建瓯二中2022届高三下学期第二次模拟考试数学（理）试题一、选择题：本大题有10小题，每小题5分，共50分.1.如果复数为纯虚数，那么实数的值为A．－2B．1C．2D．1或－22.已知平面向量=（1，－3），=（4，－2），与垂直，则是A.1B.2C.－2D.-13．已知数列﹛﹜为等差数列，且，则的值为A．B．C．D．4．下列命题中，真命题是A．B．C．命题“若”的逆否命题D．是的充分条件5．给定以下说法，其中错误的个数为（1）函数在区间上有唯一的零点；（2）向量与向量共线，则向量与向量方向相同或是方向相反；（3）若角，则一定有；（4）若,使导数，则函数在处取得极大或是极小值。A.4个B.3个C.2个D.1个6．函数的零点个数为A.0B.1C.2D.37．为全面开展“我与中国梦”活动，2022年我省派出5名优秀大学生去北京的三所大学进行学习交流，每所大学至少派一名大学生，则不同的分配方法有( )A．80种B．90种C．120种D．150种8.设,,若直线与圆相切,则的取值范围是A．B．C．D．8\n9．满足，它的前项和为，则满足的最小值是A．12B．11 C．10 D．910.若实数a、b、c使得函数的三个零点分别为椭圆、双曲线、抛物线的离心率，则a，b，c的一种可能取值依次为A．-2，-1，2B．2，0，-2C．D．二、填空题：本大题有5小题，每小题4分，共20分.11.函数的单调递增区间是。12．已知的展开式中的常数项为．13.三棱锥的三个侧棱两两垂直，且侧棱长均为，则其外接球的表面积是___________. 14．袋中装有3个红球和2个白球，如果不放回依次抽取两次，记A={第一次抽到红球}B={第二次抽到红球}.则=.15.函数的定义域为，若存在闭区间[m,n]D，使得函数满足：①在[m,n]上是单调函数；②在[m,n]上的值域为[2m,2n]，则称区间[m,n]为的“倍值区间”．下列函数中存在“倍值区间”的有(填上所有正确的序号)①；②；③；④三、解答题:本大题有6小题，共80分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.16．（本小题满分13分）已知向量，，函数，(Ⅰ)求函数的最小正周期；(Ⅱ)在中，分别是角的对边，且，，，且，求的值。17．（本小题满分13分）8\n设，其中为正实数.（1）当时，求的极值点；（2）若为上的单调函数，求的取值范围.18．（本小题满分13分）中华人民共和国《道路交通安全法》中将饮酒后违法驾驶机动车的行为分成两个档次：“酒后驾车”和“醉酒驾车”，其检测标准是驾驶人员血液中的酒精含量（简称血酒含量，单位是毫克/100毫升），当时，为酒后驾车；当时，为醉酒驾车.我省福州市公安局交通管理部门于2022年4月的一天对某路段的一次拦查行动中，依法检查了200辆机动车驾驶员的血酒含量，其中查处酒后驾车的有6人，查处醉酒驾车的有4人，依据上述材料回答下列问题：（Ⅰ）分别写出违法驾车发生的频率和醉酒驾车占违法驾车总数的百分数；（Ⅱ）从违法驾车的10人中抽取4人，求抽取到醉酒驾车人数的分布列和期望；（Ⅲ）饮酒后违法驾驶机动车极易发生交通事故，假设酒后驾车和醉酒驾车发生交通事故的概率分别是0．2和0．5，且每位驾驶员是否发生交通事故是相互独立的依此计算被查处的10名驾驶员中至少有一人发生交通事故的概率.（只需列式，不必求值）19.（本小题满分13分）已知四边形ABCD是正方形，P是平面ABCD外一点，且PA=PB=PC=PD=AB=2，是棱的中点．(Ⅰ)求证：；(Ⅱ)求证：；(Ⅲ)求直线与直线所成角的余弦值．20．（本小题满分13分）一个截面为抛物线形的旧河道(如图1)，河口宽米，河深2米，现要将其截面改造为等腰梯形(如图2)，要求河道深度不变，而且施工时只能挖土，不准向河道填土．8\n(Ⅰ)建立恰当的直角坐标系并求出抛物线弧的标准方程；(Ⅱ)试求当截面梯形的下底（较长的底边）长为多少米时，才能使挖出的土最少？21．（本小题满分14分）(1)设矩阵所对应的变换是把坐标平面上的点的横坐标伸长到2倍，纵坐标伸长到3倍的伸缩变换．（Ⅰ）求矩阵的特征值及相应的特征向量；（Ⅱ）求逆矩阵以及椭圆在的作用下的新曲线的方程．(2)已知直线（t为参数），（为参数）.（Ⅰ）当时，求与的交点坐标；（Ⅱ）过坐标原点做的垂线，垂足为，为中点，当变化时，求点的轨迹的参数方程.(3)已知均为正实数，且.求的最大值.8\n建瓯二中2022届高中毕业班5月份第二次模拟考试理科数学试卷参考答案及评分标准1-10：ADBDBCDDBC11.12.13.14.15.①③④16、解：（1）--------3分∴函数的最小周期----------5分（2）-------------8分------------9分是三角形内角∴，∴即：-------------10分∴即：----------------11分将可得：解之得：∴，∴------------13分17.解：∵， ……………3分00递增极大值递减极小值递增（1）当时，若，则， ∴是极大值点，是极小值点； ……………………7分（2）记，则，8\n∵为上的单调函数，则在上不变号，∵，∴或对恒成立，………11分由或或， ∴的取值范围是或. …………………13分18．解：（1）违法驾车发生的频率为，醉酒驾车占违法驾车的百分数为；..4分（2）的所有可能取值为：0,1,2,3,4…………………………5分的分布列为01234……………………………………………………10分（3）至少有一人发生交通事故的概率为……13分19.解：连结AC、BD交于点O，连结OP。∵四边形ABCD是正方形，∴AC⊥BD∵PA=PC，∴OP⊥AC，同理OP⊥BD，以O为原点，分别为轴的正方向，建立空间直角坐标系…………………2分…………………4分8\n…………………9分…………………13分20.解：（1）如图：以抛物线的顶点为原点,中垂线为轴建立直角坐标系------1分则设抛物线的方程为，将点代入得---3分所以抛物线弧AB方程为（）------4分（2）解法一：设等腰梯形的腰与抛物线相切于则过的切线的斜率为所以切线的方程为：，即令，得，令，得，所以梯形面积-----10分当仅当，即时，成立此时下底边长为12分答：当梯形的下底边长等于米时，挖出的土最少．-----13分 解法二：设等腰梯形上底（较短的边）长为米，则一腰过点，可设此腰所在直线方程为，联立，得，令，得，或（舍），故此腰所在直线方程为，令，得，故等腰梯形的面积：8\n------------10分当且仅当，即时，有此时，下底边长-12分答：当梯形的下底边长等于米时，挖出的土最少．----------13分21.解:（Ⅰ）由条件得矩阵，它的特征值为和，对应的特征向量为及；…4分（Ⅱ），椭圆在的作用下的新曲线的方程为7分（2）解：（Ⅰ）当时，的普通方程为，的普通方程为.联立方程组，8
