福建省莆田第八中学2022-2022学年高二数学上学期期中试题理一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)1．在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知C=,a=2,b=1,则c等于( ).A.B.C.D.12．下列结论正确的是( ).A.若ac>bc,则a>bB.若a8>b8,则a>bC.若a>b,c<0,则ac<bcD.若,则a>b3．等差数列{an}的前n项和为Sn,若a2+a7+a12=30,则S13的值是( ).A.130B.65C.70D.754．已知△ABC中,sinA∶sinB∶sinC=3∶2∶4,那么cosB的值为( ).A.B.-C.-D.5．已知等比数列{an}中,a4=7,a6=21,则a8等于( ).A.35B.63C.21D.±216．已知△ABC中,a=4,b=4,A=30°,则角B的度数等于( ).A.30°B.30°或150°C.60°D.60°或120°7．若集合A={x||2x-1|<3},B=,则A∩B是( ).A.B.{x|2<x<3}C.D.8．“>”是“|x|<|y|”的( )．A．充分不必要条件B．必要不充分条件-10-\nC．充要条件D．既不充分也不必要条件9．若a>1,则a+的最小值是( ).A.2B.aC.D.310．下列有关命题的说法错误的是( )．A．命题“若x2－3x＋2＝0，则x＝1”的逆否命题为：若x≠1，则x2－3x＋2≠0B．x＝1是x2－3x＋2＝0的充分不必要条件C．若p∧q为假命题，则p，q均为假命题D．对于命题p：∃x∈R，使得x2＋x＋1<0，则┐p：∀x∈R，均有x2＋x＋1≥011．在R上定义运算☉:a☉b=ab+2a+b,则满足x☉(x-2)<0的实数x的取值范围为( ).A.(0,2)B.(-2,1)C.(-∞,-2)∪(1,+∞)D.(-1,2)12．已知椭圆＋＝1(a>b>0)的左焦点为F，右顶点为A，点B在椭圆上，且BF⊥x轴，直线AB交y轴于点P.若＝2，则椭圆的离心率是( )．A.B.C.D.二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分.把答案填在题中的横线上)13．已知数列{an}的前n项和为Sn,且Sn=3n,则a2013= . 14．已知点P(x,y)的坐标满足条件那么的最大值等于 . 15．已知命题p：存在实数m，使方程x2＋mx＋1＝0有实数根,则p的真假是 . 16．已知数列{an}满足a1=t,an+1-an+2=0(t∈N*,n∈N*).记数列{an}的前n项和的最大值为f(t),则f(t)= . 三、解答题(本大题共6小题,共70分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17(10分)设等差数列{an}满足a3=5,a10=-9.(1)求{an}的通项公式;(2)求{an}的前n项和Sn及使得Sn最大的序号n的值.-10-\n18(12分)如图，已知椭圆长轴|A1A2|＝6，焦距|F1F2|＝4．过椭圆焦点F1作一直线，交椭圆于两点M，N.(1)求椭圆的方程；(2)当∠F2F1M＝时，求|MN|.-10-\n19(12分)海面上相距10海里的A,B两船,B船在A船的北偏东45°方向上.两船同时接到指令同时驶向C岛,C岛在B船的南偏东75°方向上,行驶了80分钟后两船同时到达C岛,经测算,A船行驶了10海里,求B船的速度.-10-\n20(12分)在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,且满足.(1)求角A的大小;(2)若a=2,求△ABC面积的最大值.-10-\n21(12分)已知等差数列{an}满足a2=0,a6+a8=-10.(1)求数列{an}的通项公式;(2)求数列的前n项和.-10-\n22(12分)电视台为某个广告公司特约播放两套片集.其中片集甲播映时间为20分钟,广告时间为1分钟,收视观众为60万;片集乙播映时间为10分钟,广告时间为1分钟,收视观众为20万.广告公司规定每周至少有6分钟广告,而电视台每周只能为该公司提供不多于86分钟的节目时间.电视台每周应播映两套片集各多少次,才能获得最高的收视率?-10-\n参考答案BCAABDDADCBD3真17解:(1)由an=a1+(n-1)d及a3=5,a10=-9,得解得所以数列{an}的通项公式为an=11-2n.(2)由(1)知,Sn=na1+d=10n-n2.因为Sn=-(n-5)2+25,所以当n=5时,Sn取得最大值.18解:(1)由题意知：2a＝6,2c＝4，∴b2＝a2－c2＝9－8＝1，且焦点在x轴上，∴椭圆的方程为＋y2＝1.(2)当∠F2F1M＝时，直线MN的斜率k＝1.又F1(－2，0)，∴直线MN的方程为y＝x＋2.由得：10x2＋36x＋63＝0.若M(x1，y1)，N(x2，y2)，则x1＋x2＝－，x1x2＝.∴|MN|＝·|x1－x2|＝·＝.即|MN|的长为.19解:如图所示,在△ABC中,AB=10,AC=10,∠ABC=120°.-10-\n由余弦定理,得AC2=BA2+BC2-2BA·BC·cos120°,即700=100+BC2+10BC,得BC=20.设B船速度为v,行驶时间为(小时),路程为BC=20海里,则有v==15(海里/时),即B船的速度为15海里/时.20解:(1)因为,所以(2c-b)·cosA=a·cosB.由正弦定理,得(2sinC-sinB)·cosA=sinA·cosB,整理得2sinC·cosA-sinB·cosA=sinA·cosB.所以2sinC·cosA=sin(A+B)=sinC.在△ABC中,0<C<π,所以sinC≠0.所以cosA=,又0<A<π,故A=.(2)由(1)得A=,又a=2,则cosA=,整理得b2+c2=bc+20.由基本不等式,得b2+c2≥2bc,则bc+20≥2bc,所以bc≤20,当且仅当b=c时,等号成立,故三角形的面积S=bcsinA=bcsinbc≤×20=5.所以三角形面积的最大值为5.21解:(1)设等差数列{an}的公差为d,由已知条件可得解得故数列{an}的通项公式为an=2-n.-10-\n(2)设数列的前n项和为Sn,即Sn=a1++…+,∴S1=a1=1,+…+.当n>1时,=a1++…+=1-=1-.∴Sn=.当n=1时,S1=1也符合该公式.综上可知,数列的前n项和Sn=.22解:设片集甲播放x集,片集乙播放y集,则有要使收视率最高,则只要z=60x+20y最大即可.由得M(2,4).由图可知,当x=2,y=4时,z=60x+20y取得最大值200万.故电视台每周片集甲和片集乙各播映2集和4集,其收视率最高.-10-
