班级：姓名：考场号：座位号：–—–—––—–—–—密—–—–—–—–—–—–—–—–封—–—–—–—–—–—–—–—–线—–—–—–—–—–——座位号株洲市二中2022届高三第一次月考试卷数学（理科）试题卷时量：120分钟分值：150分第I卷（选择题）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．已知全集U＝{0，1，2}且＝{2}，则集合A的真子集共有（）．A．3个B．4个C．5个D．6个2．命题：，则是（）A.B.C.D.3．某学校高一、高二、高三年级的学生人数分别为人，现用分层抽样的方法从该校高中三个年级的学生中抽取容量为50的样本，则应从高三年级抽取的学生人数为()A.B.C.D.4．等差数列中，，则为（）A．13B．12C．11D．105．设f（x）＝－2x－3（x∈R），则在区间[－π，π]上随机取一个实数x，使f（x）＜0的概率为A．B．C．D．6．已知函数的值域为,则实数的取值范围是A．B．C．D．7．观察下列各式：=3125，=15625，=78125，，则的末四位数字为（）A．3125B．5625C．0625D．81258．如图，南北方向的公路，A地在公路正东2km处，B地在A东偏北300方向km处，河流沿岸曲线PQ上任意一点到公路和到A地距离相等．现要在曲线PQ上一处建一座码头，向A、B两地运货物，经测算，从M到A、M到B修建费用都为a万元/km，那么，修建这条公路的总费用最低是（）万元A.（2+）aB.2（+1）aC.5aD.6a9．如图，在5个并排的正方形图案中作出一个-20-\n（），则（）A．，B．，C．，D．，，，10．若正数满足则的最小值是（）A.B.C.D.11．如图，到的距离分别是和，与所成的角分别是和，在内的射影长分别是和，若，则()AbBalA．B．C．D．12．椭圆的左、右顶点分别为,点在上且直线的斜率的取值范围是,那么直线斜率的取值范围是（）A．B．C．D．第II卷二、填空题：本大题共4小题，每小题5分。13．在中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，若，且，则的面积等于.14．已知分别是与x轴、y轴、z轴方向相同的单位向量，若则+_______．15．设，，…，，…是按先后顺序排列的一列向量，若，且，则其中模最小的一个向量的序号______．16．已知函数，，若对任意的，均有，则实数的取值范围是．三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．（本题满分12分）在数列中，-20-\n（1）求的值；（2）证明：数列是等比数列，并求的通项公式；（3）求数列的前n项和.18．（本题满分12分）在四棱锥中，平面，是正三角形，与的交点恰好是中点，又，，点在线段上，且．（Ⅰ）求证：平面；（Ⅱ）求二面角的余弦值．19．（本题满分12分）偏差是指个别测定值与测定的平均值之差，在成绩统计中，我们把某个同学的某科考试成绩与该科班平均分的差叫某科偏差，在某次考试成绩统计中，某老师为了对学生数学偏差（单位：分）与物理偏差（单位：分）之间的关系进行分析，随机挑选了8位同学，得到他们的两科成绩偏差数据如下：学生序号12345678数学偏差20151332﹣5﹣10﹣18物理偏差6.53.53.51.50.5﹣0.5﹣2.5﹣3.5（1）若与之间具有线性相关关系，求y关于x的线性回归方程；（2）若该次考试该班数学平均分为120分，物理平均分为91.5分，试由（1）的结论预测数学成绩为128分的同学的物理成绩．参考数据：附：回归方程中-20-\n20．（本小题满分12分）在平面直角坐标系中，已知点，点B在直线：上运动，过点B与垂直的直线和线段AB的垂直平分线相交于点M．（1）求动点M的轨迹E的方程；（2）过（1）中轨迹E上的点P(1,2)作两条直线分别与轨迹E相交于，两点．试探究：当直线PC，PD的斜率存在且倾斜角互补时，直线CD的斜率是否为定值？若是，求出这个定值；若不是，说明理由．21．（本小题满分12分）已知函数.（Ⅰ）求函数的单调递减区间；（Ⅱ）若关于x的不等式恒成立，求整数的最小值；（Ⅲ）若正实数满足，证明.选做题22．（本小题满分10分）选修4—1：几何证明选讲如图，四边形ACED是圆内接四边形，AD、CE的延长线交于点B，且AD＝DE，AB＝2AC．（Ⅰ）求证：BE＝2AD；（Ⅱ）当AC＝2，BC＝4时，求AD的长．23．(本题满分10分)选修4-4：坐标系与参数方程选讲在直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数），以原点为极点，以轴正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线的极坐标方程为-20-\n（1）求曲线的普通方程与曲线的直角坐标方程；（2）设点，曲线与曲线交于,求的值．24．（本小题满分10分）选修4－5：不等式选讲已知，且，若恒成立，（1）求的最小值；（2）若对任意的恒成立，求实数的取值范围。班级：姓名：考场号：座位号：–—–—––—–—–—密—–—–—–—–—–—–—–—–封—–—–—–—–—–—–—–—–线—–—–—–—–—–——株洲市二中2022届高三第一次月考座位号数学（理）答卷一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）题次123456789101112答案二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13．；14．；15．；16．。-20-\n17．(12分)三、解答题（本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）18．(12分)19．(12分)-20-\n20．(12分)21．(12分)-20-\n选做题（10分）参考答案1．A【解析】试题分析：由得故A的真子集个数=，选A.考点：集合的运算2．B【解析】试题分析：命题是全称命题，对全称命题的否定为特称命题，并且将不等式加以否定，即改为，因此B正确考点：全称命题的否定3．B【解析】试题分析：三个年级的学生人数比例为，按分层抽样方法，在高三年级应该抽取人数为人，故选.考点：分层抽样.4．C．【解析】-20-\n试题分析：在等差数列中，由等差数列的通项公式及知，，解方程组得，．所以数列的通项公式为．所以．故应选C．5．B【解析】由得，所以f（x）＜0的概率为6．B【解析】试题分析：当时,所以要使的的值域为,需满足在时的值域中包含所有负数,所以,解得,故选B.考点：分段函数7．D【解析】试题分析：周期为4，所以与后四位相同，都为考点：归纳推理8．C【解析】试题分析：依题意知曲线PQ是以A为焦点、l为准线的抛物线，根据抛物线的定义知：欲求从M到A，B修建公路的费用最低，只须求出B到直线l距离即可．因B地在A地东偏北300方向km处，∴B到点A的水平距离为3（km），∴B到直线l距离为：3+2=5（km），那么修建这两条公路的总费用最低为：5a（万元）．故选C．考点：抛物线方程的应用.9．C.【解析】试题分析：若或，显然，若，则有，，-20-\n∴，根据对称性可知，若，，若，则有，又∵，∴，∴，同理根据对称性有.考点：三角恒等变形的运用.考点：等差数列．10．D.【解析】试题分析:由题知正数满足，所以，故选D.考点：基本不等式.11．D【解析】试题分析：设点A在上的射影为点C，点B在上的射影为点D，则则，因为，所以,即又因为，所以考点：直线在平面内所成射影和直线与平面所成的角.12．B【解析】试题分析：设,直线,的斜率的分别为,则,因为,所以,故选B．考点：1．椭圆；2．直线的斜率．12．A【解析】试题分析：分成两类：A和C同色时有4×3×3＝36（种）；A和C不同色时4×3×2×2＝48（种），∴一共有36＋48＝84（种）．考点：计数原理-20-\n二13．【解析】试题分析：因为，即，所以由余弦定理得，所以，又，即。所以。考点：余弦定理；平面向量的数量积；三角形的面积公式。点评：我们要注意余弦定理的形式，一般情况下，有平方关系多想余弦定理。属于基础题型。14．【解析】试题分析：若,所以，解得，所以．考点：空间向量的平行15．或.【解析】试题分析：设，∵，且，∴数列是首项为，公差为的等差数列，数列是首项为，公差为的等差数列，∴，，∴，∴可知当或时，取到最小值.考点：1.向量的坐标运算；2.等差数列的通项公式；3.二次函数的性质.16．【解析】试题分析：由题意，当时，，由于而，因此当时，不存在最小值，故满足题意的只能是，此时，是减函数，当时，，当时，，-20-\n，所以，.考点：函数的最值，不等式恒成立问题.三17．(1)；(2)证明详见解析，；（3）.【解析】试题分析：(1)赋值:令；（2）涉及到等差数列，等比数列的证明问题，只需按照定义证明即可，∴利用等比数列的定义证明，利用等比数列通项公式可求出的通项公式，从而求出；（3）根据通项公式求，常用方法有裂项相消法，错位相减法，分组求和法，奇偶并项求和法.试题解析：（1）令，令,.(2),∴数列是首项为4，公比为2的等比数列，∴.（3）∵数列的通项公式，∴.考点：1、赋值法；2、等比数列的定义；3、分组求和法求数列前项和.18．（Ⅰ）见解析；（Ⅱ）.【解析】试题分析：（1）根据条件得出,即可说明，进而证明直线与平面平行；（2）利用已知的线面垂直关系建立空间直角坐标系，准确写出相关点的坐标，从而将几何问题转化为向量问题.其中灵活建系是解题的关键.（3）求出平面与平面的法向量，计算法向量夹角的余弦值即可得到二面角的余弦值.试题解析：（Ⅰ）在正三角形中，在中，因为为中点，，-20-\n所以，，所以，所以在等腰直角三角形中，，所以，，所以.又平面，平面，所以平面.（Ⅱ）因为，所以，分别以为轴,轴,轴建立如图的空间直角坐标系，所以．yxMADBCPN由（Ⅰ）可知，为平面的法向量，设平面的一个法向量为,则，即，令,则平面的一个法向量为设二面角的大小为，则,所以二面角余弦值为.考点：线面平行的判断及其二面角.19．（1）；（2）94分-20-\n【解析】试题分析：(1)回归分析是针对具有相关关系的两个变量进行统计分析的方法，只有散点图大致呈线性时，求出的回归方程才能有实际意义，否则，求出的线性回归方程毫无意义；（2）正确理解计算和的公式和准确的计算是求线性回归方程的关键；（3)根据回归方程进行预报，仅是一个预报值，而不是真实发生的值，只有具有线性相关关系，则可通过线性回归方程来估计和预测.试题解析：解：（1）由题意，，1分，2分所以，5分，8分故线性回归方程为（2）由题意，设该同学的物理成绩为，则物理偏差为：．10分而数学偏差为128-120=8，11分∴，12分解得，13分所以，可以预测这位同学的物理成绩为94分．14分考点：（1）求线性回归方程；（2）利用线性回归方程进行预测.20．（1）（2）是定值，为-1,过程见解析．【解析】试题分析：对于第一问，根据线段的中垂线上的点满足的条件，可知，根据抛物线的定义，可知所求的动点的轨迹为抛物线，结合着题中所给的量，从而求得轨迹方程；对于第二问，根据题意可以确定直线的斜率可以用两点的坐标有关，对于直线的倾斜角互补，可知两直线的斜率互为相反数，直线的方程与抛物线的方程联立，可知对应的坐标为多少，再根据刚刚的条件，从而求得对应的直线的斜率为定值．试题解析：（1）依题意，得1分∴动点M的轨迹E是以为焦点，直线为准线的抛物线，3分-20-\n∴动点M的轨迹E的方程为．5分（2）∵P(1,2)，，在抛物线上，由①-②得，，∴直线的斜率为，③7分设直PC的斜率为k，则PD的斜率为－k，可设直线PC方程为y-2=k(x-1)，由得：ky2-4y-4k+8=0,由，求得y1=-2，同理可求得y2=－-2∴∴直线CD的斜率为定值．12分考点：求动点的轨迹方程，抛物线的定义，直线与抛物线的位置关系，直线的斜率坐标公式．21．（1）；（2）2；（3）证明详见解析.【解析】试题分析：本题主要考查导数的运算、利用导数判断函数的单调性、利用导数求函数的极值和最值、恒成立问题等基础知识，考查学生的分析问题解决问题的能力、转化能力、逻辑思维能力、计算能力.第一问，先对求导，再利用求出函数的递减区间；第二问，先将关于x的不等式恒成立，转化为恒成立，对求导，对和进行讨论，判断函数的最小值是否小于等于0；第三问，将，化简为，再构造函数，通过判断函数的单调区间单调最小值，从而得到，通过解不等式得到的范围.-20-\n试题解析：（Ⅰ），由，得，又，所以.所以的单调减区间为.3分（Ⅱ）令，所以.当时，因为，所以.所以在上是递增函数，又因为，所以关于的不等式≤不能恒成立.5分当时，，令，得.所以当时，；当时，，因此函数在是增函数，在是减函数.故函数的最大值为.7分令，-20-\n因为，，又因为在是减函数.所以当时，.所以整数的最小值为2.8分（Ⅲ）由，即，从而令，则由得，，可知，在区间上单调递减，在区间上单调递增.所以，所以，又，因此成立.12分考点：导数的运算、利用导数判断函数的单调性、利用导数求函数的极值和最值、恒成立问题.选做题22．（Ⅰ）证明见解析；（Ⅱ）【解析】试题分析：（Ⅰ）通过题意分析可得又可得∽，则，又，可得，又，从而（Ⅱ）由条件得，设，根据割线定理得，可得，解出即可求出.试题解析：（Ⅰ）证明：因为四边形为圆内接四边形,所以1分又所以∽，则.3分而，所以.4分又，从而5分（Ⅱ）由条件得.6分-20-\n设，根据割线定理得，即所以，解得,即.10分考点：1、相似三角形；2、割线定理.23．（I）,（Ⅱ）【解析】试题分析：(1)将参数方程转化为直角坐标系下的普通方程；利用，把极坐标方程转化为直角坐标系的普通方程；（2）根据条件将曲线方程联立所得的方程组有解，利用方程有关知识解决本题．试题解析：（1）由题意可得：-----------4分（2）将代人直角坐标方程得-------------------10分考点：参数方程、极坐标方程．24．（1）；（2）或．【解析】试题分析：第一问结合柯西不等式，凑成相应的形式，从而求得结果，第二问注意向最值转换．试题解析：（1）因为，所以，（当且仅当，即时取等号）又因为恒成立，所以．故的最小值为．（2）使恒成立，须且只须．∴或或∴或．考点：柯西不等式，恒成立问题的转换．-20-\n21.（本题满分12分）已知定点F（3，0）和动点P（x，y），H为PF的中点，O为坐标原点，且满足．（1）求点P的轨迹方程；（2）过点F作直线与点P的轨迹交于A，B两点，点C（2，0）．连接AC，BC与直线分别交于点M，N．试证明：以MN为直径的圆恒过点F。解：21．（1），（2）证明见解析，【解析】试题分析：取连接，，，符合双曲线定义，点P的轨迹是以为焦点的双曲线的右支，，点的轨迹方程为：；第二步设直线方程为，联立方程组，设而不求，利用根与系数关系，可得出，根据三点共线，，同理，求出点的坐标，要证明以MN为直径的圆恒过点F，只需证明即可；试题解析：（1）如图取连接，，，由双曲线定义知，点P的轨迹是以为焦点的双曲线的右支，，的轨迹方程为：（5分）（2）设，直线方程为，联立整理得：，-20-\n（6分）三点共线，，同理（8分）即为直径的圆恒过点（12分）考点：1．求动点轨迹方程；2．过定点问题-20-
