福清华侨中学2022-2022学年高三上学期期中考试理数试题本试卷共4页．满分150分，考试时间120分钟．第I卷共60分一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．已知集合，，则（）BA．B．C．D．2.已知，则复数（）AA．B．C．D．3．下列四个结论,其中正确的是（）A①命题“”的否定是“”；②若是真命题，则可能是真命题；7③“且”是“”的充要条件；④当时，幂函数在区间上单调递减.A．①④B．②③C．①③D．②④4．设，则不等式的解集为（ C ）A．B．C．D．5．若的图象向右平移个单位后所得的图象关于原点对称，则可以是（B）A．B．C．D．6．中国古代数学名著《九章算术》中有这样一个问题：今有牛、马、羊食人苗，苗主责之粟五斗，羊主曰：“我羊食半马．”马主曰：“我马食半牛．”今欲衰偿之，问各出几何?此问题的译文是：今有牛、马、羊吃了别人的禾苗，禾苗主人要求赔偿5斗粟．羊主人说：“我羊所吃的禾苗只有马的一半.”马主人说：“我马所吃的禾苗只有牛的一半.”打算按此比率偿还，他们各应偿还多少?已知牛、马、羊的主人应偿还升，升，升，1斗为10升；则下列判断正确的是（D）A．依次成公比为2的等比数列，且B．依次成公比为2的等比数列，且C．依次成公比为的等比数列，且D．依次成公比为的等比数列，且7．已知，则()A.B.C.D.8．如图所示，正弦曲线，余弦函数与两直线，所围成的阴影部分的面积为（）A.B.C.D.9．函数的大致图象是（A)ABCD10．设，为自然对数的底数，则，，的大小关系为(B)A.B.C.D.11．设函数，函数，若对任意的，总存在，使得，则实数的取值范围是（D）A．B．C.D．12.已知数列满足．设，为数列的前项和．若（常数），，则的最小值是（C）A.B.C.D.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。6\n13.已知向量，，若与垂直，则实数．13.14．已知命题；命题是增函数．若“”为假命题且“”为真命题，则实数的取值范围为 ．14．15.如图，在△ABC中，若AB=AC=3，cos∠BAC=13，，则的值为 ．15.-216.在中，内角、、所对的边长分别为、、，且，，若，则__________．16.3三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17.（本小题满分10分）已知函数.（1）求及的单调递增区间；（2）求在闭区间的最值.17（1）f(x)=sin2x+cos2x=sin(2x+),则f()=,2x+，k单调递增区间[-+k,+k],k.（2）由则2x+，sin(2x+)[-,1],所以值域为[-,1],18.设为各项不相等的等差数列的前n项和，已知.(1)求数列的通项公式；(2)设为数列{}的前n项和，求.18.解：（1）设数列的公差为d，则由题意知解得（舍去）或所以.(5分)（2）因为=，所以=++…+=.（10分）19.（本小题满分12分）在△中，，2，.(1)求的值；(2)设的中点为,求中线的长.19.解：（1）因为，且C是三角形的内角，所以sinC==.所以=.（4分）(2)在△ABC中，由正弦定理，得，所以=，于是CD=.在△ADC中，AC=2，cosC=，（8分）所以由余弦定理，得AD==，即中线AD的长为.(12分)20、已知数列的首项，其前项和为，且对任意正整数，有成等差数列.（1）求证：数列成等比数列；6\n（2）设，求数列前项和.11、解：（1）∵成等差数列，∴又∴即∴∴又∵∴成等比数列.（2）由（1）知是以为首项，2为公比的等比数列.∴又∴∴21．(本小题满分12分)已知函数（为常数）．（Ⅰ）讨论函数的单调性；（Ⅱ）是否存在正实数，使得对任意，都有，若存在，求出实数的取值范围；若不存在，请说明理由；21．(本小题满分12分)【解析】（Ⅰ）∵（为常数）定义域为：．（ⅰ）若，则恒成立在上单调递增；（ⅱ）若，则．令，解得；令，解得．在上单调递减，在上单调递增．综上：当时，在上单调递增；当时，在上单调递减，在上单调递增．（Ⅱ）满足条件的不存在．理由如下：若，由（Ⅰ）可知，函数在为增函数；不妨设，则，即；∴由题意：在上单调递减，∴在上恒成立；即对恒成立；又在上单调递减；∴；故满足条件的正实数不存在．22.（12分）已知函数f(x)＝－.(1)求曲线y＝f(x)在x＝0处的切线方程；(2)设函数g(x)＝－－＋m(m∈R)，试讨论函数f(x)与g(x)的图象在(0，＋∞)上交点的个数．21解：(1)由题意知，f′(x)＝，6\n∴f′(0)＝1，又f(0)＝－，故所求切线方程为y＋＝x，即x－y－＝0.(2)令h(x)＝f(x)－g(x)＝－＋＋－m(x>0)，则h′(x)＝－＋＝－.易知h′(1)＝0，∴当0<x<1时，h′(x)>0，当x>1时，h′(x)<0，∴函数h(x)在(0,1)上单调递增，在(1，＋∞)上单调递减，∴h(x)max＝h(1)＝－＋1－m.①当－＋1－m＝0，即m＝1－时，函数h(x)只有1个零点，即函数f(x)与g(x)的图象在(0，＋∞)上只有1个交点；②当－＋1－m<0，即m>1－时，函数h(x)没有零点，即函数f(x)与g(x)的图象在(0，＋∞)上没有交点；③当－＋1－m>0，即m<1－时，函数h(x)有2个零点，即函数f(x)与g(x)的图象在(0，＋∞)上有2个交点．福清华侨中学2022-2022学年高三上学期期中考试答案理数试题一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。1．B2.A3．A4．C5．B6．D7．A8．D9．D10．B11．D12.C二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13.14．15.-216.3三、解答题：共70分。17.（1）f(x)=sin2x+cos2x=sin(2x+),则f()=,2x+，k单调递增区间[-+k,+k],k.（2）由则2x+，sin(2x+)[-,1],所以值域为[-,1],18.解：（1）设数列的公差为d，则由题意知解得（舍去）或所以.(5分)（2）因为=，所以=++…+=.（10分）19.解：（1）因为，且C是三角形的内角，所以sinC==.所以=.（4分）(2)在△ABC中，由正弦定理，得，所以=，于是CD=.在△ADC中，AC=2，cosC=，（8分）所以由余弦定理，得AD==6\n，即中线AD的长为.(12分)20、解：（1）∵成等差数列，∴又∴即∴∴又∵∴成等比数列.（2）由（1）知是以为首项，2为公比的等比数列.∴又∴∴21．(本小题满分12分)【解析】（Ⅰ）∵（为常数）定义域为：．（ⅰ）若，则恒成立在上单调递增；（ⅱ）若，则．令，解得；令，解得．在上单调递减，在上单调递增．综上：当时，在上单调递增；当时，在上单调递减，在上单调递增．（Ⅱ）满足条件的不存在．理由如下：若，由（Ⅰ）可知，函数在为增函数；不妨设，则，即；∴由题意：在上单调递减，∴在上恒成立；即对恒成立；又在上单调递减；∴；故满足条件的正实数不存在．22解：(1)由题意知，f′(x)＝，∴f′(0)＝1，又f(0)＝－，故所求切线方程为y＋＝x，即x－y－＝0.(2)令h(x)＝f(x)－g(x)＝－＋＋－m(x>0)，则h′(x)＝－＋＝－.易知h′(1)＝0，∴当0<x<1时，h′(x)>0，当x>1时，h′(x)<0，∴函数h(x)在(0,1)上单调递增，在(1，＋∞)上单调递减，6\n∴h(x)max＝h(1)＝－＋1－m.①当－＋1－m＝0，即m＝1－时，函数h(x)只有1个零点，即函数f(x)与g(x)的图象在(0，＋∞)上只有1个交点；②当－＋1－m<0，即m>1－时，函数h(x)没有零点，即函数f(x)与g(x)的图象在(0，＋∞)上没有交点；③当－＋1－m>0，即m<1－时，函数h(x)有2个零点，即函数f(x)与g(x)的图象在(0，＋∞)上有2个交点．6
