福建省南安第一中学2022-2022学年高二上学期期末考试数学试题理第I卷（选择题共60分）一.选择题（共12小题，每小题5分，只有一个选项正确，请把答案填在答题卡上）：1.为虚数单位，若，则的值为（）A．B．C．D．2.以下说法，正确的个数为（）①公安人员由罪犯的脚印的尺寸估计罪犯的身高情况，所运用的是类比推理．②农谚“瑞雪兆丰年”是通过归纳推理得到的．③由平面几何中圆的一些性质，推测出球的某些性质这是运用的类比推理．④个位是5的整数是5的倍数，2375的个位是5，因此2375是5的倍数，这是运用的演绎推理．A．0B．2C．3D．43.函数的定义域为开区间，导函数在内的图象如下图所示，则函数在开区间内有极大值点（）A．1个B．2个C．3个D．4个4.下表是降耗技术改造后生产甲产品过程中记录的产量x(吨)与相应的生产能耗y(吨标准煤)的几组对应数据，据表中提供的数据，求出y关于x的线性回归方程为＝0.7x＋0.35，那么表中值为x3456y2.544.5（）A．B．C．D．5.若函数的图象上一点（1，1）及邻近一点（1+△x，1+△y），则等于（）A．4B．4xC．4+2△xD．4+2△x2-10-\n6.下面说法：①如果一组数据的众数是5，那么这组数据中出现次数最多的数是5；②如果一组数据的平均数是0，那么这组数据的中位数为0；③如果一组数据1，2，x，4的中位数是3，那么x=4；④如果一组数据的平均数是正数，那么这组数据都是正数．其中错误的个数是（）A．1B．2C．3D．47.函数的图象在点处的切线方程为（）A．B．C．D．8.如图，由函数的图象，直线及x轴所围成的阴影部分面积等于（）A．B．C．D．9.函数在（0,1）内有极小值，则实数a的取值范围是（）A．B．C．D．10.某初级中学有学生300人，其中一年级120人，二，三年级各90人，现要利用抽样方法取10人参加某项调查，考虑选用简单随机抽样、分层抽样和系统抽样三种方案，使用简单随机抽样和分层抽样时，将学生按一，二，三年级依次统一编号为1，2，…300；使用系统抽样时，将学生统一编号为1，2，…300，并将整个编号依次分为10段．如果抽得的号码有下列四种情况：①7，37，67，97，127，157，187，217，247，277；②5，9，100，107，121，180，195，221，265，299；③11，41，71，101，131，161，191，221，251，281；④31，61，91，121，151，181，211，241，271，300关于上述样本的下列结论中，正确的是（）A．①④都可能为系统抽样B．①③都可能为分层抽样C．②③都不能为系统抽样D．②④都不能为分层抽样11.已知，是双曲线的左，右焦点，若双曲线左支上存在一点与点关于直线对称，则该双曲线的离心率为（）-10-\nA．B．C．D．12.已知函数，，若任意给定的总存在两个不同的，使得成立，则实数的取值范围是（）A．B．C．D．第II卷（非选择题，共90分）二.填空题（共4小题，每小题4分，请把答案写在答题卡上）：13.函数的单调增区间为．14.在正方体中，分别为棱和的中点，则sin〈，〉的值为________．15.要做一个圆锥形漏斗，其母线长为，要使其体积最大，则其高为．_H_C_B_A_S_a_c_b_h'16.在平面几何里，已知的两边互相垂直，且，则边上的高；拓展到空间，如图，三棱锥的三条侧棱两两相互垂直,且,则点到面的距离三.解答题（共6小题，要求写出解答过程或者推理步骤）：17.(本题满分12)已知函数的极值点为和．（Ⅰ）求实数，的值；（Ⅱ）求函数在区间上的最大值.18.(本题满分12分)在数列{}中，，且，（1）求的值；（2）猜测数列{}的通项公式，并用数学归纳法证明。-10-\n19.(本题满分12分)如图，矩形所在的平面与平面垂直，且，，，分别为的中点．（Ⅰ）求证：直线与平面平行；（Ⅱ）若点在直线上，且二面角的大小为，试确定点的位置．20.(本题满分12分)已知函数（）．（Ⅰ）若函数在区间上是单调递增函数，试求实数的取值范围；（Ⅱ）当时，求证：（）．21.(本题满分12分)已知直线与椭圆相交于、两点．（1）若椭圆的离心率为，焦距为，求线段的长；（2）若向量与向量互相垂直（其中为坐标原点），当椭圆的离心率时，求椭圆长轴长的最大值．-10-\n22.(本题满分14分)已知函数(1)当时，求函数的极小值；(2)当时，过坐标原点作曲线的切线，设切点为，求实数的值；(3)设定义在上的函数在点处的切线方程为当时，若在内恒成立，则称为函数的“转点”．当时，试问函数是否存在“转点”.若存在,请求出“转点”的横坐标,若不存在,请说明理由．-10-\n南安一中2022～2022学年度高二上学期期末考理科数学试卷参考答案∴，………………6分当变化时，与的变化情况如下表：12300单调递增单调递减单调递增……10分………………11分∴，………………12分18.解：（1）6分（2）猜测。下用数学归纳法证明：7分①当时，显然成立；8分②假设当时成立，即有，则当时，由得，故，故时等式成立；-10-\n③由①②可知，对一切均成立。12分19.解：（Ⅰ）证明：取的中点，连结，．∵分别是的中点，∴，∴平面，…………………3分又，且平面，平面，∴平面．…………………5分（Ⅱ）解：如图，在平面内，过作的垂线，记为，则平面.以为原点，、、所在的直线分别为轴，轴，轴建立建立空间直角坐标系.∴.∴，，．…………………7分设，则.设平面的法向量为，则∴取，得，，∴．.…………………9分又平面的法向量为，.…………………10分∴，解得或.故或（或）.…………………12分20.解：（1）因为…………1分，若函数在区间上是单调递增函数，则恒成立，即恒成立，所以．………………2分又，则，所以．…………………4分-10-\n（2）当时，由（Ⅰ）知函数在上是增函数，……5分所以当时，，即，则．……8分令，则有，………………9分当时，有，因此在上是增函数，所以有，即可得到．………11分综上有（）．………………12分21.解：（1），2=2，即∴则∴椭圆的方程为，2分将代入消去得：设∴5分（2）设，即6分由，消去得：由，整理得：又，8分-10-\n由，得：，整理得：9分代入上式得：，，条件适合，由此得：，故长轴长的最大值为．12分22.解：(1)当时，，当时，；当时；当时.所以当时，取到极小值.…………………4分(2)，所以切线的斜率整理得,显然是这个方程的解，又因为在上是增函数，所以方程有唯一实数解，故.…………………8分(3)当时，函数在其图象上一点处的切线方程为，设，则，-10-\n若，在上单调递减，所以当时，此时；所以在上不存在“转点”.…………………10分若时,在上单调递减,所以当时,，此时，所以在上不存在“转点”.…………………12分若时，即在上是增函数，当时，，当时，，即点为“转点”，故函数存在“转点”，且是“转点”的横坐标.…………………14分-10-
