沈阳二中2022-2022学年度上学期12月份小班化学习成果阶段验收高三（16届）数学试题(理科)说明：1.测试时间：120分钟总分：150分2.客观题涂在答题纸上，主观题答在答题纸的相应位置上.第Ⅰ卷（60分）一、选择题:本大题共12小题,每小题5分,共60分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.设，则（）A．B．C．D．2.已知数列{xn}满足x1＝1，x2＝，且＋＝(n≥2)，则xn等于( )A.n-1 B.n C. D.3．下列四个结论：①若，则恒成立；②命题“若”的逆否命题为“若”；③“命题为真”是“命题为真”的充分不必要条件；④命题“”的否定是“”.其中正确结论的个数是( )A.1个B.2个C.3个D.4个4.已知函数的图像是连续不断的，有如下的，的对应表123456136.1315.552－3.9210.88－52.488－232.064则函数存在零点的区间有( )A．区间B．区间C．区间D．区间5.已知m、n是两条不同的直线，α、β是两个不同的平面，则下列命题中正确的是（ ）A．若m⊥α，n⊥β，且m⊥n，则α⊥βB．若m∥α，n∥β，且m∥n，则α∥βC．若m⊥α，n∥β，且m⊥n，则α⊥βD．若m⊥α，n∥β，且m∥n，则α∥β6.已知的值为（）-11-\nA．﹣1B．﹣2C．D．27.已知x∈(0，＋∞)，观察下列各式：x＋≥2，x＋＝＋＋≥3，x＋＝＋＋＋≥4，…，类比有x＋≥n＋1(n∈N*)，则a等于()A.nB.2n C.n2 D.nn8.6名志愿者(其中4名男生，2名女生)义务参加宣传活动，他们自由分成两组完成不同的两项任务，但要求每组最多4人，女生不能单独成组，则不同的工作安排方式有( )A.40种B.48种 C.60种 D.68种9.设平面区域D是由双曲线y2﹣=1的两条渐近线和抛物线y2=﹣8x的准线所围成的三角形区域（含边界），若点（x，y）∈D，则的取值范围是（ ）A．[﹣1，] B．[﹣1，1] C．[0，] D．[0，]10.如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某多面体的三视图，则该多面体的各条棱中，最长的棱的长度为（）A.B.C.D.11.如图，、是双曲线的左、右焦点，过的直线与双曲线的左右两支分别交于点、.若为等边三角形，则双曲线的离心率为()A.4B.C.D.12.设函数在上存在导数，，有，在上-11-\n，若，则实数的取值范围为（）A．B．C．D．第Ⅱ卷（90分）一、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中横线上．13.一支田径队有男女运动员98人，其中男运动员有56人．按男、女比例用分层抽样的方法，从全体运动员中抽出一个容量为28的样本，那么应抽取女运动员人数是________．14.等比数列{an}中，a3=9前三项和为S3=3x2dx，则公比q的值是________．15.已知直三棱柱中，，侧面的面积为，则直三棱柱外接球表面积的最小值为．16．已知椭圆（a＞b＞0），圆O：x2+y2=b2，过椭圆上任一与顶点不重合的点P引圆O的两条切线，切点分别为A，B，直线AB与x轴、y轴分别交于点M，N，则=_____三、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17．（本小题满分10分）已知数列{an}中，a1＝2，an＝an－1＋2n(n∈N*，n≥2).(1)求数列{an}的通项公式；(2)求数列的前n项和Sn.18．（本小题满分12分）已知△ABC的内角A，B,C的对边分别为a，b，c，sinCcosC－cos2C＝，且c＝3.(1)求角C；(2)若向量m＝(1，sinA)与n＝(2，sinB)共线，求a，b的值.19．（本小题满分12分）某高校共有学生15000人,其中男生10500人,女生4500人,为调查该校学生每周平均体育运动时间的情况,采用分层抽样的方法.-11-\n收集300位学生每周平均体育运动时间的样本数据(单位:时).(1)应收集多少位女生的样本数据?(2)根据这300个样本数据,得到学生每周平均体育运动时间的频率分布直方图(如图所示),其中样本数据的分组区间为:[0,2],(2,4],(4,6],(6,8],(8,10],(10,12].估计该校学生每周平均体育运动时间超过4时的概率;(3)在样本数据中,有60位女生的每周平均体育运动时间超过4时,请完成每周平均体育运动时间与性别列联表,并判断是否有95%的把握认为“该校学生的每周平均体育运动时间与性别有关”.附χ2=P(χ2>k)0.050.010k3.8416.63520．（本小题满分12分）如图，边长为的正方形ADEF与梯形ABCD所在的平面互相垂直，其中AB∥CD，AB⊥BC，DC=BC=AB=1，点M在线段EC上．（Ⅰ）证明：平面BDM⊥平面ADEF；（Ⅱ）判断点M的位置，使得平面BDM与平面ABF所成锐二面角为．21．（本小题满分12分）-11-\n已知椭圆M的左、右焦点分别为F1(－，0)、F2(，0)，且抛物线x2＝4y的焦点为椭圆M的顶点，过点P(0,2)的直线l与椭圆M交于不同的两点A、B.(1)求椭圆M的方程；(2)求△OAB面积的取值范围；(3)若S△OAB＝，是否存在大于1的常数m，使得椭圆M上存在点Q，满足＝m(＋)？若存在，试求出m的值；若不存在，试说明理由.22．（本小题满分12分）已知函数f（x）=lnx，g（x）=+bx（a≠0）（Ⅰ）若a=﹣2时，函数h（x）=f（x）﹣g（x）在其定义域内是增函数，求b的取值范围；（Ⅱ）在（Ⅰ）的结论下，设φ（x）=e2x+bex，x∈[0，ln2]，求函数φ（x）的最小值；（Ⅲ）设函数f（x）的图象C1与函数g（x）的图象C2交于点P、Q，过线段PQ的中点R作x轴的垂线分别交C1、C2于点M、N，问是否存在点R，使C1在M处的切线与C2在N处的切线平行？若存在，求出R的横坐标；若不存在，请说明理由．数学试题答案(理科)1-----12BDCCADDBBABB-11-\n13.1214.1或﹣15.16.17.解 (1)∵a1＝2，an＝an－1＋2n(n∈N*，n≥2)，∴a2－a1＝4，a3－a2＝6，a4－a3＝8，……，an－an－1＝2n，以上各式相加得an＝a2＋4＋6＋8＋…＋2n＝n(n＋1)，当n＝1时，a1＝2也适合上式，∴an＝n(n＋1)(n∈N*).--------------------------------5分(2)由(1)得an＝n(n＋1)，∴＝＝－，∴Sn＝＋＋…＋＝＋＋…＋＝.---------------10分18.解 (1)∵sinCcosC－cos2C＝，∴sin2C－cos2C＝1，即sin＝1，∵0<C<π，∴2C－＝，解得C＝.----------------6分(2)∵m与n共线，∴sinB－2sinA＝0，由正弦定理＝得b＝2a.①∵c＝3，由余弦定理得9＝a2＋b2－2abcos，②联立方程①②得------------------------------12分19.解:(1)300×=90,---------------------------------2分所以应收集90位女生的样本数据.(2)由频率分布直方图得1-2×(0.100+0.025)=0.75,所以该校学生每周平均体育运动时间超过4时的概率的估计值为0.75.---4分(3)由(2)知,300位学生中有300×0.75=225人的每周平均体育运动时间超过4时,75人的每周平均体育运动时间不超过4时.-11-\n又因为样本数据中有210份是关于男生的,90份是关于女生的.所以每周平均体育运动时间与性别列联表如下:男生女生总计每周平均体育运动时间不超过4小时453075每周平均体育运动时间超过4小时16560225总计21090300结合列联表可算得χ2=≈4.762>3.841.所以,有95%的把握认为“该校学生的每周平均体育运动时间与性别有关”.---12分20.解答：（Ⅰ）证明：如图，∵DC=BC=1，DC⊥BC，∴BD=，又∵AD=，AB=2，∴AD2+BD2=AB2，则∠ADB=90°，∴AD⊥BD．又∵面ADEF⊥面ABCD，ED⊥AD，面ADEF∩面ABCD=AD，∴ED⊥面ABCD，则BD⊥ED，又∵AD∩DE=D，∴BD⊥面ADEF，又BD⊂面BDM，∴平面BDM⊥平面ADEF；----------------------------------------------4分（Ⅱ）在面DAB内过D作DN⊥AB，垂足为N，∵AB∥CD，∴DN⊥CD，又∵ED⊥面ABCD，∴DN⊥ED，∴以D为坐标原点，DN所在直线为x轴，DC所在直线为y轴，DE所在直线为z轴，建立空间直角坐标系，∴B（1，1，0），C（0，1，0），E（0，0，），N（1，0，0），设M（x0，y0，z0），由，得，∴x0=0，，则M（0，λ，），设平面BDM的法向量，则，∴，令x=1，得．∵平面ABF的法向量，-11-\n∴，解得：．∴M（0，），∴点M的位置在线段CE的三等分点且靠近C处．-------------------------12分21.解 (1)由题意得抛物线x2＝4y的焦点坐标为(0,1).所以椭圆M的一个顶点为(0,1)，又其焦点为F1(－，0)，F2(，0).故c＝，b＝1，a＝2.所以椭圆M的方程为＋y2＝1.--------------2分(2)当直线l的斜率不存在时，直线l即为y轴，此时A、B为椭圆M短轴的两个端点，A、B、O三点共线，显然不符合题意.当直线l的斜率存在时，设为k，则直线l的方程为y＝kx＋2.联立方程代入消去y整理得(4k2＋1)x2＋16kx＋12＝0，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，由一元二次方程根与系数的关系可得，x1＋x2＝，x1x2＝，(x1－x2)2＝(x1＋x2)2－4x1x2＝2－4×＝[(－16k)2－48(4k2＋1)]＝，故|x1－x2|＝，|AB|＝·|x1－x2|＝.而点O到直线l的距离d＝，-11-\n所以△OAB的面积S＝·|AB|·d＝··＝.设t＝>0，故k2＝，所以S＝＝＝，因为t>0，所以t＋≥2＝4，当且仅当t＝，即t＝2时取得等号，此时k2＝，解得k＝±，S取得最大值1.故△OAB面积的取值范围为(0,1].----------------------------------8分(3)由(2)可知，△OAB的面积S＝＝，即5＝4k2＋1，两边平方整理得4k4－23k2＋19＝0，解得k2＝1或k2＝.设Q(x0，y0)，由＝m(＋)，解得x0＝m(x1＋x2)＝，y0＝m(y1＋y2)＝m(kx1＋2＋kx2＋2)＝m[k(x1＋x2)＋4]＝m＝.故Q，由点Q在椭圆M上可得＋2＝1，整理得64k2m2＋16m2＝(4k2＋1)2，解得m2＝，故m2＝或m2＝.因为m>1，故m＝.---------------------------------------------12分所以存在实数m＝，使得椭圆M上存在点Q，满足＝m(＋).22.解：（I）依题意：h（x）=lnx+x2﹣bx．∵h（x）在（0，+∞）上是增函数，∴对x∈（0，+∞）恒成立，∴，∵x＞0，则．--------------------------------------2分∴b的取值范围是．（II）设t=ex，则函数化为y=t2+bt，t∈[1，2]．-11-\n∵．∴当，即时，函数y在[1，2]上为增函数，当t=1时，ymin=b+1；当1＜﹣＜2，即﹣4＜b＜﹣2时，当t=﹣时，；，即b≤﹣4时，函数y在[1，2]上是减函数，当t=2时，ymin=4+2b．综上所述：----------------------------6分（III）设点P、Q的坐标是（x1，y1），（x2，y2），且0＜x1＜x2．则点M、N的横坐标为．C1在点M处的切线斜率为．C2在点N处的切线斜率为．假设C1在点M处的切线与C2在点N处的切线平行，则k1=k2．即．则=，∴设，则，（1）令，则，∵u＞1，∴r′（u）＞0，所以r（u）在[1，+∞）上单调递增，-11-\n故r（u）＞r（1）=0，则，与（1）矛盾！----------------12分-11-
