榜罗中学2022—2022学年第一学期期中试卷高一数学第I卷一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1、设集合，则（）、、、、2、已知集合，则集合（）、、、、3、函数的值域是（）、、、、4、关于A到B的一一映射，下列叙述正确的是（）①集合A，B必须是非空的②A中不同元素的像可以相同③B中每个元素都有原像④像的集合就是集合B、①②、①②③、②③④、①②③④5、在四个函数中，幂函数有（）、1个、2个、3个、4个6、已知函数，那么的表达式是（）、、、、7、若函数则=（）、、、、\n8、若，则等于（）、、、、9、若，则的取值范围是（）、、、、10、设，则的大小顺序为（）、、、、11、已知在上单调递减，则的取值范围是（）、、、、以上答案都不对12、若，则（）、、3、、二、填空题(本题共4小题，每题5分，共20分)13、如果函数的一个零点为0，则另一个零点是.14、计算=.15、若，则=.16、定义在R上的奇函数满足：对于任意的都有，则的大小关系是.第Ⅱ卷班级：姓名：学号：一、选择题题号123456789101112答案二、填空题1314\n1516三、解答题(本大题共6小题，共670分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17、（10分)设，已知，求的值。18、（12分）已知函数.（1）求函数的定义域；（2）判断函数的奇偶性；（3）若，判断函数在（0，1）上的单调性，并证明.19.（12分）某租赁公司拥有汽车100辆，当每辆车的月租金为3000元时，可全部租出，当每辆车的月租金每增加50元时，未租出的车将会增加一辆，租出的车每辆每月需维护费150元，未租出的车每辆每月需要维护费50元.（1）当每辆车的月租金定为3600元时，能租出多少辆车？（2）当每辆车的月租金定为多少元时，租赁公司的月收益最大？最大月收益是多少？\n20.（12分）已知函数，求的最大值及最小值.\n21.（12分）设，(1)在下列直角坐标系中画出的图象；(2)若，求值；(3)用单调性定义证明在时单调递增。\n22.（12分）已知函数f(x)＝a－.(1)求证：函数y＝f(x)在(0，＋∞)上是增函数；(2)若f(x)<2x在(1，＋∞)上恒成立，求实数a的取值范围．榜罗中学2022—2022学年第一学期期中试卷答案一、选择题题号123456789101112答案DDCABACBAAAC二、填空题13.314.015.-216.三、解答题(本大题共5小题，共66分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17----------------------------------1分有或，解得：---------------------4分\n当时，，则有，与题意不相符，舍去。-----------6分当时，，则与中有3个元素不相符，舍去。------------------8分当时，，------10分18.已知f(x)是定义在(0，+∞)上的增函数，且满足f(xy)＝f(x)＋f(y)，f(2)＝1.（1）求证：f(8)＝3(2)求不等式f(x)－f(x－2)>3的解集.考查函数对应法则及单调性的应用.（1）【证明】由题意得f(8)＝f(4×2)＝f(4)＋f(2)＝f(2×2)＋f(2)＝f(2)＋f(2)＋f(2)＝3f(2)又∵f(2)＝1∴f(8)＝3(2)【解】不等式化为f(x)>f(x－2)+3∵f(8)＝3∴f(x)>f(x－2)＋f(8)＝f(8x－16)∵f(x)是（0，+∞）上的增函数∴解得2<x<19.某租赁公司拥有汽车100辆，当每辆车的月租金为3000元时，可全部租出，当每辆车的月租金每增加50元时，未租出的车将会增加一辆，租出的车每辆每月需维护费150元，未租出的车每辆每月需要维护费50元.（1）当每辆车的月租金定为3600元时，能租出多少辆车？（2）当每辆车的月租金定为多少元时，租赁公司的月收益最大？最大月收益是多少？考查函数的应用及分析解决实际问题能力.【解】（1）当每辆车月租金为3600元时，未租出的车辆数为＝12，所以这时租出了88辆.（2）设每辆车的月租金定为x元，则公司月收益为f(x)＝(100－)(x－150)－×50整理得:f(x)＝－＋162x－2100＝－(x－4050)2＋307050∴当x＝4050时，f(x)最大，最大值为f(4050)＝307050元20.已知函数f(x)＝log2x－logx+5，x∈［2，4］，求f(x)的最大值及最小值.考查函数最值及对数函数性质.【解】令t＝logx∵x∈［2，4］，t＝logx在定义域递减有\nlog4<logx<log2，∴t∈［－1,－］∴f(t)＝t2－t＋5＝(t－)2＋,t∈［－1,－］∴当t＝－时，f(x)取最小值当t＝－1时，f(x)取最大值7.21已知函数f(x)＝(ax－a－x)(a>0且a≠1)是R上的增函数，求a的取值范围.考查指数函数性质.【解】f(x)的定义域为R，设x1、x2∈R，且x1<x2则f(x2)－f(x1)＝(a－a－a+a)＝(a－a)(1+)由于a>0，且a≠1，∴1＋>0∵f(x)为增函数，则(a2－2)(a－a)>0于是有，解得a>或0<a<122 (1)证明：当x∈(0，＋∞)时，f(x)＝a－，设0<x1<x2，则x1x2>0，x1－x2<0.f(x1)－f(x2)＝(a－)－(a－)＝－＝<0.∴f(x1)<f(x2)，即f(x)在(0，＋∞)上是增函数．(2)解：由题意a－<2x在(1，＋∞)上恒成立，设h(x)＝2x＋，则a<h(x)在(1，＋∞)上恒成立．可证h(x)在(1，＋∞)上单调递增．故a≤h(1)，即a≤3，∴a的取值范围为(－∞，3]．
