福建省莆田第八中学2022-2022学年高二数学上学期期中试题文一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)1．在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知C=,a=2,b=1,则c等于( ).A.B.C.D.12．下列结论正确的是( ).A.若ac>bc,则a>bB.若a8>b8,则a>bC.若a>b,c<0,则ac<bcD.若,则a>b3．等差数列{an}的前n项和为Sn,若a2+a7+a12=30,则S13的值是( ).A.130B.65C.70D.754．已知△ABC中,sinA∶sinB∶sinC=3∶2∶4,那么cosB的值为( ).A.B.-C.-D.5．已知等比数列{an}中,a4=7,a6=21,则a8等于( ).A.35B.63C.21D.±216．已知△ABC中,a=4,b=4,A=30°,则角B的度数等于( ).A.30°B.30°或150°C.60°D.60°或120°7．若集合A={x||2x-1|<3},B=,则A∩B是( ).A.B.{x|2<x<3}C.-10-\nD.8．设变量x,y满足约束条件则目标函数z=2x+3y的最小值为( ).A.6B.7C.8D.239．若a>1,则a+的最小值是( ).A.2B.aC.D.310．设{an}是由正数组成的等比数列,Sn为其前n项和.已知a2a4=1,S3=7,则S5等于( ).A.B.C.D.11．在R上定义运算☉:a☉b=ab+2a+b,则满足x☉(x-2)<0的实数x的取值范围为( ).A.(0,2)B.(-2,1)C.(-∞,-2)∪(1,+∞)D.(-1,2)12．某汽车运输公司刚买了一批豪华大客车投入营运,据市场分析每辆客车营运的总利润y(单位:10万元)与营运年数x(x∈N)为二次函数关系,如下图.当每辆客车营运的年平均利润最大时,营运年数为( ).A.3B.4C.5D.6-10-\n二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分.把答案填在题中的横线上)13．已知数列{an}的前n项和为Sn,且Sn=3n,则a2013= . 14．已知点P(x,y)的坐标满足条件那么的最大值等于 . 15．已知不等式x2+ax+4<0的解集为⌀,则a的取值范围是 . 16．已知数列{an}满足a1=t,an+1-an+2=0(t∈N*,n∈N*).记数列{an}的前n项和的最大值为f(t),则f(t)= . 三、解答题(本大题共6小题,共70分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17(10分)某工厂建造一间地面面积为12m2的背面靠墙的矩形小房,房屋正面的造价为1200元/m2,房屋侧面的造价为800元/m2,屋顶的造价为5800元.如果墙高为3m,且不计房屋背面和地面的费用,则建造此小房的最低总造价是多少元?18(12分)设等差数列{an}满足a3=5,a10=-9.(1)求{an}的通项公式;(2)求{an}的前n项和Sn及使得Sn最大的序号n的值.-10-\n19(12分)海面上相距10海里的A,B两船,B船在A船的北偏东45°方向上.两船同时接到指令同时驶向C岛,C岛在B船的南偏东75°方向上,行驶了80分钟后两船同时到达C岛,经测算,A船行驶了10海里,求B船的速度.-10-\n20(12分)在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,且满足.(1)求角A的大小;(2)若a=2,求△ABC面积的最大值.-10-\n21(12分)已知等差数列{an}满足a2=0,a6+a8=-10.(1)求数列{an}的通项公式;(2)求数列的前n项和.-10-\n22(12分)电视台为某个广告公司特约播放两套片集.其中片集甲播映时间为20分钟,广告时间为1分钟,收视观众为60万;片集乙播映时间为10分钟,广告时间为1分钟,收视观众为20万.广告公司规定每周至少有6分钟广告,而电视台每周只能为该公司提供不多于86分钟的节目时间.电视台每周应播映两套片集各多少次,才能获得最高的收视率?-10-\n参考答案BCAABDDBDBBC3[-4,4]17解:设房子的长为xm,宽为ym,总造价为z元,则xy=12,z=3×x×1200+3×y×800×2+5800=1200(3x+4y)+5800≥1200×2+5800=34600(当且仅当3x=4y,即x=4,y=3时,等号成立).故最低总造价是34600元.18解:(1)由an=a1+(n-1)d及a3=5,a10=-9,得解得所以数列{an}的通项公式为an=11-2n.(2)由(1)知,Sn=na1+d=10n-n2.因为Sn=-(n-5)2+25,所以当n=5时,Sn取得最大值.19解:如图所示,在△ABC中,AB=10,AC=10,∠ABC=120°.由余弦定理,得AC2=BA2+BC2-2BA·BC·cos120°,即700=100+BC2+10BC,得BC=20.设B船速度为v,行驶时间为(小时),路程为BC=20海里,则有v==15(海里/时),即B船的速度为15海里/时.20解:(1)因为,所以(2c-b)·cosA=a·cosB.-10-\n由正弦定理,得(2sinC-sinB)·cosA=sinA·cosB,整理得2sinC·cosA-sinB·cosA=sinA·cosB.所以2sinC·cosA=sin(A+B)=sinC.在△ABC中,0<C<π,所以sinC≠0.所以cosA=,又0<A<π,故A=.(2)由(1)得A=,又a=2,则cosA=,整理得b2+c2=bc+20.由基本不等式,得b2+c2≥2bc,则bc+20≥2bc,所以bc≤20,当且仅当b=c时,等号成立,故三角形的面积S=bcsinA=bcsinbc≤×20=5.所以三角形面积的最大值为5.21解:(1)设等差数列{an}的公差为d,由已知条件可得解得故数列{an}的通项公式为an=2-n.(2)设数列的前n项和为Sn,即Sn=a1++…+,∴S1=a1=1,+…+.当n>1时,=a1++…+-10-\n=1-=1-.∴Sn=.当n=1时,S1=1也符合该公式.综上可知,数列的前n项和Sn=.22解:设片集甲播放x集,片集乙播放y集,则有要使收视率最高,则只要z=60x+20y最大即可.由得M(2,4).由图可知,当x=2,y=4时,z=60x+20y取得最大值200万.故电视台每周片集甲和片集乙各播映2集和4集,其收视率最高.-10-
