湖南省长沙市麓山国际实验学校2022-2022学年高二数学上学期开学摸底考试试题一．选择题（共15小题，每小题4分，总计60分）1．已知集合U={0，1，2，3}，A={0，1，2}，B={2，3}，则（∁UA）∩B（ ）A．{1，3}B．{2，3}C．{3}D．{0，1，2，3}2．下列各组函数中，表示同一函数的是（ ）A．y=1，y=x0B．C．D．3．实数x，y满足x2+y2=1，若|x+2y+a|+|3﹣x﹣2y|的取值与x，y均无关，则实数a的取值范围是（ ）A．[0，1]B．[0，]C．[，]D．[，+∞）4．已知x，y∈R，且x＞y＞0，则（ ）A．＞0B．cosx﹣cosy＞0C．（）x﹣（）y＜0D．lgx+lgy＞05．现在有这么一列数：2，，，，，，，…，按照规律，横线中的数应为（ ）A．B．C．D．6．已知等差数列{an}，{bn}的前n项和分别为，则=（ ）A．B．C．D．7．已知向量=（﹣1，1），=（﹣2，2），=（k+1，k﹣3），若A，B，C三点不能构成三角形，则实数k满足的条件是（ ）A．k=﹣16B．k=16C．k=﹣11D．k=18．某流程图如图所示，现输入如下四个函数，则可以输出的函数是（ ）-8-\nA．B．C．D．9．﹣300°化为弧度是（ ）A．﹣πB．﹣πC．﹣πD．﹣π10．函数f（x）=的定义域为D，对于D内的任意x都有f（﹣1）≤f（x）≤f（1）成立，则b•c+f（3）的值为（ ）A．6B．0C．5D．以上答案均不正确11．已知an=log（n+1）（n+2）（n∈N*），我们把使乘积a1•a2•…•an为整数的数n叫做“劣数”，则在n∈（1，2022）内的所有“劣数”的和为（ ）A．1016B．2022C．2024D．202612．已知函数f（x）=e|x|+x2﹣2有两个零点x1，x2，则x1+x2=（ ）A．﹣1B．0C．1D．313．设a=sin（cos1），b=cos（cos1），c=cos1，d=cos（sin1），则下列不等式正确的是（ ）A．b＞c＞d＞aB．b＞d＞c＞aC．a＞c＞d＞bD．a＞d＞c＞b14．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c（a≥b），，，则a+b的最大值为（ ）A．2B．3C．D．415．已O知是△ABC的外心，，，则=（ ）A．10B．9C．8D．6 二．填空题（共5小题，每小题4分，总计20分）16．已知集合A={x|x2+x+m=0}，若A∩R=∅，则实数m的取值范围是 ．-8-\n17．关于x的方程4x﹣k•2x+k+3=0，只有一个实数解，则实数k的取值范围是 ．18．已知向量=（1，﹣a），=（1，b﹣1）共线，其中a，b＞0则的最小值为 ．19．已知{an}满足an=（n﹣λ）2n（n∈N*），若{an}是递增数列，则实数λ的取值范围是 ．20．设A、B、C、D是半径为2的球面上的四点，且满足AB⊥AC，AD⊥AC，AB⊥AD，则S△ABC+S△ABD+S△ACD的最大值是 ．三．解答题（共5小题，每小题14分，总计70分）21．已知函数f（x）=cos（）+2cos2x﹣1（1）求函数f（x）的最小正周期和单调递减区间；（2）将f（x）的图象左移个单位，再向上移1个单位得到g（x）的图象，试求g（x）在区间[0，]的值域．22．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是矩形，AD⊥PD，BC=1，PC=2，PD=CD=2．（1）求异面直线PA与BC所成角的正切值；（2）证明：平面PDC⊥平面ABCD；（3）求直线PB与平面ABCD所成角的正弦值．-8-\n23．已知函数f（x）=log22x﹣log2x2，（1）求方程f（x）﹣3=0的解；（2）当时，求函数f（x）的最值，并求f（x）取最值时对应的x的值．24．已知圆C的方程为：x2+y2=4（1）求过点P（2，1）且与圆C相切的直线l的方程；（2）直线l过点D（1，2），且与圆C交于A、B两点，若|AB|=2，求直线l的方程；（3）圆C上有一动点M（x0，y0），=（0，y0），若向量=+，求动点Q的轨迹方程．25．已知函数．（1）设集合，B={x|x2﹣6x+p＜0}，若A∩B≠∅，求实数p的取值范围；（2）若2tf（2t）+mf（t）≥0对于t∈[1，2]恒成立，求实数m的取值范围． -8-\n麓山国际实验学校2022届开学摸底考试数学（文/理）试卷参考答案一．选择题（共15小题）1．C2．B3．D4．C5．B6．C7．D8．B9．B10．A11．D12．B13．B14．A15．A二．填空题（共5小题）16．17．（﹣∞，﹣3）∪{6}18．4+219．（﹣∞，3）．20．8三．解答题（共5小题）21．解：（1）函数f（x）=cos（）+2cos2x﹣1=sin2x+cos2x=2sin（2x+），∴f（x）的最小正周期为=π，由，求得，，∴函数f（x）的单调递减区间为．（7分）（2）将f（x）的图象左移个单位，得到y=2sin（2x++）=2sin（2x+）的图象，再向上平移1个单位得到g（x）=2sin（2x+）+1的图象．∵在区间[0，]上，2x+∈[，]，则﹣≤sin（2x+）≤1，∴﹣+1≤g（x）≤3，即函数f（x）的值域为[﹣+1，3]．（14分）22．（1）解：如图，在四棱锥P﹣ABCD中，因为底面ABCD是矩形，所以AD=BC，且AD∥BC，又因为AD⊥PD，故∠PAD为异面直线PA与BC所成角，在Rt△PDA中，=2，所以异面直线PA与BC所成角的正切值为2．（5分）（2）证明：由于底面ABCD是矩形，故AD⊥DC，由于AD⊥PD，CD∩PD=D，-8-\n因此AD⊥平面PDC，而AD⊂平面ABCD，所以平面PDC⊥平面ABCD．（5分）（3）解：在平面PDC中，过点P作PE⊥CD于E，连接EB．由于平面PDC⊥平面ABCD，而直线CD是平面PDC与平面ABCD的交线，故PE⊥平面ABCD．由此得∠PBE为直线PB与平面ABCD所成角，在△PDC中，由于PD=CD=2，PC=2，可得∠PCD=30°，在Rt△PEC中，PE=PCsin30°=．由AD∥BC，AD⊥平面PDC，得BC⊥平面PDC，因此BC⊥PC．在Rt△PCB中，PB==．在Rt△PEB中，sin∠PBE==．所以直线PB与平面ABCD所成角的正弦值为．（4分）23．解：（1）∵f（x）﹣3=0，∴log22x﹣2log2x﹣3=0，∴（log2x﹣3）（log2x+1）=0，∴log2x=3或log2x=﹣1，∴．（7分）（2）设t=log2x，∵，∴t∈[﹣1，2]，f（x）=t2﹣2t=（t﹣1）2﹣1，当t=1，即x=2时，f（x）min=﹣1，-8-\n当t=﹣1，即x=时，f（x）max=3．（7分）24．解：（1）当k不存在时，x=2满足题意；当k存在时，设切线方程为y﹣1=k（x﹣2），由=2得，k=﹣，则所求的切线方程为x=2或3x+4y﹣10=0；（5分）（2）当直线l垂直于x轴时，此时直线方程为x=1，l与圆的两个交点坐标为（1，）和（1，﹣），这两点的距离为2，满足题意；当直线l不垂直于x轴时，设其方程为y﹣2=k（x﹣1），即kx﹣y﹣k+2=0，设圆心到此直线的距离为d，∴d==1，即=1，解得：k=，此时直线方程为3x﹣4y+5=0，综上所述，所求直线方程为3x﹣4y+5=0或x=1；（5分）（3）设Q点的坐标为（x，y），∵M（x0，y0），=（0，y0），=+，∴（x，y）=（x0，2y0），∴x=x0，y=2y0，∵x02+y02=4，∴x2+（）2=4，即+=1．（4分）25．解：（1）当x≥0时，f（x）≤，即，解得0≤x≤2；当x＜0时，f（x）即0成立，综上，f（x）的解集为{x|x≤2}，即A=（﹣∞，2]．设g（x）=x2﹣6x+p，因为A∩B≠∅，所以g（2）＜0，即4﹣6×2+p＜0，解得p＜8，所以实数p的取值范围为：（﹣∞，8）．（7分）-8-\n（2）因为t∈[1，2]，所以f（t）=，2tf（2t）+mf（t）≥0对于t∈[1，2]恒成立，即恒成立，即（）（22t+1+m）≥0，因为22t﹣1≥3，所以22t+1+m≥0恒成立，即m≥﹣（1+22t），因为t∈[1，2]，所以﹣（1+22t）∈[﹣17，﹣5]，则m≥﹣5．故实数m的取值范围为[﹣5，+∞）．（14分）-8-
