由（1）知平面，故平面的一个法向量为设平面的一个法向量为，则，即，令，则．∴．故平面与平面所成的锐二面角的余弦值．…………………（12分）18．（本小题满分12分）已知某公司生产品牌服装的年固定成本是10万元，每生产一千件，需另投入2．7万元，设该公司年内共生产该品牌服装千件并全部销售完，每千件的销售收入为万元，且.（1）写出年利润（万元）关于年产量（千件）的函数解析式-16-\n（2）年产量为多少千件时，该公司在这一品牌服装的生产中所获利润最大？（注：年利润=年销售收入年总成本）【答案】（1）；（2）当年产量为9万件时利润最大为万元.19．（本小题满分13分）数列是首项为1的等差数列，且公差不为零.而等比数列的前三项分别是.（1）求数列的通项公式；（2）若，求正整数的值.【答案】（1）,；（2）4.【解析】（1）设数列的公差为，∵成等比数列，∴∴∴∵∴，…………………（4分）∴…………………（6分）（2）数列的首项为1，公比为，…………………（8分）.故，…………………（10分）-16-\n令，即，解得：.故正整数的值为4.…………………（13分）20．（本小题满分13分）已知椭圆E：的离心率，并且经过定点.（1）求椭圆E的方程；（2）问是否存在直线，使直线与椭圆交于两点，满足，若存在求的值，若不存在说明理由．【答案】（1），或；（2），或．【解析】（1）由题意：且，又解得：，即：椭圆E的方程为，或……（5分）（2）①当椭圆方程为时，设（*）……（7分）所以.…………………（9分）由得……（11分）-16-\n又方程（*）要有两个不等实根，m的值符合上面条件，所以.…………………（13分）②当椭圆方程为时，设（*）……（7分）所以.…………………（9分）由得……（11分）经检验，满足：.故此时，.…………………（13分）温馨提示：由于本题小括号内的条件原意为“”，请各位老师在阅卷时，只要学生做对其中一种情况，均给满分.21．（本小题满分13分）已知函数，其中为实数.（1）求函数的单调区间；（2）若函数对定义域内的任意恒成立，求实数的取值范围；-16-\n（3）证明：，对任意的正整数成立.【答案】（1）略；（2）；（3）略.【解析】（1）因为…（1分）①当时，令得；得，此时，函数的增区间是，减区间是…………………（2分）②当时，令得或；得此时，函数的增区间是和，减区间是…………………（3分）③当时，对任意恒成立，此时，函数的增区间是，无减区间…………………（4分）④当时，令得或；得此时，函数的增区间是和，减区间是.…………………（5分）（2）由于，显然当时，，此时，对定义域内的任意不是恒成立的；当时，根据（1）函数在区间上的极小值（也是最小值）是，此时只要即可，解得，故实数的了取值范围是.…………………（9分）（3）当时，（当且仅当时等号成立）则，当时，此不等式可以变形为，分别令，则：-16-\n故.…………………（13分）-16-
