福建省龙岩一中2022-2022学年高一（上）第一次月考数学试卷一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.已知集合P={（x，y）|x+y=3}，集合Q={（x，y）|x-y=5}，那么P∩Q=（）A.香䁥1㌳䁩B.香䁥1㌳C.䁥、1䁩D.12.函数香㌳1的定义域是（）1A.1㌳B.11㌳香1㌳C.香1㌳D.香㌳3.下列四组函数中表示的为同一个函数的一组为（）A.香㌳1香㌳香1㌳2B.香㌳，香㌳ሻሻ22香㌳2C.香㌳，香㌳香2㌳D.香㌳香㌳2香㌳5ሻ䁥.已知f（x）=香2㌳ሻ，则f[f（3）]=（）A.1B.2C.3D.4235.函数香㌳，当x∈[2，+∞）时，函数的值域为（）1A.香thB.香2㌳香2thC.香2thD.2㌳ሻ.如图中阴影部分所表示的集合是（）A.香㌳hB.香㌳香㌳C.香㌳香㌳D.香㌳ht.已知ab＞0，则函数y=ax2与y=ax+b的图象可能是下列中的（）A.B.C.D.8.已知F（x）=mf（x）+ng（x）+x+2对任意x∈（0，+∞）都有F（x）≤F（2）=8，且f（x）与g（x）都是奇函数，则在（-∞，0）上F（x）有（）A.最大值8B.最小值8C.最大值1D.最小值䁥22h香1㌳9.已知函数香㌳，若香㌳在香，㌳上是增函香2h1㌳3hሻ香ǡ1㌳数，则实数a的取值范围是（）1/1511A.香1hB.香㌳C.1㌳D.12h22香㌳香㌳1.若函数y=f（x）为偶函数，且在（0，+∞）上是减函数，又f（3）=0，则＜2的解集为（）A.香33㌳B.香3㌳香3㌳C.香3㌳香3㌳D.香3㌳香3㌳2ሻሻ11.设函数f（x）=，若互不相等的实数x1，x2，x3满足f（x1）=f（x2）=f3䁥（x3），则x1+x2+x3的取值范围是（）111122ሻ22ሻA.香ሻ㌳B.ሻhC.香㌳D.香h33333312.在实数R中定义一种运算“*”，具有下列性质：（1）对任意a，b∈R，a*b=b*a；（2）对任意a∈R，a*0=a；（3）对任意a，b，c∈R，（a*b）*c=c*（ab）+（a*c）+（b*c）-2c则函数香㌳的单调递减区间是（）21333A.香hB.㌳C.香hD.香h2222二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13.函数y=2x+21的值域为______．1䁥.已知：非实数集M⊆{1，2，3，4，5}，则满足条件“若x∈M，则6-x∈M”的集合M的个数是______．15.已知函数f（x+1）的定义域为[-1，0），则f（2x）的定义域是______．1ሻ.关于x的方程（x2-1）2-|x2-1|+k=0，给出下列四个结论：①当k＜0时，方程恰有2个不同的实根；②当k=0时，方程恰有5个不同的实根；11③当k=时，方程恰有4个不同的实根；④当0＜＜时，方程恰有8个不同的实䁥䁥根．其中正确的是______．三、解答题（本大题共6小题，共70.0分）1122t1t.（Ⅰ）已知22=3，计算：1；3111121（Ⅱ）求香㌳3香ሻ㌳2香22㌳33的值．2t䁥2䁥1，香㌳18.已知函数香㌳1，记不等式f（x）≤4的解集为M，记函5，香＞㌳数香㌳2253的定义域为集合N．（Ⅰ）求集合M和N；（Ⅱ）求M∩N和MRN．19.已知集合A={x|x≥2}，B={x|-1≤x≤5}．（Ⅰ）求（RA）∩B；（Ⅱ）若D={x|1-a≤x≤1+a}，且DRB=RB，求实数a的取值范围．2.已知f（x）=2，x∈（-2，2）䁥（1）判断f（x）的奇偶性并说明理由；（2）求证：函数f（x）在（-2，2）上是增函数；（3）若f（2+a）+f（1-2a）＞0，求实数a的取值范围．21.某旅游点有50辆自行车供游客租赁使用，管理这些自行车的费用是每日115元．根据经验，若每辆自行车的日租金不超过6元，则自行车可以全部租出；若超过6元，则每提高1元，租不出去的自行车就增加3辆．规定：每辆自行车的日租金不超过20元，每辆自行车的日租金x元只取整数，并要求出租所有自行车一日的总收入必须超过一日的管理费用，用y表示出租所有自行车的日净收入（即一日中出租所有自行车的总收入减去管理费后的所得）．（1）求函数y=f（x）的解析式及定义域；（2）试问日净收入最多时每辆自行车的日租金应定为多少元？日净收入最多为多少元？22.一次函数f（x）是R上的增函数，g（x）=f（x）（x+m），已知f[f（x）]=16x+5．（Ⅰ）求f（x）；3/15（Ⅱ）若g（x）在（1，+∞）单调递增，求实数m的取值范围；（Ⅲ）当x∈[-1，3]时，g（x）有最大值13，求实数m的值．答案和解析1.【答案】A【解析】解：∵集合P={（x，y）|x+y=3}，集合Q={（x，y）|x-y=5}，∴P∩Q={（x，y）|x+y=3，且x-y=5}={（4，-1）}，故选：A．根据集合交集的定义，结合二元一次方程的解法，我们易求出集合P∩Q的值．本题考查的知识点是交集及其运算，其中根据二元一次方程组的解法，求出方程组x+y=3，且x-y=5的解是解答本题的关键，另外醒本题的答案是一个点集，易错当成数集而得到错选C．2.【答案】B【解析】解：要使函数有意义，必须，解得x∈[-1，1）（1，+∞）．故选：B．令被开方数大于等于0，分母不为0，求出x的范围，即为定义域．本题考查求函数的定义域时开偶次方根时，要保证被开方数大于等于0．定义域的形式一定是集合或区间．3.【答案】D【解析】解：对于A，函数f（x）=x-1（x∈R），与g（x）==x-1（x≥1）的定义域不同，不是同一函数；对于B，函数f（x）=x（x∈R），与g（x）=|x|=（x∈R）的对应关系不同，不是同一函数；对于C，函数f（x）=x2（x∈R），与g（x）=（x+2）2=x2+4x+4（x∈R）的对应关系不同，不是同一函数；对于D，函数f（x）==1（x＞0），与g（x）==1（x＞0）的定义域相同，对应法则也相同，是同一函数．故选：D．5/15根据两个函数的定义域相同，对应法则也相同，即可判断它们是同一函数．本题考查了判断两个函数是否为同一函数的问题，是基础题．4.【答案】A【解析】解：∵f（x）=，∴f（3）=f（5）=f（7）=7-5=2，f[f（3）]=f（2）=f（4）=f（6）=6-5=1．故选：A．先求出f（3）=f（5）=f（7）=7-5=2，从而f[f（3）]=f（2）=f（4）=f（6）=6-5=1．本题考查函数值的求法，考查函数性质等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题．5.【答案】C【解析】解：=．∵x≥2，∴x-1≥1，则（0，5]，∴∈（2，7]，故选：C．把已知函数解析式变形，分离常数，可得，结合x的范围得答案．本题考查函数值域的求法，训练了利用分离常数法求函数的值域，是中档题．6.【答案】A【解析】解：由韦恩图可以看出，阴影部分是B中且不在A、C内部分所得，即B与[CU（AC）]的交集组成的集合，即：B∩[CU（AC）]．故选：A．由韦恩图可以看出，阴影部分是B中且不在A、C内部分所得，由韦恩图与集合之间的关系易得答案．本题主要考查了Venn图表达集合的关系及运算．阴影部分在表示A的图内，表示x∈A；阴影部分不在表示A的图内，表示x∈CUA．7.【答案】D【解析】解：当a＞0，b＞0时，y=ax+b的图象不经过第四象限，y=ax2的图象开口向上，没有选项符合，当a＜0，b＜0时，y=ax+b的图象不经过第一象限，y=ax2的图象开口向下，只有D选项符合，故选：D．根据ab＞0，可以分为a＞0，b＞0时，或a＜0，b＜0时，两种情况讨论即可．本题主要考查了一次函数和二次函数的图象和性质，属于基础题．8.【答案】D【解析】解：令G（x）=mf（x）+ng（x）+x，因为f（x），x与g（x）都是奇函数，所以G（x）是奇函数，则G（x）的图象关于原点对称．当x∈（0，+∞）时都有F（x）≤F（2）=8，即F（x）有最大值8，则G（x）有最大值6，所以在x∈（-∞，0）时G（x）有最小值-6，而F（x）=mf（x）+ng（x）+x+2的图象是由G（x）的图象向上平移2个单位得到，所以F（x）在（-∞，0）有最小值-6+2=-4，故选：D．令G（x）=mf（x）+ng（x）+x，易知G（x）为奇函数，其图象关于原点对称，由题意可得F（x）在（0，+∞）的最大值，从而可求得G（x）的最大值，根据对称性进而可得其在（-∞，0）上的最小值，通过F（x）与G（x）图象关系即可求得F（x）的最小值．本题考查抽象函数的奇偶性及其最值求法，考查奇偶函数的图象特征，考查数形结合思想，属中档题．t/159.【答案】D【解析】解：因为函数f（x）在（-∞，+∞）上是增函数，所以f（x）在（-∞，1），（1，+∞）上均单调递增，且-12+2a×1≤（2a-1）×1-3a+6，故有，解得1≤a≤2．所以实数a的取值范围是[1，2]．故选：D．由题意可得，函数在（-∞，1）上是增函数，在（1，+∞）上也是增函数，且有-12+2a×1≤（2a-1）×1-3a+6，从而可得一不等式组，解出即可．本题考查函数的单调性的性质，考查学生分析问题解决问题的能力，注意体会数形结合思想在分析问题中的作用．10.【答案】B【解析】解：因为y=f（x）为偶函数，所以，所以不等式等价为．因为函数y=f（x）为偶函数，且在（0，+∞）上是减函数，又f（3）=0，所以解得x＞3或-3＜x＜0，即不等式的解集为（-3，0）（3，+∞）．故选：B．利用函数的奇偶性将不等式进行化简，然后利用函数的单调性确定不等式的解集．本题主要考查函数奇偶性的应用，利用数形结合的思想是解决本题的关键．11.【答案】A【解析】解：函数f（x）=的图象，如图，不妨设x1＜x2＜x3，则x2，x3关于直线x=3对称，故x2+x3=6，且x1满足-＜x1＜0；则x1+x2+x3的取值范围是：-+6＜x1+x2+x3＜0+6；即x1+x2+x3∈（，6）．故选：A．先作出函数f（x）=的图象，如图，不妨设x1＜x2＜x3，则x2，x3关于直线x=3对称，得到x2+x3=6，且-＜x1＜0；最后结合求得x1+x2+x3的取值范围即可．本小题主要考查分段函数的解析式求法及其图象的作法、函数的值域的应用、函数与方程的综合运用等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想、化归与转化思想．属于基础题．12.【答案】D【解析】解：在（3）中，令c=0，则==（x+）2-，易知函数f（x）的单调递减区间为，故选：D．准确理解运算“*”的性质：①满足交换律，②a*0=a；③，（a*b）*c=c*（ab）+（a*c）+（b*c）-2c，故有：a*b=（a*b）*0=0*（ab）+（a*0）+（b*0）-2×0；代入可得答案．9/15此题是个中档题．本题是一个新定义运算型问题，解答的关键是对函数的单调性等有关性质的理解以及同学们类比运算解决问题的能力．13.【答案】[1，+∞）【解析】解：由题意，2x-1≥0，故2x+≥1；即函数y=2x+的值域为[1，+∞）；故答案为：[1，+∞）．由题意知2x-1≥0，从而得2x+≥1．本题考查了函数的值域的求法，属于基础题．14.【答案】7【解析】解∵M⊆{1，2，3，4，5}，则满足条件“若x∈M，则6-x∈M”．1+5=2+4=3+3，故M可以是{3}，{1，5}，{2，4}，{1，3，5}，{2，3，4}，{1，2，4，5}，{1，2，3，4，5}，共7个．故答案为：7．根据集合满足的条件，判断集合中的元素情况，从而判断集合M的情况．本题主要考查集合元素的确定，利用条件进行推导元素是解决本题的关键，考查学生的推理和分析能力．115.【答案】[0，）2【解析】解：∵函数f（x+1）的定义域为[-1，0），∴-1≤x＜0，则0≤x+1＜1，即f（x）的定义域为[0，1），由0≤2x＜1，得0≤x＜．∴f（2x）的定义域是[0，）．故答案为：[0，）．由已知函数的定义域求得f（x）的定义域，再由2x在f（x）的定义域内求得x的范围得答案．本题考查函数的定义域及其求法，关键是掌握该类问题的求解方法，是基础题．16.【答案】①②③④【解析】解：关于x的方程（x2-1）2-|x2-1|+k=0化为：（x2-1）2-（x2-1）+k=0（x≥1或x≤-1）（1），或（x2-1）2+（x2-1）+k=0（-1＜x＜1）（2），①当k＜0时，由方程（1）得，可得时方程（1）有2个不同实根，由方程（2）得，方程（2）无解，原方程恰有2个不同的实根；②当k=0时，方程（1）的解为-1，+1，±，方程（2）的解为x=0，原方程恰有5个不同的实根；③当k=时，方程（1）有两个不同的实根±，方程（2）有两个不同的实根±，即原方程恰有4个不同的实根；④当0时，由方程（1）得，可得方程（1）有4个不同实根，由方程（2）得，方程（2）有4个不同实根，原方程恰有8个不同的实根．∴四个命题都是真命题．故答案为：①②③④．将方程根的问题转化成函数图象的问题，画出函数图象，结合图象可得结论．11/15本题主要考查了分段函数，以及函数与方程的思想，数形结合的思想，属于中档题．1117.【答案】解：（Ⅰ）由=3，得x+2+x-1=9，22∴x+x-1=7，再平方，可得x2+x-2+2=49，∴x2+x-2=47．22t䁥tt∴=䁥；13t3111121（Ⅱ）香㌳3香ሻ㌳2香22㌳332t䁥15132132=香3㌳3香㌳2香22㌳31231511=13223=-1．【解析】（Ⅰ）把已知等式两次两边平方，求得x+x-1及x2+x-2的值，则答案可求；（Ⅱ）化带分数为假分数，化负指数为正指数，再由有理指数幂的运算性质求解．本题考查有理指数幂的化简求值，考查有理指数幂的运算性质，是基础题．2䁥1，香㌳18.【答案】解：（Ⅰ）函数香㌳1，5，香＞㌳当x≤0时，f（x）=-x2-4x+1≤4，即x2+4x+3≥0，解得x≤-3或-1≤x≤0，1当x＞0时，f（x）=-+5≤4，解得0＜x≤1；综上，不等式f（x）≤4的解集M={x|x≤-3或-1≤x≤1}；∵函数g（x）=2253的定义域为集合N，1∴N={x|-2x2+5x+3≥0}={x|-≤x≤3}；21（Ⅱ）由题意知，M∩N={x|-≤x≤1}，21RN={x|x＜-或x＞3}，2∴MRN={x|x≤1或x＞3}．【解析】（Ⅰ）利用分类讨论法求出f（x）≤4的解集M和g（x）的定义域N；（Ⅱ）根据集合的运算法则求出M∩N和MRN的值．本题考查了求不等式的解集和集合的运算问题，是中档题．19.【答案】解：（Ⅰ）∵集合A={x|x≥2}，B={x|-1≤x≤5}．∴RA={x|x＜2}，（RA）∩B={x|-1≤x＜2}．（Ⅱ）∵D={x|1-a≤x≤1+a}，且DRB=RB，RB={x|x＜-1或x＞5}，∴D⊆RB，当D=∅时，1-a＞1+a，解得a＜0，成立；1h1h1h1h当D≠∅时，或，无解．1hǡ51h1综上，实数a的取值范围是（-∞，0）．【解析】（Ⅰ）先求出RA={x|x＜2}，由此能求出（RA）∩B．（Ⅱ）由D={x|1-a≤x≤1+a}，且DRB=RB，求出RB={x|x＜-1或x＞5}，从而D⊆RB，当D=∅时，1-a＞1+a，当D≠∅时，或，由此能求出实数a的取值范围．本题考查补集、交集的求法，考查不等式的求法，考查[补集、交集的定义等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．20.【答案】解：（1）函数f（x）=2是定义域（-2，2）上的奇函数，䁥理由如下，任取x∈（-2，2），有f（-x）=香㌳21=-21=-f（x），所以f（x）是定义域（-2，2）上的奇函数；…5分（2）证明：设x1，x2为区间（-2，2）上的任意两个值，且x1＜x2，则香㌳香㌳香1㌳香2㌳=香21㌳香12䁥㌳122䁥2䁥香2䁥㌳香2䁥㌳；…8分1212因为-2＜x1＜x2＜2，所以x2-x1＞0，x1x2-4＜0，即f（x1）-f（x2）＜0；所以函数f（x）在（-2，2）上是增函数；…10分（3）因为f（x）为奇函数，所以由f（2+a）+f（1-2a）＞0，得f（2+a）＞-f（1-2a）=f（2a-1），又因为函数f（x）在（-2，2）上是增函数，13/152＜2h＜2所以2＜2h1＜2；…13分2h＞2h1䁥＜h＜13解得＜h＜，22h＜31即实数a的取值范围是（-，0）．…15分．2【解析】（1）利用奇偶性的定义判断函数f（x）是定义域上的奇函数；（2）根据单调性的定义证明f（x）是（-2，2）上的增函数；（3）根据f（x）为奇函数且在（-2，2）上是增函数，转化不等式f（2+a）+f（1-2a）＞0，求出a的取值范围．本题考查了函数的奇偶性与单调性的应用问题，也考查了不等式的解法与应用问题，是综合性题目．21.【答案】解：（1）当x≤6时，y=50x-115，令50x-115＞0，解得x＞2.3．∵x∈N，∴x≥3，∴3≤x≤6，且x∈N．当6＜x≤20时，y=[50-3（x-6）]x-115=-3x2+68x-1155115香3ሻ∈㌳综上可知23ሻ8115香ሻ2∈㌳.（2）当3≤x≤6，且x∈N时，∵y=50x-115是增函数，∴当x=6时，ymax=185元．23䁥2811当6＜x≤20，x∈N时，y=-3x+68x-115=3香㌳，33∴当x=11时，ymax=270元．综上所述，当每辆自行车日租金定在11元时才能使日净收入最多，为270元．【解析】（1）函数y=f（x）=出租自行车的总收入-管理费；当x≤6时，全部租出；当6＜x≤20时，每提高1元，租不出去的就增加3辆；所以要分段求出解析式；（2）由函数解析式是分段函数，在每一段内求出函数最大值，比较得出函数的最大值．本题用分段函数模型考查了一次函数，二次函数的性质与应用，是基础题．22.【答案】解：（Ⅰ）∵f（x）是R上的增函数，∴设f（x）=ax+b，（a＞0）---------------------（1分）∴f[f（x）]=a（ax+b）+b=a2x+ab+b=16x+5h21ሻ∴，---------------------------------（3分）h香香5h䁥h䁥解得香1或5（不合题意舍去）---------------------------------（5分）香3∴f（x）=4x+1---------------------------------（6分）（Ⅱ）g（x）=f（x）（x+m）=（4x+1）（x+m）=4x2+（4m+1）x+m---------------（7分）䁥㌳1䁥㌳1对称轴，根据题意可得1，---------------------------------（8分）889解得㌳䁥9∴m的取值范围为，㌳---------------------------------（9分）䁥䁥㌳19（Ⅲ）①当1时，即㌳时g（x）max=g（3）=39+13m=13，解得m=-2，符8䁥合题意；（11分）䁥㌳191②当＞1时，即㌳＜时g（x）max=g（-1）=3-3m=13，解得㌳，符合题8䁥3意；（13分）1由①②可得m=-2或㌳------------------------------（14分）3【解析】（Ⅰ）根据f（x）是R上的增函数，设f（x）=ax+b，（a＞0），利用f[f（x）]=16x+5，可得方程组，求出a，b，即可求f（x）；（Ⅱ）求出g（x）的解析式，利用二次函数的性质，结合函数在（1，+∞）单调递增，可求实数m的取值范围；（Ⅲ）对二次函数的对称轴，结合区间分类讨论，利用当x∈[-1，3]时，g（x）有最大值13，即可求实数m的值．本题考查函数解析式的确定，考查二次函数的性质，考查函数的最值，考查分类讨论的数学思想，确定函数解析式是关键．15/15
