东北育才学校2022-2022学年高二上学期第二次月考数学文试卷答题时间：120分钟满分：150分一、选择题：（每题5分，满分60分）1.命题，，命题，，则下列命题中是真命题的是（）DA.B.C.D.2.下面四个条件中，使成立的充分不必要的条件是（）AA.B.C.D.3.抛物线的焦点坐标为（）CA.B.C.D.4.已知函数的导函数为，且满足，则（）BA.B.C.D.5.已知变量、满足约束条件，则的最大值为（）BA.B.C.D.6.若函数有极值，则实数的取值范围是（）CA.或B.C.或D.7.已知等差数列的前项和为，若，则（）DA.B.C.D.8.已知抛物线的焦点为，准线与轴的交点为，为抛物线上的一点，且，则（）AA.B.C.D.8/8\n9.在等比数列中，若，是方程的两根，则的值是（）CA.B.C.D.10.椭圆的左、右焦点分别是，弦AB过，且的内切圆的周长是，若A、B的两点的坐标分别是，，则（ ）CA.B.C.D.11.函数的大致图象是（）DA.B.C.D.12.设函数，的导函数为，且满足，则（）BA.B.C.D.不能确定与的大小二、填空题：（每题5分，满分20分）13.已知正数，满足，则的最小值为.14.已知椭圆与双曲线（，）的一条渐近线的交点为，若点的横坐标为，则双曲线的离心率等于.15.函数（），且，则实数的取值范围是.16.已知（，），其导函数为，设，则.三、解答题（本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17.（本小题满分10分）8/8\n已知，设命题：函数在上为减函数，命题：当时，函数恒成立．如果为真命题，为假命题，求的取值范围．解析 若命题p为真，知0<c<1，若命题q为真，知：2≤x＋≤，要使此式恒成立，则2>，即c>又由p或q为真，p且q为假，可知p、q必有一真一假，①p为真，q为假时，p为真，0<c<1；q为假，c≤∴0<c≤.②p为假，q为真时，p为假，c≥1；q真，c>∴c≥1.综上，c的取值范围为0<c≤或c≥1.18.（本小题满分12分）在各项均为正数的等比数列中，，且，，成等差数列.（Ⅰ）求数列的通项公式；（Ⅱ）若数列满足，且对一切恒成立，求实数的取值范围.解：（Ⅰ）设等比数列的公比为，则由得，依题意，∴即解得或（舍）所以的通项公式为8/8\n（Ⅱ）∴∴由对一切恒成立得19.（本小题满分12分）已知函数，.（Ⅰ）当时，求函数的极值；（Ⅱ）若函数在区间上是单调递增，求实数的取值范围.解：（Ⅰ）因为，所以当a=1时，令则x=0，所以的变化情况如下表：x(-∞,0)0(0,+∞)f′(x)-0+f(x)极小值所以x=0时，f(x)取得极小值f(0)=-1，无极大值.（Ⅱ）因为函数f(x)在区间（0，1）上是单调增函数，所以对恒成立.又，所以只要对恒成立，（法一）设，则要使对恒成立，只要成立，即解得（法二）要使对恒成立，因为，所以对恒成立，8/8\n因为函数在（0，1）上单调递减，所以只要20.（本小题满分12分）已知抛物线：（），过点的直线与抛物线相交于，两点，为坐标原点，且.（Ⅰ）求抛物线的方程；（Ⅱ）点坐标为，直线，的斜率分别，，求证：为定值.解：（Ⅰ）设方程为，，由得∴，∴∴∴抛物线的方程为（Ⅱ）由（Ⅰ）可得，∴为定值21.（本小题满分12分）已知焦点在轴上的椭圆过点，且离心率为.8/8\n（Ⅰ）求椭圆的标准方程；（Ⅱ）若直线（，）与椭圆C交于两点A、B，点D满足，经过点D及点的直线的斜率为，求证：.解：（Ⅰ）设椭圆的标准方程为，且.由题意可知：，.所以.所以，椭圆的标准方程为.（Ⅱ）方法一：，点D为线段AB的中点设，，∴由，得，∵，∴，，∴．方法2：，点D为线段AB中点，设，，∴，由，得，8/8\n∵，∴，，∵，，∴．方法3：由，得，令，得，设，，点D为线段AB的中点，设，，∵，∴，，∵，，∴．22.（本小题满分12分）已知函数．（Ⅰ）当时，求在区间上的最值；（Ⅱ）讨论函数的单调性；（Ⅲ）当时，有恒成立，求的取值范围．解：（Ⅰ）当时，，8/8\n∴．∵的定义域为，∴由得．∴在区间上的最值只可能在取到，而，∴．（Ⅱ）．①当，即时，在单调递减；②当时，在单调递增；③当时，由得或（舍去）∴在单调递增，在上单调递减；综上，当时，在单调递增；当时，在单调递增，在上单调递减．当时，在单调递减；（Ⅲ）由（Ⅱ）知，当时，即原不等式等价于即整理得∴，又∵，所以的取值范围为.8/8
