湖南省娄底市湘中名校2022-2022学年高二数学上学期期末考试试题理一、选择题：(本大题共10小题，每小题4分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。)1、在△ABC中，若，则等于（）ABCD2、由，确定的等差数列，当时则n等于（）A．99B．100C．96D．1013、“m>0”是“方程+=1表示椭圆”的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分又不必要条件4、已知，，且与互相垂直，则的值是（）A．1B．C．D．5、下列命题为真命题的是()A.椭圆的离心率大于1；B.双曲线的焦点在轴上；C.，；D..6、满足线性约束条件的目标函数的最大值是（）ABC东南A1.B.C2.D3.7、一艘海轮从A处出发，以每小时40海里的速度沿东偏南50°方向直线航行，30分钟后到达B处.在C处有一座灯塔，海轮在A处观察灯塔，其方向是东偏南20°，在B处观察灯塔，其方向是北偏东65°，那么B、C两点间的距离是（）ABCA1B1C1MA.海里B.海里C.海里D.海里8、如图，在正三棱柱ABC－A1B1C1中，点M为侧棱AA1上一动点，已知△BCM面积的最大值是，二面角M―BC―A的最大值是,则该三棱柱的体积等于（）A..B.C.D.-8-\n9、已知点F1、F2分别是椭圆＋＝1(k＞－1)的左、右焦点，弦AB过点F1，若△ABF2的周长为，则椭圆的离心率为（）A.B．C．D．10、设函数f(x)在R上可导，其导函数为，且函数y＝(1－x)的图象如图所示，则下列结论中一定成立的是( )A．函数f(x)有极大值f(2)和极小值f(1)B．函数f(x)有极大值f(－2)和极小值f(1)C．函数f(x)有极大值f(2)和极小值f(－2)D．函数f(x)有极大值f(－2)和极小值f(2)二、填空题：本大题共5个小题，每小题4分，共20分.请把答案填在答题卷对应题号后的横线上.11、在等比数列中且则++…+=____12、设a＞0为常数，若对任意正实数x，y不等式恒成立，则的最小值为_____________13、若函数在其定义域内的一个子区间内不是单调函数，则实数k的取值范围是_____________14、由直线，和曲线所围成的平面图形的面积为__________15、已知三顶点均在双曲线上，三边AB、BC、AC所在的直线的斜率均存在且均不为0，其和为-1；又AB、BC、AC的中点分别为M、N、P，O为坐标原点，直线OM、ON、OP的斜率分别为，，且均不为0，则______三、解答题:本大题共6小题，共60分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.16.(本小题满分10分)在锐角中，分别为所对的边，且(1)确定的大小；-8-\n(2)若，的面积为，求的值．17.(本小题满分10分)BA1B1C1NACM如图，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，AC⊥BC，AC＝BC＝CC1，M、N分别是A1B、B1C1的中点.（Ⅰ）求证：MN⊥平面A1BC；（Ⅱ）求直线BC1和平面A1BC所成角的大小.18.(本小题满分10分)设数列的各项都为正数，其前项和为，已知对任意，是和的等差中项．（Ⅰ）证明数列为等差数列，并求数列的通项公式；（Ⅱ）证明；19.(本小题满分10分)某地需要修建一条大型输油管道通过120公里宽的沙漠地带，该段输油管道两端的输油站已建好，余下工程只需要在该段两端已建好的输油站之间铺设输油管道和等距离修建增压站（又称泵站）.经预算，修建一个增压站的工程费用为432万元，铺设距离为公里的相邻两增压站之间的输油管道费用为万元.设余下工程的总费用为万元.（Ⅰ）试将表示成关于的函数；（Ⅱ）需要修建多少个增压站才能使最小？20.(本小题满分10分)如图，抛物线的顶点O在坐标原点，焦点在y轴负半轴上，过点M(0，－2)作直线l与抛物线相交于A，B两点，且满足.（Ⅰ）求直线l和抛物线的方程；（Ⅱ）当抛物线上一动点P从点A到B运动时，求△ABP面积的最大值．-8-\n21．(本小题满分10分)己知．(Ⅰ)若，函数在其定义域内是增函数，求的取值范围；(Ⅱ)当时，证明函数只有一个零点；(Ⅲ)若的图象与轴交于两点，中点为，求证：．-8-\n2022-2022学年上学期湘中名校高二期末联考理科数学参考答案16：【解】 (1)由a＝2csinA及正弦定理，得＝＝，∵sinA≠0，∴sinC＝.∴△ABC是锐角三角形，∴∠C＝.(2)∵c＝，∠C＝.由面积公式得absin＝，即ab＝6.①由余弦定理，得a2＋b2－2abcos＝7，即a2＋b2－ab＝7.②由②变形得(a＋b)2＝25，故a＋b＝5.17：【解】解法一：（Ⅰ）由已知BC⊥AC，BC⊥CC1，所以BC⊥平面ACC1A1.连结AC1，则BC⊥AC1.由已知，侧面ACC1A1是正方形，所以A1C⊥AC1.又，所以AC1⊥平面A1BC.因为侧面ABB1A1是正方形，M是A1B的中点，连结AB1，则点M是AB1的中点.BA1B1C1NACMD又点N是B1C1的中点，则MN是△AB1C1的中位线，所以MN∥AC1.故MN⊥平面A1BC.（5分）（Ⅱ）因为AC1⊥平面A1BC，设AC1与A1C相交于点D，连结BD，则∠C1BD为直线BC1和平面A1BC所成角.设AC＝BC＝CC1＝a，则，.BA1B1C1NACMxyz在Rt△BDC1中，sin∠C1BD＝，所以∠C1BD＝30º，故直线BC1和平面A1BC所成的角为30º.（10分）解法二：（Ⅰ）据题意CA、CB、CC1两两垂直，以C为原点，CA、CB、CC1所在直线分别为x轴、y轴、z轴，建立空间直角坐标系，如图.设AC＝BC＝CC1＝a，则，，.-8-\n18【解】（Ⅰ）由已知，，且.当时，，解得.当时，有.于是，即.于是，即.因为，所以.故数列是首项为，公差为的等差数列，且.（5分）（Ⅱ）因为，则.所以2(（1019:【解】（I）设需要修建个增压站，则，即.(1分）所以.因为x表示相邻两增压站之间的距离，则0＜x≤120.故y与x的函数关系是.（5分）（II）设，则.由，得，又0＜x≤120，则.所以在区间内为增函数，在区间内为减函数.所以当时，取最小值，此时.故需要修建19个增压站才能使最小.(10分)20:【解】（Ⅰ）据题意可设直线l的方程为，xyOPABM抛物线方程为.由得，.-8-\n设点，则.所以.因为，所以，解得.故直线的方程为，抛物线方程为（5分）（Ⅱ）解法一：据题意，当抛物线过点P的切线与平行时，△APB面积最大.设点，因为，由，，所以此时，点P到直线的距离.由，得.所以.故△ABP面积的最大值为.（10分）解法二：由得，.所以.设点，点P到直线的距离.则，当时，max=，此时点.故△ABP面积的最大值为.（10分）21:【解析】(Ⅰ)依题意：-8-\n(Ⅲ)由已知得两式相减，得由及，得令，在上递减，∵，∴．…10分-8-
